解三角形滿分通關10講學生版

解三角形滿分通關10講專題一三角形中基本量的計算問題 2考點一計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值 3考點二計算三角形中的邊或周長 6專題二三角形的三線兩圓及面積問題 10考點一三角形的三線兩圓問題 11考點二計算三角形的面積 14專題三三角形形狀的判定問題 16專題四三角形中的最值(范圍)問題 20考點一三角形中與角或角的函數(shù)有關的最值(范圍) 20考點二三角形中與邊或周長有關的最值(范圍) 22考點三三角形中與面積有關的最值(范圍) 24專題五三角形中邊角的計算問題 26專題六三角形中面積的計算問題 32專題七三角形中的結構不良題型 34專題八多三角形問題 35專題九三角形中的最值(范圍)問題 38考點一三角形中與角或角的函數(shù)有關的最值(范圍) 39考點二三角形中與邊或周長有關的最值(范圍) 40考點三三角形中與面積有關的最值(范圍) 41專題十解三角形綜合問題 43考點一正、余弦定理與三角函數(shù)結合的問題 43考點二正、余弦定理與與向量結合的問題 46專題一 三角形中基本量的計算問題1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccosA；內容＝＝＝2Rb2＝c2＋a2－2cacosB；sinAsinCsinBc2＝a2＋b2－2abcosC．bsinAasinBasinC(1)a＝，b＝，c＝；sinBsinAsinAasinBbsinAcsinAb2＋c2－a2(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；cosA＝；baa2bc(3)a2RsinC變形2RsinAb2RsinBccosB＝；abc2ac(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；a2＋b2－c22R2R2RcosC＝．(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；2ab(6)a＋b＋c＝2R．sinA＋sinB＋sinC2．三角形面積公式(a＋b＋c)·r(r，R為別是△ABC內切圓半徑和外接圓半徑)，111abc1S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝2224R2并可由此計算R、r．3．解三角形有關的二級結論(1)三角形內角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：A＋BπC＝－．222(2)三角形中的三角函數(shù)關系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠π)；④sinA＋B＝cosC；⑤cosA＋B2222＝sinC．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π)．22(3)三角形中的不等關系①在三角形中大邊對大角，大角對大邊．π222．③若△ABC為銳角三角形，則A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a＋b>c．若△ABC為鈍角三角形(假2如C為鈍角)，則A＋B<π，sinA<cosB，cosA>sinB．?abc2④c2＝a2＋b2C為直角；c2>a2＋b2C為鈍角；c2<a2＋b2C為銳角．⑤＋＞，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈0，π，則sinx＜x＜tanx．若x∈0，π，則1＜sinx＋cosx≤2．22(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；②若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進行三角恒等變換；③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；④含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；⑤同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．考點一 計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值【方法總結】計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值的解題技巧此類問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例1](1)(2013·湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asinB＝3b，則角A等于()A．πB．πC．πD．π12643(2)(2017·全國Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知C＝60°，b＝6，c＝3，則A＝________．在中，角，，所對的邊分別是，，．已知＝，＝，則cosC等于()(3)ABC7abc78b5cC2B24A．B．－C．±D．25252525(4)(2017·全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，則C＝()A．πB．πC．πD．π12643(2018·全國Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2＋b2－c2，則C4＝()A．πB．πC．πD．π2346(6)(2016·山東)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A等于()A．3πB．πC．πD．π4346(7)E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝________．(8)(2014·天津)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝1a，2sinB＝3sinC，4則cosA的值為________．(9)在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，()的值為13C．A．B．2D．24443(10)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b＋a＝6cosC，則tanC＋tanC的值tanAabtanB是________．【對點訓練】1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ba＝，則cosB等于()3cosBsinAA．－1B．1C．－3D．322222．在ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于________．3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB＝()52A．5△B．5C．5D．534564．已知a，b，c為ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1)D．3∶25．(2013·遼寧)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝1b，且a2＞b，則B等于()A．πB．πC．2πD．5π63366．如圖，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝22，則cosA等于( )A．232 B．42 C．46 D．367．在ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為________．8．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝π，則cos5B＝()36A．－3B．1C．1或－1D．－3或022229．已知△在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于________．10．在 ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，則角B的大小為( )A．πB．πC．π或5π636611．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點D在邊BC上，∠BAD＝45°，則12．(2020·全國Ⅲ)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，則cosB等于(

