專題7.5 平行線的證明章末重難點(diǎn)突破（學(xué)生版）-八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

專題7.5平行線的證明章末重難點(diǎn)突破【北師大版】【考點(diǎn)1推理與論證】【例1】（2021秋?嵊州市期中）甲和乙玩一個猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知五張紙牌上分別寫有1、2、3、4、5五個數(shù)字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機(jī)抽取一張，然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測誰手上的數(shù)更大．甲看了看自己手中的數(shù)，想了想說：我不知道誰手中的數(shù)更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數(shù)更大．假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數(shù)是．【變式1-1】（2021秋?呼和浩特月考）小強(qiáng)是個自理能力很強(qiáng)的孝順的好孩子，他每天下午放學(xué)都要幫父母煮飯．具體操作時間如下：淘米（3分鐘），煮飯（25分鐘），洗菜（7分鐘），切菜（4分鐘），炒菜（10分鐘）．如果煮飯和炒菜用不同鍋和爐子，小強(qiáng)要把飯菜都燒好至少需要分鐘．【變式1-2】（2021春?海淀區(qū)校級期中）一個俱樂部里只有兩種成員：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說真話；一種是騙子，永遠(yuǎn)說假話．某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個老實(shí)人兩旁都是騙子，每個騙子兩旁都是老實(shí)人．外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三答：“共有45人．”另一個成員李四說：“張三是老實(shí)人．”據(jù)此可判斷李四是（填“老實(shí)人”或“騙子”）．【變式1-3】（2021春?海淀區(qū)校級期末）為了傳承中華文化，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校初一（9）班舉辦了“古詩詞”大賽，現(xiàn)有小恩、小地、小奕三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐，決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決出第1，2，3名（沒有并列），對應(yīng)名次的得分都分別為a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均為正整數(shù)）．選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．如表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況，根據(jù)題中所給信息，小奕同學(xué)第三輪的得分為分．第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分小恩aa27小地abc11小奕cb10【考點(diǎn)2命題與定理】【例2】（2021秋?信都區(qū)校級月考）下列命題是假命題的是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．對頂角相等 C．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等【變式2-1】（2021春?西城區(qū)校級期中）舉例說明命題“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命題，a＝1，b＝，c＝．【變式2-2】（2021秋?安徽期中）對于命題“若a＜b，則a2＜b2”，小明想舉一個反例說明它是假命題，則下列符合要求的反例是（）A．a(chǎn)＝0，b＝1 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣1 C．a(chǎn)=13，b=12 D．【變式2-3】（2021秋?安徽期中）如圖，有如下四個論斷：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．若選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個數(shù)學(xué)命題，則真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)3平行公理與推論】【例3】（2021春?雨花區(qū)校級期末）下列說法中可能錯誤的是（）A．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．兩條直線相交，有且只有一個交點(diǎn) D．若兩條直線相交成直角，則這兩條直線互相垂直【變式3-1】（2021?濱州模擬）如圖：PC∥AB，QC∥AB，則點(diǎn)P、C、Q在一條直線上．理由是：．【變式3-2】（2021春?宜昌校級期中）探索與發(fā)現(xiàn)：（1）若直線a1⊥a2，a2∥a3，則直線a1與a3的位置關(guān)系是，請說明理由．（2）若直線a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，則直線a1與a4的位置關(guān)系是（直接填結(jié)論，不需要證明）（3）現(xiàn)在有2011條直線a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，請你探索直線a1與a2011的位置關(guān)系．【變式3-3】（2021春?忻州期中）已知：如圖，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù)；請補(bǔ)全下列解法中的空缺部分．解：過點(diǎn)P作PG∥AB交AC于點(diǎn)G．∵AB∥CD（），∴+∠ACD＝180°（），∵PG∥AB（），∴∠BAP＝（），且PG∥（平行于同一直線的兩直線也互相平行），∴∠GPC＝（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠，∠PCD=12∠∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線．【考點(diǎn)4平行線的判定與性質(zhì)】【例4】（2021春?樟樹市期末）如圖，BE平分∠ABC交CD的延長線于E，∠ABC＝2∠E，∠ADE＝∠BCD．（1）請說明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD交DC的延長線于F，判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由．【變式4-1】（2021春?覃塘區(qū)期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C落在OB邊上，經(jīng)過點(diǎn)D作直線MN∥OB交OA邊于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)D的左側(cè)．（1）如圖，若CE∥OA，∠NDE＝45°，則α＝°；（2）若∠MDC的平分線DF交OB邊于點(diǎn)F，①如圖，當(dāng)DF∥OA，且α＝60°時，試說明：CE∥OA；②如圖，當(dāng)CE∥OA保持不變時，試求出∠OFD與α之間的數(shù)量關(guān)系．