2024屆江西省景德鎮(zhèn)市某中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

2024屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知將函數(shù)/（x）=sin（5+。）（0<。<6,的圖象向右平移?個單位長度后得到函數(shù)g*）的圖

象，若/（幻和雙幻的圖象都關(guān)于犬=2對稱，則①的值為（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

2.a//ayb//p.a//pt則〃與方位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

3.已知集合A={x|x>-1},集合3={_r|x（x+2）<0},那么AU8等于（）

A.{x\x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{%|-1<x<2}

4.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+/=的右焦點為尸（c,0）,若產(chǎn)到直線2h一緲二0的

距離為*c,則￡的離心率為（）

A.@B.1C旦。,旦

2223

5.已知定義在R上函數(shù)/（6的圖象關(guān)于原點對稱，且〃l+x）+/（2—x）=0,若"1）=1,則

/⑴+/（2）+〃3）+??+/（2020）=（）

A.0B.1C.673D.674

6.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)N除以正整數(shù)〃，所得的余數(shù)是〃”記為

“N三”（modm）”，例如7三1（mod2）.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的〃等于（）

C.18I).19

7.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的鏤修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(％)，)分別為(2』.5),(3,4.5),(455),(565),

由最小二乘法得到回歸直線方程為產(chǎn)L6x+"若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為

()

A.8年B.9年C.10年D.11年

8.已知函數(shù)/(x)=3x+2cosx,若。=/(3勺，b=f(2)tc=/(log27),則〃，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

9.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以2倍的塔

高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率35篙5。兀.設(shè)胡夫金字塔的高為〃，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單

條燈帶，則需要燈帶的總長度約為

A//12-2+4、,D-J.2+16、,

A.(4n+---)//B.(2兀+--------------)/?

2

C.(8-+4>/2兀2+1)1D.(27：+72K+16)/7

10.設(shè)片，&分別為雙曲線*-親?=1(。>0,〃>0)的左、右焦點，過點耳作圓/+),2=/的切線，與雙曲線的左、

右兩支分別交于點P，Q,若|Q段=|PQI，則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.±(\/3-1)C.±(G+1)D.±y/5

11.在AABC中，。為AC的中點，￡為A3上靠近點〃的三等分點，且BO,CE相交于點P,則AP=()

A.-AB+-ACB.-AB-^-AC

3224

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2333

12.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是；一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)（素數(shù)）之和，也就

是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想

的證明中做出相當好的成績,若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）

1132

A.-B.—C.-D.一

5353

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.三棱柱ABC-AqG中，AB=BC=ACf側(cè)棱_L底面,且三棱柱的側(cè)面積為?若該三棱柱的頂

點都在同一個球。的表面上，則球。的表面積的最小值為.

14.（x+1），的展開式中/的系數(shù)為.

15.若（1-2）”展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式各項系數(shù)和為.

16.（"2x）（l+x）6的展開式中/的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的首項為0,公差為￡N*;等差數(shù)列出｝的首項為0,公差為b,bwN??由數(shù)列｛q｝

和也｝構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表”；

記數(shù)表M中位于第i行第/列的元素為0,其中％=《+句，（i,7=1,2,3,…）.

記數(shù)表AT中位于第i行第J列的元素為％，其中4,=《-勺（l<z<Z?,/END.如：ci2=a^b29

九=4一".

(1)設(shè)“=5,b=9,請計算C2.6,。396.6,“2.6；

⑵設(shè)〃=6,b=7,試求為,◎?的表達式（用。）表示），并證明：對于整數(shù),,若/不屬于數(shù)表貝h屬于數(shù)

表AT；

(3)設(shè)。=6,b=7,對于整數(shù)￡,，不屬于數(shù)表求/的最大值.

18,（12分）如圖所示,四棱錐尸中，PC_L底面48cO,PC=CD=2t萬為A8的中點，底面四邊形ABC。

滿足N4OC=NOCB=90。，AD=ltBC=1.

p

(I)求證：平面E_L平面PAC；

(II)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

(HI)求二面角D-PE-B的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)4x)=x—Inx,g(x)=x2—ax.

(1)求函數(shù)八x)在區(qū)間，+l](f>0)上的最小值?、?

/?(%)-〃(占)

(2)令/"X)=g(X)—/lx),A(X1,/l(Xl)),B(X2/1(X2))(X#X2)是函數(shù)Mx)圖像上任意兩點，且滿足>1,求

t王一巧

實數(shù)。的取值范圍；

(3)若mx￡(O』],使兀展"一"3成立,求實數(shù)〃的最大值.

