中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第03講 分式與二次根式（27個(gè)考點(diǎn)）（知識(shí)精講）（解析版）

第03講分式與二次根式（27個(gè)考點(diǎn)）【考綱要求】1.了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程，會(huì)解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號(hào)問題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào)．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．通分（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．八．最簡分式最簡分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．九．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．十．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．十一．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的．十二．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡化運(yùn)算過程．十三．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．十四．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．十五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝1ap（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯(cuò)誤．③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序．十六．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號(hào)的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線代替．十七．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號(hào)②a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；學(xué)習(xí)要求：理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．十八．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．十九．二次根式的性質(zhì)與化簡（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．二十．最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二十一．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．二十二．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．二十三．同類二次根式同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．【知識(shí)拓展】同類二次根式把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)．（2）幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．二十四．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二十五．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．二十六．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．二十七．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．【典型例題】一．分式的定義（共1小題）1．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）下列代數(shù)式中，是分式的為（）A． B． C． D．二．分式有意義的條件（共2小題）2．（2022?新華區(qū)校級(jí)一模）若有意義，則下列說法正確的是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣2且x≠0 C．x≠﹣2 D．x≠03．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）對(duì)x、y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，則結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）（1）a＝1，b＝2；（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），則；（3）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），m、n均取整數(shù)，則或或；（4）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），當(dāng)n取s、t時(shí)，m對(duì)應(yīng)的值為c、d，當(dāng)t＜s＜﹣2時(shí)，c＜d；（5）若T（kx，y）＝T（ky，x）對(duì)任意有理數(shù)x、y都成立（這里T（x、y）和T（y、x）均有意義），則k＝0．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)三．分式的值為零的條件（共1小題）4．（2022?順平縣二模）已知分式有意義且值為零（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），若以a，b，c的值為三條線段的長構(gòu)造三角形，則此三角形一定為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形四．分式的值（共4小題）5．（2022?全椒縣一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），則的值為（）A．﹣ B．﹣3 C． D．36．（2022?泉港區(qū)模擬）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是．7．（2022?呈貢區(qū)二模）若m＝2n≠0，則的值為．8．（2022?錫山區(qū)校級(jí)二模）有一個(gè)分式兩位同學(xué)分別說出了它的一些特點(diǎn)，甲：分式的值不可能為0；乙：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式的值為1．請(qǐng)你寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)分式：．五．分式的基本性質(zhì)（共2小題）9．（2022?德江縣二模）下列變形正確的是（）A． B． C． D．10．（2022?夏津縣二模）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B． C．m5﹣m3＝m2 D．﹣a2+2a2＝a2六．約分（共2小題）11．（2021?開平區(qū)一模）若，則m+n＝（）A．3 B．﹣3 C． D．12．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）先約分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝．七．通分（共1小題）13．（2020?南岸區(qū)校級(jí)模擬）求一組正整數(shù)的最小公倍數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求一組正整數(shù)最小公倍數(shù)的一種方法﹣﹣少廣術(shù)，術(shù)曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之為法．置所求步數(shù)，以全步積分乘之為實(shí)．實(shí)如法而一，得從步．”意思是說，要求一組正整數(shù)的最小公倍數(shù)，先將所給一組正整數(shù)分別變?yōu)槠涞箶?shù)，首項(xiàng)前增一項(xiàng)“1”，然后以最末項(xiàng)分母分別乘各項(xiàng)，并約分；再用最末項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母分別乘各項(xiàng)，再約分，…；如此類推，直到各項(xiàng)都為整數(shù)止，則首項(xiàng)即為原組正整數(shù)之最小公倍數(shù)．