高中數(shù)學(xué)競賽專題精講17二項式定理與多項式(含答案)

17二項式定理與多項式1．二項工定理2．二項展開式的通項它是展開式的第r+1項.3．二項式系數(shù)4．二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（3）若n是偶數(shù)，有，即中間一項的二項式系數(shù)最大.若n是奇數(shù)，有，即中項二項的二項式系數(shù)相等且最大.（4）（5）（6）（7）（8）以上組合恒等式（是指組合數(shù)滿足的恒等式）是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基本工具.（7）和（8）的證明將在后面給出.5．證明組合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明.（2）利用二項式定理，通過賦值法或構(gòu)造法用二項式定理于解題中.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法.（4）構(gòu)造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法.例題講解1．求的展開式中的常數(shù)項.2．求的展開式里x5的系數(shù).3．已知數(shù)列滿足求證：對于任何自然數(shù)n，是x的一次多項式或零次多項式.4．已知a，b均為正整數(shù)，且求證：對一切，An均為整數(shù).5．已知為整數(shù)，P為素數(shù)，求證：6．若，求證：7．?dāng)?shù)列中，，求的末位數(shù)字是多少？8．求N=1988－1的所有形如為自然數(shù)）的因子d之和.9．設(shè)，求數(shù)x的個位數(shù)字.10．已知試問：在數(shù)列中是否有無窮多個能被15整除的項？證明你的結(jié)論.課后練習(xí)1．已知實數(shù)均不為0，多項的三根為，求的值.2．設(shè)，其中為常數(shù)，如果求的值.3．定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足：4．證明：當(dāng)n=6m時，5．設(shè)展開式為，求證：6．求最小的正整數(shù)n，使得的展開式經(jīng)同類項合并后至少有1996項.7．設(shè)，試求：（1）的展開式中所有項的系數(shù)和.（2）的展開式中奇次項的系數(shù)和.8．證明：對任意的正整數(shù)n，不等式成立.例題答案：1.解：由二項式定理得①其中第項為②在的展開式中，設(shè)第k+1項為常數(shù)項，記為則③由③得r－2k=0，即r=2k，r為偶數(shù)，再根據(jù)①、②知所求常數(shù)項為評述：求某一項時用二項展開式的通項.2.解：因為所以的展開式里x5的系數(shù)為評述：本題也可將化為用例1的作法可求得.3.分析：由是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達(dá)式，再化簡即可.解：因為所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d有從而由二項定理，知又因為從而所以當(dāng)?shù)囊淮味囗検剑?dāng)零次多項式.4.分析：由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.證明：因為顯然的虛部，由于所以從而的虛部.因為a、b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切，An為整數(shù).評述：把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵.5.證明：由于為整數(shù)，可從分子中約去r！，又因為P為素數(shù)，且，所以分子中的P不會紅去，因此有所以評述：將展開就與有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵.6.分析：由已知猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數(shù)即可.證明：首先證明，對固定為r，滿足條件的是惟一的.否則，設(shè)則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的.下面求.因為又因為所以故評述：猜想進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵.7.分析：利用n取1，2，3，…猜想的末位數(shù)字.解：當(dāng)n=1時，a1=3，，因此的末位數(shù)字都是7，猜想，現(xiàn)假設(shè)n=k時，當(dāng)n=k+1時，從而于是故的末位數(shù)字是7.評述：猜想是關(guān)鍵.8.分析：尋求N中含2和3的最高冪次數(shù)，為此將19變?yōu)?0－1和18+1，然后用二項式定理展開.解：因為N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1=－其中M是整數(shù).上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次冪是5.又因為N=(1+2×9)88－1=32×2×88+34·P=32×（2×88+9P）其中P為整數(shù).上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次冪是2.綜上所述，可知，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3.因此，N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9.分析：直接求x的個位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).解：令，由二項式定理知，對任意正整數(shù)n.為整數(shù)，且個位數(shù)字為零.因此，x+y是個位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值，因為，且，所以故x的個位數(shù)字為9.評述：轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.10.分析：先求出，再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式，便知是否有無窮多項能被15整除.證明：在數(shù)列中有無窮多個能被15整除的項，下面證明之.數(shù)列的特征方程為