X

20.(12分)在AAGC中，角A,B，。所對的邊分別為。，b,。，且。=/?cosC+csin8.

(1)求8的值;

(2)設(shè)/BAC的平分線AD與邊8c交于點O,已知AD=',COSA=

―,求匕的值.

25

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=e函

(1)求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程;

(2)若對任意的相｛R,當x>0時，都有〃z2(2/(x)+：)>2后〃2-1恒成立，求最大的整數(shù)底

(參考數(shù)據(jù)?久1.78)

22.(10分)如圖，在等腰梯形ABCO中，AD=AB=CD=2tBC=4,M,N,Q分別為BC,CD,

AC的中點，以HC為折痕將,AC。折起，使點。到達點P位置(Pe平面ABC).

(D若H為直線QN上任意一點，證明：〃平面A5P；

(2)若直線AB與直線MN所成角為:‘求二面角”改”的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

因為將函數(shù)/(x)=sin(5+。)(0<o<6,的圖象向右平移9個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

x+(p.71

可得g(x)=sin①~^\=sm(ox-—(o+(p,結(jié)合已知，即可求得答案.

【詳解】

將函數(shù)/(x)=sin(ox+。)(0<3<6,-3<9<[)的圖象向右平移9個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象

/、.兀

/.g(x)=sincox--+。=sincox-—co+(p,

<3)\3>

TT

又/⑶和g)的圖象都關(guān)于戶工對稱‘

71,汽

乃+_

4(K，&￡Z),

.?.由J

717t.7CV

—co----o)+s=k、兀+一

43一2

得=_七)4，代,的EZ),

即口=314-左2)(4，%2€Z),

又0<3<6,

a)=3.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象

的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況，可得。與力的關(guān)系分別是平行、異面或相交.

二：/F

XVX7

(I)(2)<3)

選D.

3、A

【解析】

求出集合3,然后進行并集的運算即可.

【詳解】

:4={x[x>-l},B={x|-2<x<0),

???AL4={x[x>-2}.

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

01

由己知可得到直線2版-0=0的傾斜角為45，有一=1,再利用《2=從+/即可解決.

a

【詳解】

由f到直線2區(qū)一⑷，=0的距離為日c,得直線2"-〃)，=。的傾斜角為45，所以§=1,

即4(/_。2)=/,解得6=#.

故選：A.

【點睛】

本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構(gòu)造關(guān)于412,C?的方程或不等式，本題是一道容易

題.

5、B

【解析】

由題知/(x)為奇函數(shù)，且/。+力+/(2-司=0可得函數(shù)/(x)的周期為3,分別求出

/(0)=0，/。)=1，/(2)=-1,知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.

【詳解】

因為/(x)為奇函數(shù)，故/(0)=0,

因為/(1+工)+/(2-1)=0,故/(l+x)=-/(2-x)=/(x-2),

可知函數(shù)/(x)的周期為3；

在.f(l+x)+/(2_x)=0中，令1=1,故==

故函數(shù)/(x)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,

故/⑴+/(2)+/(3)+-?+/(2020)=/(1)=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

6、B

【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量〃的值，模擬程序的運行過程，代入四個選

項進行驗證即可.

【詳解】

解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).

若輸出〃=16,貝以6三l(mod3)不符合題意，排除；

若輸出〃=17,則17三2(mod3),17三2(mod5),符合題意.

故選:B.

【點睛】

本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.

7、D

【解析】

根據(jù)樣本中心點（X,y）在回歸直線上，求出〃，求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意還3.5J=4.5,（3.5,4.5）在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+〃,〃=-l.l,「J=1.6x-Ll，

由y=\.6x-\A>15,x>10-j^,

估計第11年維修費用超過15萬元.

故選:D.

【點睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得/（M在R上為增函數(shù)，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=3x+2cosx,其導數(shù)函數(shù)r（x）=3-2sinx,

則有廣⑶=3-2sinx>0在R上恒成立,

則/。）在R上為增函數(shù)；

又由2=log24vlog27v3v3#,

則〃vc<a；

故選：0.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為。，由題可得當=兀，所以孚，

2h2

該金字塔的側(cè)棱長為小+（爭2=M萼=弋+16,

所以需要燈帶的總長度約為4x2兀、+16+4x過=⑵i+以"6）），故選D.