例如：求6與9的最小公倍數(shù)．解：第一步：1，；第二步：9，，1：第三步：18，3，2所以，6與9的最小公倍數(shù)是18．請(qǐng)用以上方法解決下列問題：（1）求54與45的最小公倍數(shù)；（2）求三個(gè)數(shù)6，51，119的最小公倍數(shù)．八．最簡分式（共1小題）14．（2022?江油市二模）下列分式屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．九．最簡公分母（共1小題）15．（2021?越秀區(qū)校級(jí)二模）分式，，的最簡公分母是（）A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2一十．分式的乘除法（共1小題）16．（2022?魚峰區(qū)模擬）計(jì)算的結(jié)果是（）A．2 B．2a+2 C．1 D．一十一．分式的加減法（共1小題）17．（2022?東莞市校級(jí)二模）計(jì)算﹣1的結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．一十二．分式的混合運(yùn)算（共1小題）18．（2022?邯鄲二模）在分式加減運(yùn)算中，常用到下列四個(gè)依據(jù)：Ⅰ．合并同類項(xiàng)Ⅱ．約分Ⅲ．同分母分式的加減法則Ⅳ．通分化簡﹣＝+①＝②＝③＝﹣④則正確的表示是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅱ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅱ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ D．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅳ一十三．分式的化簡求值（共1小題）19．（2022?如皋市二模）若a+b＝2，則代數(shù)式的值為（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2一十四．零指數(shù)冪（共1小題）20．（2022?惠安縣模擬）計(jì)算（﹣5）0的結(jié)果是（）A．1 B．﹣5 C．0 D．﹣一十五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（共1小題）21．（2022?路南區(qū)三模）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．一十六．列代數(shù)式（分式）（共2小題）22．（2022?玉環(huán)市一模）小明和小亮期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績分別都是80分，m分，到了期末考時(shí)，小明期末考試的語文、數(shù)學(xué)兩科成績依次比期中考試增長了20%，10%．兩科總成績比期中增長的百分?jǐn)?shù)為a．小亮期末考試的語文、數(shù)學(xué)兩科成績依次比期中考試增長了15%，10%．兩科總成績比期中增長的百分?jǐn)?shù)為b．則（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．4a＝3b23．（2022?思明區(qū)校級(jí)模擬）生活中有這么一個(gè)現(xiàn)象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在這杯糖水里再加入m克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝；（2）請(qǐng)你解釋一下這個(gè)生活中的現(xiàn)象．一十七．二次根式的定義（共1小題）24．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）若x為任意實(shí)數(shù)，下列各式一定是二次根式的是（）A． B． C． D．一十八．二次根式有意義的條件（共1小題）25．（2022?東莞市校級(jí)二模）要使式子有意義，x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠2 B．x≤ C．x≥2 D．x≥一十九．二次根式的性質(zhì)與化簡（共1小題）26．（2022?夏邑縣模擬）實(shí)數(shù)﹣的倒數(shù)是（）A． B． C． D．二十．最簡二次根式（共1小題）27．（2022?金山區(qū)二模）在下列二次根式中，最簡二次根式的是（）A． B． C． D．二十一．二次根式的乘除法（共2小題）28．（2022?臨沭縣二模）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a29．（2022?太原二模）觀察式子：＝6，×＝2×3＝6；；＝0.1；＝0.1．由此猜想（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊(yùn)含的思想方法是（）A．特殊與一般 B．類比 C．轉(zhuǎn)化 D．公理化二十二．分母有理化（共1小題）30．（2022?信陽二模）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．6a÷3a＝2a B．（2a）2＝4a2 C．＝ D．（x﹣y）（x+2y）＝x2+2y2二十三．同類二次根式（共1小題）31．（2022?羅莊區(qū)一模）與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．二十四．二次根式的加減法（共1小題）32．（2022?固安縣模擬）下列計(jì)算正確的是（）A． B．a(chǎn)3?a2＝a6 C．＝±3 D．（2a2）3＝8a6二十五．二次根式的混合運(yùn)算（共2小題）33．（2022?邯鄲模擬）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成二次根式運(yùn)算，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁34．（2022?北碚區(qū)校級(jí)模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如：（﹣2）（+2）＝1，?＝a，（2﹣）（2+）＝10，通過查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個(gè)結(jié)論：甲：；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，則a+b＝6；丙：；?。阂阎?，則；戊：……+．以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁二十六．二次根式的化簡求值（共3小題）35．（2022?耿馬縣一模）若a＝+3，b＝3﹣，則的值為．36．（2022?黃石模擬）已知一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（1）若實(shí)數(shù)m、n滿足2m2+5m+1＝0，2n2+5n+1＝0，則的值是；（2）若實(shí)數(shù)s、t分別滿足2s2+5s+1＝0，t2+5t+2＝0，且st≠1．求的值．37．（2022?丹棱縣模擬）先化簡．再從﹣1，0，1，2，中選擇一個(gè)合適的x的值代入求值．二十七．二次根式的應(yīng)用（共4小題）38．（2022?吳中區(qū)模擬）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為a、b、c，則三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足a＝3，b+c＝5，則此三角形面積的最大值為（）A． B．3 C． D．39．（2022?泰州二模）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為a、b、c，則三角形的面積可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足c＝3，a+b＝5，則此三角形面積的最大值為．40．（2022?新華區(qū)校級(jí)一模）矩形ABCD的長為，寬為，則這個(gè)長方形的周長為，面積為．41．（2022?黃島區(qū)一模）提出問題：在4×4的正方形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有幾個(gè)？問題探究：為了解決上面的問題，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法．探究一：如圖1在1×1的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取2個(gè)數(shù)值：1，，以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下一種情況：1、1、．當(dāng)斜邊長為時(shí)