【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專(zhuān)用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第11篇-第3講-幾何概型

第3講幾何概型[最新考綱]1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估量概率．2．了解幾何概型的意義.知識(shí)梳理幾何概型(1)定義：假如每個(gè)大事發(fā)生的概率只與構(gòu)成該大事區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．(2)特點(diǎn)：①無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能消滅的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；②等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成大事A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).辨析感悟1．對(duì)幾何概型的理解(1)(教材習(xí)題改編)幾何概型中，每一個(gè)基本大事就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(√)(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√)(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的外形有關(guān)．(×)2．幾何概型的計(jì)算(4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9).(×)(5)(2021·福建卷改編)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則大事“3a－1＜0”發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(√)[感悟·提升]1．一個(gè)區(qū)分“幾何概型”與“古典概型”的區(qū)分：基本大事的個(gè)數(shù)前者是無(wú)限的，后者是有限的．2．一點(diǎn)提示幾何概型的試驗(yàn)中，大事A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和外形無(wú)關(guān)，如(3).同學(xué)用書(shū)第186頁(yè)考點(diǎn)一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型【例1】(1)(2021·湖北卷)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.(2)如圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為_(kāi)_______．解析(1)由題意知m＞0，當(dāng)m≤2時(shí)，滿足|x|≤m的概率為eq\f(m－－m,4－－2)＝eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)．當(dāng)2＜m≤4時(shí)，所求概率為eq\f(m＋2,6)＝eq\f(5,6)，∴m＝3.(2)∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ADB中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，∴BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記大事N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)大事N由幾何概型的概率公式得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).答案(1)3(2)eq\f(2,5)規(guī)律方法解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍．當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算，即當(dāng)半徑肯定時(shí)，由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線長(zhǎng))之比．【訓(xùn)練1】(1)(2022·淄博二模)設(shè)P在[0,5]上隨機(jī)地取值，則關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實(shí)數(shù)根的概率為()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)(2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______．解析(1)方程有實(shí)根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率為eq\f(5－2,5－0)＝eq\f(3,5).(2)由于在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本大事為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的全部等可能大事所在的區(qū)域H是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域h為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).答案(1)C(2)eq\f(1,3)考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型【例2】(1)(2021·陜西卷)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的掩蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是()．A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)－1C．2－eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)(2)(2022·北京卷)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()．A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)解析(1)依題意知，有信號(hào)的區(qū)域面積為eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)，矩形面積為2，故無(wú)信號(hào)的概率P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).(2)如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點(diǎn)距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4－π，因此滿足條件的概率是eq\f(4－π,4).故選D.答案(1)A(2)D規(guī)律方法數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決供應(yīng)了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形精確?????表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為大事A滿足的不等式，在圖形中畫(huà)出大事A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成大事A的區(qū)域的測(cè)度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所組成的區(qū)域的測(cè)度).【訓(xùn)練2】已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，則點(diǎn)P(x，y)落在區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))內(nèi)的概率為()．A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,2)解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2)，則所求概率為eq\f(\f(3,2),2×2)＝eq\f(3,8).答案B考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型【例3】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)審題路線畫(huà)出正方體?找出以點(diǎn)O為中心且到O點(diǎn)的距離等于1的幾何體(球)?利用球的體積公式及幾何概型的概率公式求解．解析點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為大事A，則P(A)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案1－eq\f(π,12)規(guī)律方法很多幾何概型，往往要通過(guò)肯定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來(lái)，在解決問(wèn)題時(shí)，要擅長(zhǎng)依據(jù)問(wèn)題的具體狀況進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題的關(guān)鍵．【訓(xùn)練3】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為_(kāi)_______解析當(dāng)VM－ABCD＝eq\f(1,6)時(shí)，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)M到底面ABCD的距離，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)1．