專題11-2 概率與分布列大題歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題11-2概率與分布列大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】?jī)扇吮荣愋?1【題型二】三人比賽型 2【題型三】圖表型 2【題型四】摸球型 3【題型五】放球型 3【題型六】藥物分組型 4【題型七】設(shè)備購(gòu)銷型 4【題型八】“數(shù)列”型 5【題型九】傳球與游走型 6【題型十】“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”型 7真題再現(xiàn) 8模擬檢測(cè) 9【題型一】?jī)扇吮荣愋汀镜淅治觥?1分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【提分秘籍】基本規(guī)律兩人比賽型多涉及到獨(dú)立事件互斥事件的識(shí)別與概率運(yùn)算、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，要注意對(duì)不同事件的合理表述，便于書寫過程．服從于二項(xiàng)分布，可用概率公式進(jìn)行運(yùn)算，也可以采用羅列方式進(jìn)行，是對(duì)運(yùn)算能力的常規(guī)考查.【變式演練】甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別求甲隊(duì)以勝利的概率；（Ⅱ）若比賽結(jié)果為求或，則勝利方得分，對(duì)方得分；若比賽結(jié)果為，則勝利方得分、對(duì)方得分．求乙隊(duì)得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【題型二】三人比賽型【典例分析】2021年7月24日，在奧運(yùn)會(huì)女子個(gè)人重劍決賽中，中國(guó)選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因?yàn)榧资亲钊醯模宰屗麤Q定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束．(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．【變式演練】2021年7月24日，在奧運(yùn)會(huì)女子個(gè)人重劍決賽中，中國(guó)選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”.甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為.因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束.(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)為使甲最終獲得冠軍的概率最大，請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），并說明理由.【題型三】圖表型【典例分析】本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩個(gè)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)車租騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．（1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列．【提分秘籍】基本規(guī)律圖表型有兩類：1.“時(shí)間軸”型。如【典例分析】2、“區(qū)域鏈”型，如【變式演練】【變式演練】乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域SKIPIF1<0，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域SKIPIF1<0.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在SKIPIF1<0上記3分，在SKIPIF1<0上記1分，其它情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在SKIPIF1<0上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0；對(duì)落點(diǎn)在SKIPIF1<0上的來球，小明回球的落點(diǎn)在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0.假設(shè)共有兩次來球且落在SKIPIF1<0上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（Ⅰ）小明的兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【題型四】摸球型【典例分析】試卷從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽取到的可能性相同。在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)x的分布列。（1）每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；（2）每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；（3）每次取出一件產(chǎn)品后總以一件合格品放回此批產(chǎn)品中。【變式演練】一個(gè)袋子裝有大小形狀完全相同的9個(gè)球，其中5個(gè)紅球編號(hào)分別為1,2,3,4,5,4個(gè)白球編號(hào)分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個(gè)球．（Ⅰ）求取出的3個(gè)球編號(hào)都不相同的概率；（Ⅱ）記為取出的3個(gè)球中編號(hào)的最小值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【題型五】放球型【典例分析】某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請(qǐng)人中：（Ⅰ）恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；（Ⅱ）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望【變式演練】為喜迎馬年新春佳節(jié)，懷化某商場(chǎng)在正月初六進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)滿500元的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng)．（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【題型六】藥物分組型【典例分析】春季氣溫逐漸攀升，病菌滋生傳播快，為了確保安全開學(xué)，學(xué)校按30名學(xué)生一批，組織學(xué)生進(jìn)行某種傳染病毒的篩查，學(xué)生先到醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢，檢呈陽性者需到防疫部門]做進(jìn)一步檢測(cè)．學(xué)校綜合考慮了組織管理、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)?zāi)芰Φ榷嗳f面的因素，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量，具體操作如下：將待檢學(xué)生隨機(jī)等分成若干組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則可斷定本組血樣合格，不必再做進(jìn)一步的檢測(cè)；若結(jié)果呈陽性，則本組中的每名學(xué)生再逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)．現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將30人分成5組，每組6人；方案二：將30人分成6組，每組5人．已知隨機(jī)抽一人血檢呈陽性的概率為0．5%，且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立．（Ⅰ）請(qǐng)幫學(xué)校計(jì)算一下哪一個(gè)分組方案的工作量較少？（Ⅱ）已知該傳染疾病的患病率為0．45%，且患該傳染疾病者血檢呈陽性的概率為99．9%，若檢測(cè)中有一人血檢呈陽性，求其確實(shí)患該傳染疾病的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）【變式演練】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）現(xiàn)有份血液樣本，其中只有份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次為.（i）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，.