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第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用滬科版·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)新課導(dǎo)入
例2已知:在△ABC中,三條邊長(zhǎng)分別為a=n2–1,b=2n,c=n2+1(n>1).求證:△ABC為直角三角形.新課探究證明∵a2+b2=(n2–1)+(2n)2=n4–2n2+1+4n2
=n4+2n2+1=(n2+1)2=c2
∴△ABC為直角三角形.(勾股定理的逆定理)下列四組數(shù)中,不是勾股數(shù)的一組是()A.5,12,13 B.3,4,5 C.6,8,10 D.6,7,8D能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).練習(xí)變式題已知△ABC的三邊a,b,c滿足下列條件,試判斷△ABC的形狀及a,b,c是不是勾股數(shù).(1)a=25,b=20,c=15;解∵b2+c2=202+152=400+225=625=c2,∴
△ABC是直角三角形,
a,b,c是勾股數(shù).(2)a=p2–q2,b=p2+q2,c=2pq(p>q>0,且p,q均為整數(shù)).解a2+c2=(
p2–q2
)2+(
2pq)2=p4–2p2q2+q4+4p2q2=p4+2p2q2+q4=(p2+q2)2=b2∴
△ABC是直角三角形,
a,b,c是勾股數(shù).常見(jiàn)的勾股數(shù):(1)3,4,5;(2)6,8,10;(3)8,15,17;(4)7,24,25;(5)5,12,13;(6)9,12,15.制造勾股數(shù)的方法:(1)若a,b,c是一組勾股數(shù),則ka,kb,kc(k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù);若a2+b2=c2則(ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2=k2(a2+b2)=(kc)2(2)對(duì)于任意的兩個(gè)正整數(shù)m,n(m>n),m2+n2,m2–n2,2mn是一組勾股數(shù);(m2–n2)2+(2mn)2=m4–2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2(3)當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1,是一組勾股數(shù);(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1(4)當(dāng)n為整數(shù)且n>1時(shí),2n,n2–1,n2+1是一組勾股數(shù).(2n)2+(n2–1)2=4n2+n4–2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2隨堂演練1.下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的有______.①0.3,0.4,0.5;②7,24,25;③
,
,1;3545②2.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=15,AC=17,以AB為直徑作半圓,則此半圓的面積為_(kāi)_______.ABC17158π3.有一塊形狀如圖所示的地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,求這塊地的面積.ABCDABCD解連接AC,因?yàn)椤螦DC=90°,根據(jù)勾股定理得AC2=AD2+CD2=42+32=25,解得AC=5米.又AC2+BC2=52+122=169=AC2,所以∠ACB=90°,(勾股定理的逆定理)SABCD=S△ABC
–S△ACD=×5×12–×3×4=24(平方米)1212課堂小結(jié)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)
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