42

【解析】

如圖所示：切點為M,連接OM,作PNJ_x軸于N,計算|歷|=2〃，|P周=4訪忸時=肛，巧N|二型,

cc

根據(jù)勾股定理計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點為M,連接QM,作尸N_Lx軸于N,

1mH然1=1例+歸制-1。閭=歸用=2，故仍用=4%

在R/AMOE中，sinNMf；。=幺，故cosNM4O=2,故歸%|=生，忻義|二邊，

（CCC

4,2

根據(jù)勾股定理：16/=空-+（2。一也］,解得2=6+1.

CIC）a

故選：C.

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的“算能力和綜合應(yīng)用能力.

11、B

【解析】

3x

KX

設(shè)4P=A8+）AC,則AP=A3+2），4O,AP=^-AE+yACt

由〃，P,。三點共線，C,P,￡三點共線，可知x+2y=l,亙+y=l,解得西丁即可得出結(jié)果.

2

【詳解】

^AP=.xAB+yACf則A〃=xA"+2)，A。，AP=—AE+yACf

2

因為8,P,。三點共線，C,P,￡三點共線，

3v11

所以x+2)，=l,—+y=\t所以x=5，y=-.

故選:B.

【點睛】

本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【詳解】

6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有：(1,5)0,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

根據(jù)古典概型知，所求概率為P=g.

故選：4

【點睛】

本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4〃

【解析】

分析題意可知，三棱柱45。-4與。1為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心。，

設(shè)棱柱的底面邊長為。，高為h,則三棱柱的側(cè)面積為3〃/=36，球的半徑表示為R=再由重要

不等式即可得球O表面積的最小值

【詳解】

如下圖，

V三棱柱ABC-4為正三棱柱

；?設(shè)A1G=a,BB[=h

A三棱柱的側(cè)面積為3ah—

：?a-h=y/3

又外接球半徑7圖XG

^>1

夕卜接球表面積S=4兀R?>4TT.

故答案為：44

【點睛】

考查學生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出

圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題

14、6

【解析】

在二項展開式的通項中令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結(jié)果.

【詳解】

(x+l)4的展開式的通項為(+1令4—〃=2n〃=2,

因此，"+1)4的展開式中爐的系數(shù)為C：=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、1

【解析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出〃的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.

【詳解】

由題意(工一2)〃展開式的二項式系數(shù)之和為64,即2”=64,故〃=6,令x=l,則展開式各項系數(shù)的和為(1-2成=1.

故答案為：1

【點睛】

本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結(jié)果,

需要掌握解題方法.

16、3

【解析】

分別用1和(-2月進行分類討論即可

【詳解】

當?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式應(yīng)取含/的項，則對應(yīng)系數(shù)為：lxC；=C：=15；

當?shù)谝粋€因式取-2x時，第二個因式應(yīng)取含工的項，則對應(yīng)系數(shù)為：(-2)xC：=-12：

故(1-2x)(1+4的展開式中產(chǎn)的系數(shù)為C；+(—2)C=3.

故答案為：3

【點睛】

本題考查二項式定理中具體項對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)50,2020,-49(2)詳見解析(3)29

【解析】

(1)將。=5,8=9代入，可求出外,",可代入求吃,4.八可求結(jié)果.

(2)可求q“，4.八通過反證法證明，

(3)可推出，任M,，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出.

【詳解】

(1)由題意知等差數(shù)列｛4｝的通項公式為：/=5〃-5；

等差數(shù)列｛2｝的通項公式為：2=9〃-9,

得qj=q+%=(5i-5)+(9i-9)=5i+9j-l4,

則。2.6=50,0396.6=2020,

得4,j=4_%=(5Z-5)-[9(y+l)-9]=5/-9J-5,

故4,6=Y9.

(2)證明：已知。=6.8=7,由題意知等差數(shù)列｛4｝的通項公式為：=6H-6；

等差數(shù)列｛a｝的通項公式為：b“=7〃-7,

得q,=4+旬=(6i-6)+(7i-7)=6/'+7J-13,(iwN*,jeN*),

得4j=4一與+i=(6i-6)-[7(j+l)-7]=6i-7J-6,掇ij7,ieN*,jwN*).

所以若/wM,則存在〃WN,vwN,使/=6〃+7i，，

若feA/*,則存在〃eN,M?6,vw/V*,使，=6〃-7u,

因此，對于正整數(shù)，，考慮集合M)=3x=-6〃，〃eN,必6｝,

即｛/,/—6,，—12,f—18,，—24,r—30>，-36｝.

下面證明：集合M。中至少有一元素是7的倍數(shù).