【題型七】設(shè)備購(gòu)銷型【典例分析】 某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為（單位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.【變式演練】某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買哪種設(shè)備？請(qǐng)說明理由.【題型八】“數(shù)列”型【典例分析】為了釋放學(xué)生壓力，某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；（2）若經(jīng)過n輪投籃，用pi表示經(jīng)過第i輪投籃后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.①求p1，p2，p3②規(guī)定p0＝0，經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），請(qǐng)根據(jù)①中p1，p2，p3值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列{pn}的通項(xiàng)公式.【變式演練】新冠抗疫期間，我們經(jīng)歷了太多悲慟，也收獲了不少感動(dòng)．某數(shù)學(xué)小組希望通過將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于我們的抗疫，決定以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式探索新冠的傳染和防控．過程如下：假設(shè)小盒中有個(gè)黑球，個(gè)紅球．模型①：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球后，則放回小盒并往小盒里加入倍的紅球．此模型可以解釋為“傳染模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個(gè)新冠感染者，若不作任何處理，則會(huì)產(chǎn)生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，此模型可以解釋為“安全模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個(gè)新冠患者，則移出將其隔離進(jìn)行診治．（注：考慮樣本容量足夠大和治愈率的可能性，故用黑球代替紅球）（1）分別計(jì)算在兩種模型下，取出一次球后，第二次取到紅球的概率；（2）在模型②的前提下：（i）記在第次時(shí)，剛好抽到第二個(gè)紅球，試用表示剛好第次抽到第二個(gè)紅球?qū)?yīng)的概率；（ii）若規(guī)定無論第次是否能夠抽到紅球或第二個(gè)紅球，當(dāng)進(jìn)行到第次時(shí)，即停止抽球；記抽到第二個(gè)紅球時(shí)所需要的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．（精確到個(gè)位）參考數(shù)據(jù)：，，，．【題型九】傳球與游走型【典例分析】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）證明：；（3）求、的值.【變式演練】為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【題型十】“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”型【典例分析】新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發(fā)現(xiàn)危及人們生命的嚴(yán)重病毒．我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過密切接觸的人群稱為密切關(guān)聯(lián)者．已知每位密切關(guān)聯(lián)者通過核酸檢測(cè)被確診為陽性后的概率為．一旦被確診為陽性后即將其隔離．某位患者在隔離之前，每天有位密切關(guān)聯(lián)者與之接觸（而這個(gè)人不與其他患者接觸），其中被感染的人數(shù)為．（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)的概率的表達(dá)式和的數(shù)學(xué)期望；（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時(shí)間．設(shè)每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與位密切關(guān)聯(lián)者接觸．從某一從名患者被帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為．①當(dāng)，，求的值；②試分析每位密切關(guān)聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)驗(yàn)證佩戴口罩后被感染患病的概率滿足關(guān)系式．當(dāng)取得最大值時(shí)，計(jì)算所對(duì)應(yīng)的和所對(duì)應(yīng)的值，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明佩戴口罩的必要性（?。▍⒖紨?shù)據(jù)：，，，，，計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）【變式演練】某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，需要去某醫(yī)院檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方案，方案一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)k次；方案二：混合檢驗(yàn)，將k份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份血液樣本均為陰性，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定k份血液中的陽性血液樣本，則對(duì)k份血液樣本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)費(fèi)用都是元，且k份血液樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收元的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份血液樣本是陽性的概率為.（1）若份血液樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為X，求X分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）①若，以檢驗(yàn)總費(fèi)用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性；②若，采用方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.2．（2019·全國(guó)·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．4．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)1．現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號(hào)的炮彈，對(duì)于A型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對(duì)子B型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號(hào)炮彈，求q滿足什么條件時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于；(2)若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號(hào)炮彈還是B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說明理由．2．袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球，從中任取一球，若取出白球，則把它放回袋中；若取出黑球，則該黑球不再放回，另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后，記袋中白球的個(gè)數(shù)為.(1)求的數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)，求，.3．投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲n次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為.(1)求，，和；(2)寫出的遞推公式，并指出增減性.4．一只螞蟻從正方形的頂點(diǎn)出發(fā)，每一次行動(dòng)順時(shí)針或逆時(shí)針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，其中順時(shí)針的概率為，逆時(shí)針的概率為，設(shè)螞蟻經(jīng)