對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的生疏，它只與大小有關(guān)，而與外形和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要把握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法．2．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式．同學(xué)用書(shū)第187頁(yè)教你審題11——幾何概型中有關(guān)平面幾何的“臨界點(diǎn)”的探求【典例】(2021·湖南卷)已知大事“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)[審題]一審條件：在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB；二審過(guò)程：如何確定△APB的最大邊是AB？找出BP＝AB與AP＝AB的“臨界點(diǎn)”；三審結(jié)論：要求eq\f(AD,AB)，利用直角三角中的勾股定理找出AD與AB的關(guān)系式．解析矩形ABCD如圖所示，在點(diǎn)P從D點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DP在增大，AP也在增大，而B(niǎo)P在漸漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到P1位置時(shí)，BA＝BP1，當(dāng)P點(diǎn)到P2位置時(shí)，AB＝AP2，故點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，△ABP中邊AB最大，由已知大事發(fā)生的概率為eq\f(1,2)可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)CD2＋BC2＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案D[反思感悟](1)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、面積、體積的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)的軌跡的推斷，在“動(dòng)”中求“靜”，也就是找出符合題設(shè)條件的“臨界點(diǎn)”．(2)此類(lèi)試題常與平面幾何圖形、不等式組表示的平面區(qū)域、直線與圓等學(xué)問(wèn)綜合考查，難度稍大．【自主體驗(yàn)】已知M：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2，))定點(diǎn)A(3,1)，在M內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得PA≤eq\r(2)的概率等于________．解析如圖所示，區(qū)域M是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為S＝22＝4；滿足PA≤eq\r(2)的點(diǎn)P在以點(diǎn)A(3,1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓內(nèi)．如圖，作出圓A，則扇形ABC的圓心角∠BAC＝eq\f(π,2)，故扇形ABC的面積S1＝eq\f(1,4)×π×(eq\r(2))2＝eq\f(π,2)，S△ABC＝S2＝eq\f(1,2)×AB×AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，所以陰影部分弓形的面積S3＝S1－S2＝eq\f(π,2)－1.所以所求大事的概率為P＝eq\f(S3,S)＝eq\f(\f(π,2)－1,4)＝eq\f(π－2,8).答案eq\f(π－2,8)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)觀察的是紅燈的概率()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量，故P＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).答案B2．取一根長(zhǎng)度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是 ()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案C3．(2022·長(zhǎng)沙聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為 ()． A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4) D．π 解析如圖，滿足|PA|≤1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部分運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(π,4). 答案C4．(2022·遼寧卷)在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為 ()． A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5) 解析設(shè)AC＝xcm,0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3). 答案C5．一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為 ()． A.eq\f(4π,81)B.eq\f(81－4π,81) C.eq\f(1,27) D.eq\f(8,27) 解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“平安飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27). 答案C二、填空題6．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_______． 解析如圖可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1，則由幾何概型可知其整體大事是其周長(zhǎng)3，則其概率是eq\f(2,3). 答案eq\f(2,3)7．已知如圖所示的矩形，長(zhǎng)為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000粒黃豆，落在陰影部分的黃豆為600粒，則可以估量出陰影部分的面積為_(kāi)_______． 解析設(shè)所求的面積為S，由題意，得eq\f(600,1000)＝eq\f(S,5×12)，則S＝36. 答案368．(2022·成都模擬)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之間的概率為_(kāi)_______． 解析由0≤cosx≤eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，可得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)，或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3). 答案eq\f(1,3)三、解答題9．在1上升產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機(jī)取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？ 解1升＝1000毫升，記大事A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”． 則P(A)＝eq\f(10,1000)＝0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 記大事B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”． 則P(B)＝eq\f(30,1000)＝0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03.10．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率． 解設(shè)大事A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成大事A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，依據(jù)條件畫(huà)出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1.如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長(zhǎng)超過(guò)eq\r(2)R的概率為 ()． A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2) 解析如圖，在圓上過(guò)圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC＝eq\r(2)R，當(dāng)點(diǎn)N不在半圓弧上時(shí)，MN＞eq\r(2)R，故所求的概率P(A)＝eq\f(πR,2πR)＝eq\f(1,2). 答案D2．(2022·湖北卷)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()．A.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)B.eq\f(1,π)C．1－eq\f(2,π) D.eq\f(2,π) 解析如圖，設(shè)OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，全部陰影面積為π－2.故所求概率P＝eq\f(π－1×2,π)＝1－eq\f(2,π). 答案C二、填空題3．(2022·煙臺(tái)二模)已知正三棱錐S－ABC的底邊長(zhǎng)為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是_______