D．π3或2π3tan∠CAD的值為________．)A．1B．1C．1D．2932313．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝120°，a＝2b，則tanA＝________．14．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(3＋1)∶2，則最大角為________．15．(2020·全國Ⅰ)如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tanC＝()A．3B．4C．－4△D．－3)344317．在 ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2， ABC面積的最大值為3，則角B的值為A．2πB．πC．πD．π336418．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－23bcsinA，則C＝________．19．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB，則角B＝________．20．在 ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則＝()A．60°B．120°C．30°D．150°21．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則A＝( )A．πB．πC．5πD．2π636322．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinB－sinA＝3a＋c，則角B＝_______．sinCa＋b23．在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且b＋a＝2asinB－c，則A＝________．sinCsinB－sinA24．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，則角A為()A．30°B．60°C．120°D．150°25．設的內角，，所對邊的長分別為，，．若＋＝，＝5sinB，則角C＝________．ABCabcbc2a3sinA126．△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則sinB的值為2()A．22B．3C．7D．14343sin2A27．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，則等于________．sinC考點二計算三角形中的邊或周長【方法總結】計算三角形中的邊長的解題技巧此類問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例2](1)在△ABC中，若A＝60°，a＝2a＋b＋c3，則等于________．sinA＋sinB＋sinC45(2)(2016·全國Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝5，cosC＝13，a＝1，則b＝________．(3)在△ABC中，C＝2π，AB＝3，則△ABC的周長為()3A．6sinA＋π＋3B．6sinA＋π＋3C．23sinA＋π＋3363(4)(2016·全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝

D．23sinA＋π＋365，c＝2，cosA＝23，則b＝()A．2B．3C．2D．3C(5)(2018·全國Ⅱ)在△ABC中，cos＝5，BC＝1，AC＝5，則AB＝()25A．42B．30C．29D．25(6)△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．若sinB＝5，cosB＝12，13ac則a＋c的值為________△．(7)如圖，在 ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB的長為_____．(8)如圖所示，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長為________．(9)在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋bcosAc＝2cosC，則c等于()A．27B．4C．23D．333(10)已知△ABC中，AC＝2，BC＝6，△ABC的面積為．若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC2＝π，則CD＝________．4【對點訓練】1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，則a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．2∶3∶12．在△ABC中，若b＝5，B＝π，tanA＝2，則a＝________．43．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝1π3，sinB＝，C＝，則b＝________．26b4．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，則等于()aA．23B．22C．3D．25．(2019浙江)在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，點D在線段AC上，若BDC45，則BD___________，cosABD___________．6．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA＝3，cosB＝5，b＝3，則c＝________．7．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝51345，cosC＝，a＝1，則b＝()513A．21B．7C．12D．2313513128．(2017·山東)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是( )A．a(chǎn)＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，sin2C＝1，B＝π，則a的值為()1－cos2C6A．3－1B．23＋2C．23－2D．2＋610．在ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()D4B2C3．．．．711．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，則a＝()8A．2B．5C．3D．72212．(2013·福建)在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝22，AB＝32，AD＝3，則3BD的長為()A．3B．3C．2D．213．(2014·廣東)在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則a＝____．b14．(2014·全國Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是1，AB＝1，BC＝2，則AC等于()2A．5B．5C．2D．1π3sin2C15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，則c＝()3cosCA．2B．3C．4D．6316．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos2A＋3sin2A＝2，b＝1，S＝，2A＝________，b＋c＝________．sinB＋sinC17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面積為33，則△ABC的周長為()2A．1＋7B．2＋7C．4＋7D．5＋718．在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝4，b＝26，sin2A＝sinB，則邊c的長為A．2B．3C．4D．2或419．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝1a，則＝()4cA．2B．3C．3D．4220．若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，則a＝()bA．2B．3C．2D．321．(2019·全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝1b－，則＝()4cA．6B．5C．4D．322．在△ABC中，已知B＝π，D是BC邊上一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，則AB的長為________．4A＋B23．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c．若2cos2－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，2則c的值為()A．13B．7C．37D．6→3－1→24．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一點，且BD＝BC，則AD的長為_______．225．如圖，在△ABC中，D是BC上的一點．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，則AB＝________．10，DC＝226．如圖，在△ABC中，AB＝2，點D在邊BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝31010，cos∠C＝255，則AC＝________．27．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，則BD的長等于________．28．在四邊形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，則AB的長為______．29．在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且B為銳角，若sinA＝5c，sinB＝7，S△ABC＝57，4sinB2b4則b的值為________．π3＋330．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知A＝，b＝6，△ABC的面積為，42則c＝________，B＝________．331．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面積為，且sinA＋sinC2＝2sinB，則b的值為________．△32．在ABC中，B＝30°，AC＝2ACD的面積為5，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，BC＝________．，則，△ABC的面積為．若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC33．已知△ABC中，AC＝，BC＝3262＝π，則CD＝________．434．在ABC中，A＝60°，BC＝，BCD的面積為10，D是AB邊上不同于A，B的任意一點，CD＝2AC()，則的長為A．2B．C．3D．233333專題二 三角形的三線兩圓及面積問題一．中線中線定理：一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊平方的一半與該邊中線平方的2倍．即：如圖，在ABC中，D為BC中點，則AB2AC212BC22AD2．證明在ABD中，cosBAB2BD2AD2，在ABC中，cosBAB2BC2AC2．2ABBD2ABBCAB2AC212BC22AD2．另外已知兩邊及其夾角也可表述為：4AD2AB2AC22ABACcosA．121212121證明由AD(ABAC)，AD(ABAC)ABACABACcosA，244424AD2AB2AC22ABACcosA．二．角平分線角平分線定理：如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，則ABBD．ACCD證法1在ABD中，ABBD，在ACD中，ACCD，ABBD．sinADBsinBADsinADCsinCADACCD證法2該結論可以由兩三角形面積之比得證，即SABDABBD．SACDACCD三．高高的性質：h，h，h分別為ABC邊a，b，c上的高，則h:h:h1:1:11:1:1123123abcsinAsinBsinC求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度．四．外接圓過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓．其圓心叫做三角形的外心．外接圓半徑的計算：R＝abc＝＝．2sinA2sinB2sinCabc外接圓半徑與三角形面積的關系：S△ABC＝＝(R為△ABC外接圓半徑)．4R五．內切圓與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓．其圓心叫做三角形的內心．內切圓半徑與三角形面積的關系：S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r為△ABC內切圓半徑)，并可由此計算r．考點一三角形的三線兩圓問題【例題選講】[例1](1)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()3C．＋＋A．3B．336D．33942227(2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC邊的中線AD＝，則BC＝________．2(3)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分線AD＝3，則AC＝________．(4)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若tanC＝125，a＝b＝13，BC邊上的中點為D，則sin△∠BAC＝________，AD＝________．(5)已知ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，BC邊上的中線長為22，高線長為3，且btanA＝(2c－b)tanB，則bc的值為________．