專題66余角和補角（2大知識點6類題型）（知識梳理與題型分類講解）（人教版）

專題6.6余角和補角（2大知識點6類題型）（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點1】余角和補角的定義余角：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．補角：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．【知識點2】余角和補角的性質（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的補角相等．【要點提示】(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°α)，一個角α的補角可以表示為(180°α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°．知識點與題型目錄【題型1】求一個角的余角......................................................1【題型2】求一個角的補角......................................................3【題型3】與余角、補角有關的計算..............................................5【題型4】同(等)角的余(補)角相等的應用........................................7【題型5】直通中考...........................................................10【題型6】拓展延伸...........................................................11第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】求一個角的余角【例1】（2223七年級上·貴州銅仁·期末）如圖，與互余，平分．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，用代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了互余的定義，角平分線的定義，角的和差；（1）由角平分線的定義得，由互余的定義得，由角的和差，即可求解；（2）由互余的定義得，再由角平分線的定義即可求解；理解互余的定義，角平分線的定義，會用角的和差表示出所求的解是解題的關鍵．解：（1）平分，，與互余，，，；（2）與互余，，，平分，，．【變式1】（2425七年級上·四川雅安·期中）若兩個角和為90度，則這兩個角互余．已知，，則與的關系是（

）A．互補 B．互余 C．和為鈍角 D．和為周角【答案】B【分析】本題考查了互余，解題關鍵是掌握若兩個角的和等于，即這兩個角互余．根據(jù)已知條件，得出，即可得到答案．解：∵，，，與互余，故選：B．【變式2】（2425七年級上·河北石家莊·期中）已知，與互余，則．【答案】【分析】本題考查求一個角的余角，根據(jù)互余兩角的度數(shù)之和為90度，進行求解即可．解：．故答案為：．【題型2】求一個角的補角【例2】（2324七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知，是的平分線，過點O作．(1)的補角是______，的余角是______；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；，(2)【分析】本題主要考查補角，余角的定義，平行的性質，角平分線的定義，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．（1）根據(jù)補角，余角的定義即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，再由角平分線的定義以及平行的性質即可得到答案．解：（1）根據(jù)補角，余角的定義，的補角是，是的平分線，，故的余角是和；（2），．，，，，，是的平分線，．，，．【變式1】（2024·山東濱州·模擬預測）如圖，是直尺的兩邊，，把三角板的直角頂點放在直尺的邊上，若，則的補角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質、與三角板有關的角度的計算、求補角，先由平行線的性質得出，，求出，得出，即可得解．解：如圖：∵，∴，，∵，∴，∴，∴的補角的度數(shù)是，故選：B．【變式2】（1213七年級下·河南鄭州·期中）與互余，與互補，，那么．【答案】/153度【分析】本題考查了余角與補角的定義．熟練掌握互為余角的和等于90°，互為補角的和等于180°是解題的關鍵．根據(jù)互為余角的和等于90°先求出∠2的度數(shù)，再根據(jù)互為補角的和等于180°即可求出∠3的度數(shù)．解：∵與互余，，∴，∵與互補，∴．故答案為：．【題型3】與余角、補角有關的計算【例3】（2324七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，已知，與互余，平分．(1)在圖1中，若，則_________，_________；(2)在圖2中，設，請?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關系．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了角的計算，余角和補角，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．（1）根據(jù)余角的定義可得：，從而可得，然后利用角平分線的定義可得，從而利用角的和差關系進行計算即可解答；（2）利用（1）的解題思路進行計算，即可解答．解：（1）∵與互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：；；（2），理由：∵與互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．