反證法：假設(shè)集合Mo中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合Mo中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,

6,

又因為集合陽。中共有7個元素，所以集合M。中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同，

不妨設(shè)為"6%,"%其中小,/eN,n,<6.則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即。一%)-(/-64)=6(應(yīng)-的)，

所以q-小=0,與《〈應(yīng)矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

即集合M()中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為「-6〃o,“o,，6,%wN,

則存在seZ,使，-6"o=7s,M()eN,w0?6,即/=6%+7s,w0eV,seZf

由己證可知，若teM,則存在“eN,vwN,使f=6w+7u,而/eM,所以S為負整數(shù)，

設(shè)1/=一6,貝iJvwN*,且f=6%-7u,%wN,%,,6,vwN*,

所以，當。=6,〃=7時，對于整數(shù)匕若/2M,貝he例*成立.

(3)下面用反證法證明：若對于整數(shù)『，teM*t貝(J/2M,假設(shè)命題不成立，即feM*,且

則對于整數(shù)/,存在n￡N,meN>ueN,u?6,veN*t使f=6〃-7y=6〃+7/n成立,

整理，得6(〃-〃)=7(〃?+1，)，

又因為也wN,veN*，

所以〃_〃=二(〃?+K)>0且是7的倍數(shù)，

6

因為“wN,〃,,6,所以,6,所以矛盾，即假設(shè)不成立.

所以對于整數(shù)1，若小用*,貝打任M,

又由第二問，對于整數(shù)摩加，則FM*,

所以/的最大值，就是集合M*中元素的最大值，

又因為，=6〃—7u,UEN,VGN案,4,6,

所以La=(M*)i=6x6-7x1=29.

【點睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題.

18、(I)證明見解析(n)(m)-土叵.

317

【解析】

(I)由題知OEJ.PC,如圖以點。為原點，直線CD、CB、CQ分別為X、第z軸，建立空間直角坐標系，計算

DEAC=(^證明O￡J_AC，從而力E_L平面R4C,即可得證；

(II)求解平面以用的一個法向量〃，計算cos(〃,CP),即可得直線PC與平面以圮所成角的正弦值；

(III)求解平面尸》￡的一個法向量加，計算cos(〃z,〃)，即可得二面角O-PE的余弦值.

【詳解】

(I)PCJ_底面48C。，:.DE上PC,

如圖以點C為原點，直線CZ)、CB、CP分別為％、Az軸，建立空間直角坐標系,

則C(0,0,0),D(2,0,0),8(0,3,0),尸(0,0,2),A(2,l,0),E(l,2,0),

/.DE=(-1,2,0),AC=(-2,-1,0),DE.AC=0>

.?.DEJLAC,又CP〕C4=C,二DT_L平面R4C,

?/力石u平面PDEt.?平面POEJL平面PAC；

(II)設(shè)〃=(x，y,zj為平面/7)E的一個法向量,

又收=(1,2,-2b?；?(-1,2,0),3=(0,0,2),

n-DE=-Xj+2y=0

取y=1,得〃=(2,1,2)

nPE=x]+2yt-2zi=0

n-CP2

cosCP

二.直線PC與平面PDE所成角的正弦值|；

(DI)設(shè)機=(9,%，22)為平面PBE的一個法向量,

又尸5=(0,3,-2),即=(-1,1,0),

m-PB=3%—2zi=03、

則「0%2取%=2,得〃7=(2,2,3),

n?EB=-x2+y2=0

/\n-m4\/r7

cos(〃!，")=------=------.

''n-m17

二面角D-PE-B的余弦值-勺叵

17

【點睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應(yīng)用，考查了學生的空間想象能力與運算求解能力.

[r-lnr,r>1__

19、⑴/。)=，(2)fl<2V2-2.(3)?<2V2-2.

【解析】

(1)是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進

行求解.

(2)注意到函數(shù)Mx)的圖像上任意不同兩點A，3連線的斜率總大于1,等價于〃(X|)-MX2)VM—X2(X|VX2)恒成立，

從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=Mx)-x在(0,+8)上單調(diào)遞增，進而等價于「(￥心0在(0,+8)上恒成立來加以研究.

(3)用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的最值，得到七2L1再利用導數(shù)求

x+l

函數(shù)M(A)=2廠—xlnx的最大值,這要用到二次求導，才可確定函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)最值.

x+1

【詳解】

(i)/(x)=l--,x>0,

x

令r(x)=o,則x=i.

