山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列學(xué)案含解析

PAGE第三節(jié)等比數(shù)列課標(biāo)要求考情分析1.理解等比數(shù)列的概念．2．駕馭等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3．能在詳細(xì)的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)學(xué)問解決相應(yīng)的問題．4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.1.本節(jié)是高考重點考查的內(nèi)容之一，涉及等比數(shù)列的定義、等比中項、通項公式、前n項和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)等內(nèi)容．2．命題形式多種多樣，一般以選擇題或填空題的形式考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算與簡潔性質(zhì)，在解答題中與等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查.學(xué)問點一等比數(shù)列的有關(guān)概念1．定義：假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．2．等比中項：假如a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.學(xué)問點二等比數(shù)列的有關(guān)公式1．通項公式：an＝a1qn－1.2．前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1)).學(xué)問點三等比數(shù)列的常用性質(zhì)1．通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．2．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).3．若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍舊是等比數(shù)列．4．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)滿意an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(×)(2)假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(×)(3)假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．(×)(4)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝eq\f(a1－an,1－a).(×)(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(×)2．小題熱身(1)在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝2，則a7＝(B)A．－8B．8C．8或－8D．16或－16(2)已知數(shù)列{an}滿意a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，則a1＝(C)A．1B．3C．－1D．－3(3)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2a5＝2a3,2a4＋4a7A．29B．31C．33D．36(4)已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a2·a4＝16，S3＝7，則q＝2.(5)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿意a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝1.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，a3＝2，∴q2＝2，∴a7＝a3q4＝2×22＝8.故選B.(2)由題意知數(shù)列{an}是以－3為公比的等比數(shù)列，∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1＝eq\f(27,－33)＝－1.故選C.(3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q4＝2a1q2，,2a1q3＋4a1q6＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)，,a1＝16，))所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝31，故選B.(4)∵a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝16，∴a3＝4(負(fù)值舍去)，①又S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(a3,q2)＋eq\f(a3,q)＋a3＝7，②聯(lián)立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－eq\f(2,3)或q＝2.∵an>0，∴q＝2.(5)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以eq\f(a2,b2)＝1.考點一等比數(shù)列的基本量運(yùn)算【例1】(1)(2024·全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則aA．16B．8C．4D．2(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若公比q＝eq\r(3,2)，且a1＋a2＋a3＝1，則S12的值是________．【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.(2)已知a1＋a2＋a3＝1，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝1，又q＝eq\r(3,2)，則a1＝eq\r(3,2)－1，故S12＝eq\f(a11－q12,1－q)＝eq\f(\r(3,2)－1[1－\r(3,2)12],1－\r(3,2))＝15.【答案】(1)C(2)15方法技巧1等比數(shù)列中有五個量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個就能求另外兩個簡稱“知三求二”.2運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式時，留意對q＝1和q≠－1的分類探討.1．(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝eq\f(1,3)，aeq\o\al(2,4)＝a6，則S5＝eq\f(121,3).解析：解法1：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為aeq\o\al(2,4)＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝eq\f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).解法2：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為aeq\o\al(2,4)＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝eq\f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).2．等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝32.解析：當(dāng)q＝1時，S6＝2S3，不符合題意；當(dāng)q≠1時，因為S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))即1＋q3＝9，所以q＝2，代入可得a1＝eq\f(1,4)，即a8＝a1q7＝32.考點二等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列{an}滿意對隨意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記bn＝eq\f(an,3n)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解】(1)證明：因為an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以數(shù)列{an－3n}是首項為5、公比為5的等比數(shù)列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)由(1)知，bn＝eq\f(an,3n)＝eq\f(3n＋5n,3n)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n，則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))1＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2＋…＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n＝n＋eq\f(\f(5,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n)),1－\f(5,3))＝eq\f(5n＋1,2·3n)＋n－eq\f(5,2).方法技巧判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法：1定義法：若eq\f(an＋1,an)＝qq是不為零的常數(shù)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；2等比中項法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2n∈N*，an≠0，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；3通項公式法：若an＝AqnA，q是不為零的常數(shù)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an>0，Seq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)－λSn＋1，其中λ為常數(shù)．(1)證明：Sn＋1＝2Sn＋λ；(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．解：(1)證明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，Seq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)－λSn＋1，∴Seq\o\al(2,n)＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1，∴Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0，∵an>0，∴Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，∴Sn＋1＝2Sn＋λ.(2)存在．∵Sn＋1＝2Sn＋λ，∴Sn＝2Sn－1＋λ(n≥2)，相減得an＋1＝2an(n≥2)，∴{an}從其次項起成等比數(shù)列，∵S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ∴a2＝1＋λ>0，得λ>－1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,λ＋12n－2，n≥2，))若{an}是等比數(shù)列，則a1a3＝aeq\o\al(2,2)，∴2(λ＋1)＝(λ＋1)2，∴λ＝1，經(jīng)檢驗，符合題意．故存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，λ的值為1.考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用命題方向1等比數(shù)列項的性質(zhì)【例3】(1)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則eq\f(a20,a10)＝________.(2)已知數(shù)列{an}滿意log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.【解析】(1)解法1：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aeq\o\al(2,1)q6＝16，∴a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，∴q2＝1.于是eq\f(a20,a10)＝q10＝1.解法2：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得aeq\o\al(2,4)＝a2a6＝16，∴a4＝±4，又a4＋a8＝8，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a8＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－4，,a8＝12.))∵aeq\o\al(2,6)＝a4a8>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a8＝4，))則公比q滿意q4＝1，q2＝1，∴eq\f(a20,a10)＝q10＝1.(2)因為log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.【答案】(1)1(2)100命題方向2等比數(shù)列和的性質(zhì)【例4】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8) D.eq\f(55,8)(2)等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，則公比q＝________.【解析】(1)因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比數(shù)列中S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以有8(S9－S6)＝1，則S9－S6＝eq\f(1,8)，即a7＋a8＋a9＝eq\f(1,8).(2)由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1知公比q≠－1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2).【答案】(1)A(2)－eq\f(1,2)方法技巧1在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般是利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但假如敏捷運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，則有aman＝apaq”，則可削減運(yùn)算量.2等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后組成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如在等比數(shù)列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比數(shù)列，公比為qkq≠－1.1．(方向1)在等比數(shù)列{an}中，a1，a5為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a3＝(A)A．4B．5C．±4D．±5解析：因為a1，a5