《機械系統(tǒng)動力學》課件第三章 機械系統(tǒng)運動微分方程的求解2

3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法對于常微分方程的定解問題，形如3-2-1所謂數(shù)值解法,就是尋求解

在一系列離散節(jié)點

上的近似值

。相鄰兩個節(jié)點的間距

稱為步長，一般在計算時常取步長為定值,這時節(jié)點為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法初值問題3-2-1的數(shù)值解法的求解過程為：給出用已知信息

計算

的遞推公式，從初始條件出發(fā)，順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進。即所謂“步進式”算法。歐拉法以節(jié)點的差商代替導數(shù)值，構(gòu)成的遞推公式為：即歐拉（Euler）公式：3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法從圖3-2-1（b）可以看出，由于歐拉法是以差商代替導數(shù)，其誤差較大。為了提高計算精度，一種辦法是減小步長，但會導致累計誤差增大，當步長減小到一定程度后，計算精度提高受限。另一種辦法是改進算法，如改進的歐拉法、Runge-Kutta法等。改進的歐拉法以

和

兩個節(jié)點的差商的平均值來代替導數(shù)，由于

值為待求值，故計算

結(jié)點的差商采用預測，其迭代公式可以證明，歐拉法具有1階精度，而改進的歐拉法具有2階精度3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法對于具有關于時間2階導數(shù)的單自由度機械系統(tǒng)運動微分方程，形如可令

將上式轉(zhuǎn)化成1階常微分方程組其歐拉法的迭代公式為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法改進的歐拉法的迭代公式為：3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法Newmark-

法是線性加速度法之一。對于具有關于時間2階導數(shù)的單自由度機械系統(tǒng)運動微分方程式，其

的Talar展開式：上式中取前三項，若認為加速度在區(qū)間[

,

]為線性變化，則有

代入上式3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法線性加速度法的迭代公式大致具有3階精度，將上式的最后一項中

用

代替，即為Newmark-

法。其迭代公式為式中

為調(diào)節(jié)公式特征的參數(shù)，一般取值范圍為

3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法對于多自由度振動系統(tǒng)運動微分方程：時刻有關系式

整理移項：代入式Newmark-法迭代公式3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法Runge-Kutta法是求解常微分方程應用最多的方法之一。對于微分方程的定解問題，歐拉法求解，其截斷誤差

故具有1階精度，改進歐拉法，由于預測了

結(jié)點的差商并用

兩個節(jié)點的差商的平均值來代替導數(shù)，可望達到2階精度。實際上，在區(qū)間[

]的等價積分形式為

一般來說，接點數(shù)越多，計算越準確通過增加積分求積的結(jié)點數(shù)提高計算精度，故將右端的積分表示為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法仿照歐拉法的迭代公式，寫成

式中

均為待定常數(shù)，r階Runge-Kutta法其中

稱增量函數(shù)，可表示為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法工程中應用最多的是4階Runge-Kutta法，其迭代公式為

3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法對于單自由度振動系統(tǒng)運動微分方程式，Runge-Kutta法的迭代公式為

3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法許多機械系統(tǒng)動力學問題的求解，需要聯(lián)合運用公式推導和數(shù)值計算的方法，才能得到問題的解答，我們不妨稱之為半解析數(shù)值法。如上一章討論的偏置曲柄滑塊機構(gòu)動力學問題，其運動微分方程：

3-3-1一、等效力矩是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角的函數(shù)時，即

對上式積分：3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法由

例3-3-1：對于3-2-1所示的偏置曲柄滑塊機構(gòu)，若已知

，

。1)試計算該曲柄滑塊機構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導數(shù)

隨曲柄轉(zhuǎn)角

的變化規(guī)律。2)若

由表3-3-1給定,初始條件：

,求

與

t

之間的關系。3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法表3-3-1等效力矩與曲柄轉(zhuǎn)角關系

3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：1）等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導數(shù)

的計算

運動學分析計算假設曲柄作勻速轉(zhuǎn)動由上式第2式：式中：

稱

曲柄連桿比連桿的傳動角速度比3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：1）等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導數(shù)

的計算

運動學分析計算滑塊C速度連桿BC質(zhì)心C2對應的傳動速比及其導數(shù)3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：1）等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導數(shù)

的計算

等效轉(zhuǎn)動慣量的計算公式等效轉(zhuǎn)動慣量

的導數(shù)3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：2）求

與

t之間的關系

用Matlab編寫的計算程序見附錄1圖3-3-4連桿角速度比和角加速度比的變化規(guī)律圖3-3-5連桿質(zhì)心速度比和加速度比的變化規(guī)律3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：2）求

與

t之間的關系

圖3-3-6滑塊質(zhì)心速度比和加速度比的變化規(guī)律圖3-3-7等效轉(zhuǎn)動慣量的變化規(guī)律3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：2）求

與

t之間的關系

圖3-3-8等效轉(zhuǎn)動慣量的導數(shù)的變化規(guī)律圖3-3-9等效力矩與時間的關系3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法

圖3-3-10曲柄角速度與時間的關系3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法

由于,根據(jù)力矩形式的運動微分方程二、等效力矩是等效構(gòu)件和角速度的函數(shù)對于具有非定傳動比的機構(gòu)，其等效力矩一般與等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角有關。若其發(fā)動機或工作機的機械特性與機械的運動速度有關，如以電動機為動力源的機械，則其等效力矩就是等效構(gòu)件的轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)即

。工程中大量常見的機械系統(tǒng)都屬于這種情況。利用：3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法

二、等效力矩是等效構(gòu)件和角速度的函數(shù)移項有：利用：用數(shù)值法求解3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法

二、等效力矩是等效構(gòu)件和角速度的函數(shù)Euler法的迭代公式為：Runge-Kutta法的迭代公式為：式中：

3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法

二、等效力矩是等效構(gòu)件和角速度的函數(shù)例3-3-2：對于例3-3-1所示的曲柄連桿機構(gòu)，若作用在曲柄上的驅(qū)動力矩為

，作用在滑塊C上的工作阻力

，其中

為曲柄的實際角速度，

為滑塊的速度。曲柄AB的初始條件仍為：

，其它參數(shù)同例3-3-