【變式4-2】（2021春?順平縣期末）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，得到下列結(jié)論：①∠2＝∠3；②如果∠3＝60°，那么AC∥DE；③如果BC∥AD，那么∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，那么∠4＝∠C．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2021春?重慶期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點(diǎn)作FM⊥GH交GH延長線于點(diǎn)M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，EN交GH于點(diǎn)P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出∠GQH∠MPN【考點(diǎn)5平行線的判定與性質(zhì)與三角形內(nèi)角和綜合】【例5】（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列結(jié)論正確的有（）①AB∥CD；②∠ABE+∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，則∠CAB＝2∠F．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-1】（2021?路南區(qū)二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A．過C作EF∥BC B．延長AC到F，過C作CE∥AB C．作CD⊥AB于點(diǎn)D D．過AB上一點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC【變式5-2】（2021春?濟(jì)南期中）如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，將△ADC沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式5-3】（2021春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，延長△ABC的邊AC到點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延長找于點(diǎn)F．已知3∠A＝4∠F，則∠A的大小為（）A．75° B．74° C．72° D．70°【考點(diǎn)6三角形的外角與內(nèi)角和】【例6】（2021春?臨城縣期末）△ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥OB，交邊BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，猜想∠AOC與∠ODC的關(guān)系，并說明你的理由；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．對BF∥OD進(jìn)行說理．【變式6-1】（2021春?鉛山縣校級月考）如圖（1）所示，已知l1∥l2，MN分別和直線l1、l2交于點(diǎn)A、B，ME分別和直線l1、l2交于點(diǎn)C、D．點(diǎn)P在MN上（P點(diǎn)與A、B、M三點(diǎn)不重合）．∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．（1）探究：若點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，α、β、γ之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）拓展：如圖（2），過C點(diǎn)作CF∥AB，易證：∠ACD＝∠BAC+∠ABC．（不必證明）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和．應(yīng)用：若圖（1）點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時，利用圖（2）中的結(jié)論再探究α、β、γ之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【變式6-2】（2021秋?蚌埠期中）如圖，在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正確的是【變式6-3】（2021秋?開江縣期末）如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，則∠BEC＝；若∠A＝a°，則∠BEC＝．【探究】（1）如圖2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，則∠BEC＝；（2）如圖3，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由；（3）如圖4，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【考點(diǎn)7平行線的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】【例7】（2021春?零陵區(qū)期末）某市為了美化亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直的景觀道MN、QP上，分別放置了A、B兩盞激光燈，如圖所示，A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)；B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動a度，B燈每秒轉(zhuǎn)動b度，且滿足|a﹣4b|+（a+b﹣5）2＝0，若這兩條景觀道的道路是平行的，即MN∥QP．（1）求a、b的值；（2）B燈先轉(zhuǎn)動15秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動5秒時，兩燈的光束AM′和BP′到達(dá)如圖①所示的位置，試問AM′和BP′是否平行？請說明理由；（3）在（2）的情況下，當(dāng)B燈光束第一次達(dá)到BQ之前，兩燈的光束是否還能互相平行，如果還能互相平行，那么此時A燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒．（不要求寫出解答過程）【變式7-1】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）如圖1，潛望鏡是指從海面下伸出海面或從低洼坑道伸出地面，用以窺探海面或地面上活動的裝置．其構(gòu)造與普通地上望遠(yuǎn)鏡相同，唯另加兩個反射鏡使物光經(jīng)兩次反射而折向眼中，潛望鏡常用于潛水艇，坑道和坦克內(nèi)用以觀察敵情．光線經(jīng)過鏡子反射時，抽象出的數(shù)學(xué)圖形如圖2所示，已知AB∥CD，∠1＝∠2，請問進(jìn)入潛望鏡光線EA和出潛望鏡光線DF是否平行？并說明理由．【變式7-2】（2021春?海珠區(qū)校級期中）錢塘江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．【變式7-3】（2021春?萊山區(qū)期末）我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射燈．如圖1，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是2度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）∠BAN＝度．