(6)已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內切圓面積為________．(7)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為()A．4πB．2πC．πD．π2(8)設△ABC內切圓與外接圓的半徑分別為r與R，且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosC＝________；當BC＝1時，△ABC的面積為________．(9)在ABC中，D為邊AC上一點，AB＝AC＝6，AD＝4，若ABC的外心恰在線段BD上，則BC＝_____．△△答案36解析解法1如圖1，設ABC的外心為O，連結AO，則AO是∠BAC的平分線，所BOAB33→→3→→→2→3→→＝＝，→＝→＋→＝→＋＝＋－，＝＋，AB5(ADAB)5AD以ODAD2所以AOABBOAB5BD即AO5AB兩邊同時點乘AB得→→2→3→→23136＋36－2×62×1AO·AB＝(AB)2＋AB·AD，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以cos∠BAC＝，則BC＝455554＝3→6．(說明：兩邊同時點乘AD也是一樣的)圖1圖2圖311解法2·6Rsinα＋·4Rsinα221·6·4sin2α，化簡得24cosα＝5R．在Rt△AFO65＝中，Rcosα＝3，聯(lián)立解得R＝10，cosα＝，所以sinα2583，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×3＝3＝6．88解法3如圖3，延長AO交BC于點E，過點D作BC的垂線，垂足為F，則BO＝AB＝3，OE＝BO＝ODAD2DFBD3．又DF∥AE，則DFCD1OE1．設OE＝x，則AE＝5x，所以OB＝OA＝4x，所以BE＝＝＝，所以＝15x．又5AECA3AE51因為25x2＋15x2＝36，所以x＝3，所以BC＝2BE＝36．10(10)已知△ABC的外接圓半徑為R，且滿足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，則△ABC面積的最大值為________．【對點訓練】1．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，則AC邊上的高為________．2．如圖所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝473，則BC邊上的高AD的長為_____．π13．(2016·全國Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA＝()433101010310A．B．C．－D．－101010104．在銳角ABC中，內角，所對的邊分別為a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝23，D為BC的中點，則AD的長為________．5．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中點，AM＝4，則BC等于________．6．在 ABC中，AD為邊BC上的中線，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，則sin∠ADC＝________，AC＝________．7．在△ABC中，已知AB＝436，cos∠ABC＝66，AC邊上的中線BD＝5，則sinA的值________．８．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝26，則B的角平分線的長是________．9．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分線交BC于點D，且BD＝7，則cos∠ADB的值為()C．2A．－21B．217D．±21777710．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，△ABC的外接圓半徑為1，則△ABC的面積S＝________．11．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓直徑為________．12．△ABC的兩邊長分別為2，3，其夾角的余弦值為1，則其外接圓的直徑為________．313．已知三角形兩邊長分別為1和3，第三邊上的中線長為1，則三角形的外接圓半徑為________．14．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝2，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接23圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36π15．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內接三角形的三邊，若abc＝162，則三角形的面積為________．16．如圖所示，已知圓內接四邊形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，則BC＝________．17．在外接圓半徑為12的△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，則b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．32218．在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為63a，則bc＋bc取得最大值時，內角A的值為()A．πB．πC．2πD．π2633考點二 計算三角形的面積【方法總結】三角形面積問題的題型及解題策略三角形的面積是與解三角形息息相關的內容，經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，難度不大．解題的前提條件是熟練掌握三角形面積公式，具體的題型及解題策略為：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有關元素之后，直接求三角形的面積，或求出兩邊之積及夾角正弦，再求解．(2)把面積作為已知條件之一，與正弦定理、余弦定理結合求出三角形的其他各量．面積公式中涉及面積、兩邊及兩邊夾角正弦四個量，結合已知條件列方程求解．【例題選講】[例2](1)(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，則△ABC的面積等于________．答案23解析在△ABC中，由正弦定理得sin60°23＝sin4B，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝12×AB×23＝12×42－232×23＝23．(2)(2019·全國Ⅱ)△ABC的內角內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝π3，則△BDC的面積是________．答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB，所以(2c)2c222cc162，即32c212，解得c23,c23（舍去），所以a2c43，S△ABC12acsinB1243232363．(3)(2018·全國Ⅰ)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為__________．答案23解析已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC?2sinBsinC＝4sinA·sinBsinC，所以sinA＝1，由b2322228＋c2－a2＝8>0知A為銳角，所以cosA＝3，所以3＝b＋c－a＝4，所以bc＝＝83，所以S△ABC＝222bcbc331bcsinA＝1×83×1＝23．23232(4)(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．(5)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝4，cosC＝5，a＝1，則△ABC的面積S135＝________．→→(6)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，BA·BC＝2，則△ABC的面積為________．(7)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，且c＝6，C3()，則的面積是A．3B．33C．3或1D．3或33(8)已知四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，試求四邊形ABCD的面積．【對點訓練】 △1．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設 ABC三個內角A，B，1a2＋c2－b2C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝a2c2－22．若a2sinC4＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為()C．3△A．3B．2D．6π2．在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知a＝2，c＝22，且C＝，則△ABC的面積4為()A．3＋1B．3－1C．4D．23．(2013·全國Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝π，C＝π，則△ABC的64面積為()A．23＋2B．3＋1C．23－2D．3－14．已知在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝2bcosA，B＝π3，c＝1，則△ABC的面積為________．5．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，則△ABC的面積為________．6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(2b－a)cosC＝ccosA，c＝3，sinA＋sinB＝26sinAsinB，則△ABC的面積為()33333A．B．2C．D．8247．在△ABC中，c＝22，a>b，tanA＋tanB＝5，tanAtanB＝6，則△ABC的面積為________．38．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝1，2b－3c＝2acosC，sinC＝，則2△ABC的面積為()33333A．B．C．或D．3或242429．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，則其面積等于________．10．(2014·江西)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若c2＝(a－的面積是()A．3B．93C．3322