∵，∴．【變式1】（2024七年級上·湖南長沙·專題練習）如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，其中符合的圖形共有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題主要查了三角板中特殊角，余角的性質，補角的性質．根據(jù)三角板中特殊角，余角的性質，補角的性質解答，即可求解．解：左起第1個圖形，，正確；左起第2個圖形，根據(jù)同角的余角相等，可以得到，正確；左起第3個圖形，由圖可知，所以，正確；左起第4個圖形，由圖可知，顯然與不相等，錯誤；所以正確的個數(shù)有個．故選B．【變式2】（2425七年級上·全國·期末）一個角的余角等于這個角的補角的，則這個角為度．【答案】【分析】本題考查余角和補角的概念以及運用．設這個角的度數(shù)是，這個角的補角為，余角為．根據(jù)“一個角的余角等于這個角的補角的”列方程求解即可．互為余角的兩角的和為，互為補角的兩角之和為．解題的關鍵是能準確的從題中找出角之間的數(shù)量關系，從而計算出結果．解：設這個角的度數(shù)是，依題意，得：，解得：，∴這個角為度．故答案為：．【題型4】同(等)角的余(補)角相等的應用【例4】（2324七年級上·浙江寧波·期末）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，平分．(1)比較和的大小，并說明理由；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見解析(2)【分析】本題主要考查了角的比較大小和角平分線的性質，解一元一次方程，解決此題的關鍵是熟練運用角平分線的性質及角的和差列出方程式．（1）先說明，再說明，從而得出，再根據(jù)，即可得到；（2）設，則，，列方程即可求得．解：（1）；理由如下：，，平分，，，，．（2）設，平分，，，，平分，，，，．【變式1】（2223六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，射線是平角的平分線，，那么下列式子中錯誤的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查補角與余角的定義，熟練掌握補角和余角的定義是解決本題的關鍵．由射線是平角的平分線，得，選項D不符合題意．根據(jù)同角的余角相等，得，，選項A不符合題意．同理可得，選項B不符合題意，C中兩角互余不能推斷相等，選項C符合題意．解：∵射線是平角的平分線，．故選項D不合題意．A、．又，．故選項A不符合題意．B、，，．故選項B不符合題意．C、，∴．無法證明．故選項C符合題意．故選：C．【變式2】（2425七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，，則圖中三個角的數(shù)量關系是．【答案】【分析】本題主要考查了余角．解決問題的關鍵是熟練掌握余角定義和同角的余角相等．余角定義：如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角叫做互為余角．由，得到，即得．解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．第二部分【題型展示與方法點撥】【題型5】直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）若，則的補角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)和為的兩個角互為補角，計算即可．本題考查了補角，熟練掌握定義是解題的關鍵．解：。則的補角為．故選：D．【例2】（2022·廣西·中考真題）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為【答案】135°/135度【分析】根據(jù)三角板及其擺放位置可得，求解即可．解：，，故答案為：135°．【點撥】本題考查了求一個角的補角，即兩個角的和為180度時，這兩個角互為補角，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【題型6】拓展延伸【例1】（2021七年級上·廣東深圳·期末）如圖1，O為直線上一點，過點O作射線，使．現(xiàn)將一個直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊與射線重合，如圖2．(1)______；(2)如圖3，將三角板繞點O逆時針旋轉一定角度，此時是的平分線，求的度數(shù)；(3)將三角板繞點O逆時針旋轉，在與重合前，是否有某個時刻滿足？如果有，求此時的度數(shù)；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)，，即得；（2）根據(jù)是的平分線，，得到，根據(jù)，即得；（3）當在內部，根據(jù)，，得到，，根據(jù)，得到，即得；當在外部，得到，得到，即得．解：（1）∵，，∴；故答案為：；（2）∵是的平分線，，∴，∵，∴；（3）當在內部，如圖1，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；當在外部，如圖2，，∴，∴．故的度數(shù)為：或．【點撥】本題主要考查了平面內直角在直線上旋轉．熟練掌握旋轉性質，余角定義，平角定義，角平分線計算，角的和差倍分計算，分類討論，是解決問題的關鍵．兩個角的和等于90°，這兩個角叫做互為余角．【例2】（2324七年級上·江蘇無錫·期末）定義：從（）的頂點出發(fā)，在角的內部作一條射線，若該射線將分得的兩個角中有一個角與互為補角，則稱該射線為的“好線”．如圖，點在直線上，在直線上方，且，射線是的“好線”；(1)若，且在內部，則；(2)若恰好平分，請求出的度數(shù)；(3)若是的平分線，是的平分線，請畫出圖形，探究與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】本題考查了補角的定義和性質，角平分線的定義，角的和差關系，根據(jù)題意，畫出圖形是解題的關鍵．（）根據(jù)“好線”的定義即可求解；（）根據(jù)“好線