當侖1時，/U)在［，，f+1］上單調(diào)遞增，/U)的最小值為八0=/一。出

當OVfVl時，人工)在區(qū)間化1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1,1+1)上為增函數(shù)，4x)的最小值為八1)=1.

r-lnr,z>1

綜上，，獻0=,

l,O<r<l

(2)h(x)=x1—(a+l)x+lnxt

不妨取OVxiVX2,則Xl—X2<0,

/?(x)-h(x)

則由-----------7->1t,可得h(x\)—h(x2)<xi—X2r

西一天

變形得力(X|)—X1V，2(X2)—X2恒成立.

令尸(x)=Mx)-x=x2—(a+2)x+/〃x,J>(),

則尸(x)=i—3+2)x+加x在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故?(幻=2工一(“+2)+'村在(0,+oc)上恒成立，

x

所以2x+,加+2在(0,十◎上恒成立.

X

1后

因為lr+,N2行，當且僅當\=學時取"=”，

所以心20—2.

(3)因為人^生2,所以G(X+L)W2X2—

x

因為xe(o』］,則x+ie(i,2］,所以使得妙”成立.

x+1

2x2-x\nx…2<+3x-lnx-l

令A(yù)M(x)=—~~山上，則Mf(x)=——---；——.

X+l。+1)~

令y=2F+3x-1,則由)/=(X+D(4*_D=o可得工=>!■或工=—1(舍).

x4

當(0,1)時，y'VO，則函數(shù)y=2/+3X一/〃x—1在上上單調(diào)遞減；

44

當x￡（：,+oo）時，V>0,則函數(shù)尸lx?+在，,+8）上單調(diào)遞增.

所以心54—；>0,

8

所以Mr（x）>（）在（0,1］時恒成立，

所以Wx）在（0,1］上單調(diào)遞增.

所以只需即延1.

所以實數(shù)。的最大值為1.

【點睛】

本題考杳了函數(shù)與導數(shù)綜合問題，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學運算能力，屬于難題.

”n冗人\,ADsinZ.ADC

20、（1）B=—；（2）/?=------------------.

''4v7sinC

【解析】

（1）利用正弦定理化簡求值即可；

（2）利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結(jié)合正弦定理求出b的值.

【詳解】

解：（1）〃一方cosC=csin8,由正弦定理得：sinA-sinBcosC=sinCsinB,

sin（乃一8-C）-sinBcosC=sinCsinB,

sin（B+C）-sinBcosC=sinCsinB,

sinBcosC+sinCcosB-sin8cosC=sinCsinB,

sinCeosZ?=sinCsin

又B,C為三角形內(nèi)角，故sinB>0,sinC>0,

乃

則cos8=sin8〉0,故tanB=l,B=一；

4

（2）AQ平分NAAC,設(shè)/3AO=NCW=x,則A=2xe（0,4）,

2

cosA=cos2x=2cosx-1=--—,cosx=—t則sinx=Jl-cos.。=—,

2555

sinA=71-cos2A=—,又8=一,

254

inn?6?方八.34.3^..17五

則sinC=sin----A-sin——cosA-cos——sinA-------

I4J4450

sinZADC=sin(/?+x)=sinx+—^sinxcos—+cosxsin—=

'，I4)441()

,.…bAD.ADsinZADC

在=4C7)中，由正弦定理：b=----———.

sinZADCsinCsinC

【點睛】

本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，二倍角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21、(1))二夕(2)2

【解析】

(1)先求得切點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.

(2)對加分成，〃7=0，加工。兩種情況進行分類討論.當〃件0時，將不等式〃72(2/(幻+￡|>2反〃L1轉(zhuǎn)化為

2/(幻+)>2瘍丁―1,構(gòu)造函數(shù)加x)=2/(x)+,，利用導數(shù)求得力(6的最小值(設(shè)為。)的取值范圍，由

xm~x

a>2HmT的得〃加2一2瘍%+1〉0在刀￡R上恒成立，結(jié)合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式,

解不等式求得k的取值范圍.

【詳解】

(1)已知函數(shù)/(x)=e1則(1J⑴)處即為(l,e),

又/’(%)=k=f'[\)=et

可知函數(shù)/(x)=伺過點(1,/(1))的切線為y-e=e(x-l)9即y=紗.

(2)注意到戈〉0,

不等式〃[22/*)+1)>2反機一1中，

當777=0時，顯然成立；

當加工0時，不等式可化為2/(幻+,>2向7T

xtn"

令h(x)=2/(x)+-=2ex+-,則〃’(幻=2ex-3，

XXx~

1-1L

//(-)=2e2-------