（2）燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN需要秒；（3）若燈B射線BD（交MN于點(diǎn)D）先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線AC（交PQ于點(diǎn)C）才開始轉(zhuǎn)動．設(shè)AC轉(zhuǎn)動時間為t秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前時，如圖2所示．①∠PBD＝度，∠MAC＝度（用含有t的代數(shù)式表示）；②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束射線AC∥BD？（4）在BD到達(dá)BQ之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC∥BD？若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動時間，若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)8平行線中的動點(diǎn)問題】【例8】（2021春?太和縣期末）已知：△ABC和同一平面內(nèi)的點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)D在BC邊上，過D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依題意，在圖1中補(bǔ)全圖形；②判斷∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需證明）．（2）如圖2，點(diǎn)D在BC的延長線上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判斷DE與BA的位置關(guān)系，并證明．（3）如圖3，點(diǎn)D是△ABC外部的一個動點(diǎn)，過D作DE∥BA交直線AC于E，DF∥CA交直線AB于F，直接寫出∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【變式8-1】（2021春?漢陽區(qū)期中）如圖：MN∥HP，直線L交MN于A，交HP于B，點(diǎn)C為線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D為直線HP上一動點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)D在射線BH上運(yùn)動時（B點(diǎn)除外），∠BCD+∠BDC與∠MAB有何數(shù)量關(guān)系？猜想出結(jié)論并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)D在射線BP上運(yùn)動時（B點(diǎn)除外），∠BCD+∠BDC與∠MAB又有何數(shù)量關(guān)系？畫出圖形，猜想出結(jié)論（無需說明理由）．【變式8-2】（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖1，BC⊥AF于點(diǎn)C，∠A+∠1＝90°．（1）求證：AB∥DE；（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF運(yùn)動到點(diǎn)F停止，連接PB，PE．則∠ABP，∠DEP，∠BPE三個角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A，D，C重合的情況）？并說明理由．【變式8-3】（2021春?饒平縣校級期中）已知：如圖，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問題：（1）如圖①所示，求證：OB∥AC．（注意證明過程要寫依據(jù)）（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（?。┣蟆螮OC的度數(shù)；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如圖③，若∠OEB＝∠OCA．此時∠OCA度數(shù)等于．（在橫線上填上答案即可）【考點(diǎn)9外角在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】【例9】（2021秋?綏陽縣期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A在y軸上，端點(diǎn)B在x軸上，BF平分∠ABO并與△ABO的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F．∠ABO＝60°，求∠F的大?。咀兪?-1】（2021春?番禺區(qū)期末）（1）如圖1，點(diǎn)D在射線BC上，求證：∠ACD＝∠A+∠B．（2）如圖2，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC＝∠FCO，點(diǎn)E是線段OA上一動點(diǎn)（不與A，O重合），連接CE交OF于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動的過程中，∠OHC+∠ACE∠OEC【變式9-2】（2021春?建昌縣期末）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)C（0，﹣2），D（﹣3，﹣2）．（1）求△BCD的面積；（2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分線交CO于P，交CA于Q，求證：∠CQP＝∠CPQ（3）若點(diǎn)B為x軸正半軸上的動點(diǎn)，∠ACB的平分線CE交DA的延長線于E點(diǎn)，設(shè)∠ADC＝∠DAC＝α，∠ACE＝β，請你用含α、β的式子表示∠E的大?。唬?）在（3）的條件下，∠E∠ABC的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．【變式9-3】（2021春?漢陽區(qū)期中）如圖：在直角坐標(biāo)系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）2＝0．（1）求B、C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)A、D是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是x軸和y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，∠ABM＝∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直線分別交AB、CD于E、F，若∠MEA＝70°，∠CFB＝30°．求∠CMB﹣∠CNB的值；（3）如圖：AB∥CD，Q是CD上一動點(diǎn)，CP平分∠DCB，BQ與CP交于點(diǎn)P，給出下列兩個結(jié)論：①∠DQB+∠QBC∠QPC的值不變；②∠DQB+∠QBC【考點(diǎn)10外角中的動點(diǎn)問題】【例10】（2021秋?安次區(qū)校級月考）（1）如圖1，這是一個五角星ABCDE，你能計算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)嗎？為什么？（必須寫推理過程）（2）如圖2，如果點(diǎn)B向右移動到AC上，那么還能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小嗎？若能結(jié)果是