專題15 單調(diào)性問題 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方法技巧講義（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．知識點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【方法技巧與總結(jié)】1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像題型二：求單調(diào)區(qū)間題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1.可因式分解2.不可因式分解型情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型題型六：分段分析法討論【典例例題】題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像例1．（2022·陜西·漢臺中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）.題型二：求單調(diào)區(qū)間例4．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(

)A． B． C． D．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線.（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例8．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，3)，則b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.例13．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是_________．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若函數(shù)h(x)＝lnx－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.例15．（2020·江蘇·邵伯高級中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值是______.例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【方法技巧與總結(jié)】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論例17．（2022·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點(diǎn)．(1)求a的值；(2)討論的單調(diào)性；例18．（2022·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；例19．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a的值．(2)當(dāng)時．設(shè)函數(shù)，求證：與在上均單調(diào)遞增；例20．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù).當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例21．（2022·江西·二模（文））己知函數(shù)．討論的單調(diào)性；例22．（2022·北京八十中模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；例23．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)例24．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)，其中.當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；例25．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；例26．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；例27．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1.可因式分解例28．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；例29．（2022·天津·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；例30．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)討論f（x）的單調(diào)性；例31．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；例32．（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；例33．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；例34．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.2.不可因式分解型例35．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；例36．（2022·天津南開·三模）已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為討論的單調(diào)性；【方法技巧與總結(jié)】1．關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2．需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3．利用草稿圖像輔助說明．情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型例37．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性;例38．（2022·全國·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中．試討論函數(shù)的單調(diào)性；例40．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；題型六：分段分析法討論例41．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【方法技巧與總結(jié)】1．二次型結(jié)構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)時，變號函數(shù)為一次函數(shù)．此種情況是最特殊的，故應(yīng)最先討論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導(dǎo)致丟解漏解．2．對于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負(fù)．3．注意定義域以及根的大小關(guān)系．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．或2．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（

）A． B．C． D．3．（2022·江西師大附中三模（理））下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．5．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））“函數(shù)在上是增函數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知,且為自然對數(shù)),則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·廣東·信宜市第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．的極大值為 D．方程有兩個不同的解10．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，對于任意，都有，則使不等式成立的的值可以為（

）A． B．1 C．2 D．311．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinxC．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+112．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．三、填空題13．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（理））若命題為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.14．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù)____________.①的定義域?yàn)?；②；③?dāng)時，.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果，則的取值范圍是___________．16．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，若非零正實(shí)數(shù)滿足，則