b)2＋6，C＝π3，則△ABCD．3311．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝22，cosA＝34，sinB＝2sinC，則△ABC的面積是________．12．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，cosB＝1，則c＝________；△ABC4的面積S＝________．713．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝5，a＝3，cos(B－A)＝，則△ABC的面積為9()1552A．B．C．52D．222314．如圖，在四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于________．專題三 三角形形狀的判定問題【方法總結】利用正、余弦定理判斷三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．正(余)弦定理是轉化的橋梁，無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因△式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖△掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)△值的限制．特別地，在ABC中，c是最大△的邊，若c2<a2＋b2，則ABC是銳角三角形；若c2＝a2＋b2，則ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，則ABC是鈍角三角形．【例題選講】[例1](1)在△ABC中，cos2B＝a＋c(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為( )2 2cABCDA．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(2)在ABC中，若tanAtanB>1，則ABC是()．銳角三角形．直角三角形．鈍角三角形．無法確定(3)若△ABC的三個內角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC()A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形△BCDC．一定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形(4) ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，則 ABC的形狀為( )．等邊三角形

．銳角三角形

．鈍角三角形

．直角三角形(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀為( )A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 C 解析 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋

B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a2＝b2aa2＋c2－b2，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，2bc 2ac∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若tanA∶tanB＝a2∶b2，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形abc答案D解析法一：由＝＝＝2R，則條件化為：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝sinAsinBsinC8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．a(chǎn)2＋b2－c2法二：將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即b2＋c2－b2·2ab2－a2＋c2－b222222222222224c2·2ac2＝2bc·a＋c－b·a＋b－c，即b2＋c2＝[a＋b－c＋a＋c－b]＝4a＝a2，∴A＝90°，2ac2ab4a24a2∴△ABC為直角三角形．(8)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得sinC＝c，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC＝c．又由余sinBb2sinB2b弦定理得cosA＝b2＋c2－a2，所以c＝b2＋c2－a2，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．又因為(a2bc2bc2b＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2．所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC為等邊三角形．法二：因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因為2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0．又因為A與B均為△ABC的內角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC222ab1＝a＋b－c＝＝，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC為等邊三角形．2ab2ab2(9)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2C＋1，則△ABC為()22A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．銳角非等邊三角形D．鈍角三角形a2＋c2－b2C答案B解析由2acosB＝c?2a·＝c?a2＝b2，所以a＝b．因為sinAsinB(2－cosC)＝sin22ac212，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2C2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因為cosC≠2，所以sinAsinB＝12，因為a＝b，所以sin2A＝12，所以A＝B＝π4，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B．(10)已知a，b，c分別是△ABC三個內角A，B，C的對邊．下列四個命題：①若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；②若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；④若cosaA＝cosbB＝coscC，則△ABC是等邊三角形．其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號)【對點訓練】1．在△ABC中，sin2A＝c－b，則△ABC的形狀為()22cA．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，cos，則△ABC一定是(A1＋cosB)＝22A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無法確定c3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cosA，則△ABC為()bA．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形4．在ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為()D△ABBCC．等腰三角形．等腰直角三角形．等腰三角形或直角三角形．直角三角形5．在 ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2sinAcosB＝sinC，則 ABC的形狀為( ) △．直角三角形6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，則 ABC的形狀為(

)

．等腰直角三角形A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形7．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形sinAcosBcosC，則△ABC是()８．若＝＝abcA．等邊三角形B．有一內角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一內角是30°的等腰三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知三個向量m＝a，cosA，n＝b，cosB，p．在9△c，cosCABC的形狀為()222共線，則＝A．等邊三角形△B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形10．(2013·陜西)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定11．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()△()B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形A．等腰三角形12．在 ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則 ABC的形狀為A．等邊三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形13．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若直線bx＋ycosA＋cosB＝0與ax＋ycosB＋cosA＝0平行，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰或者直角三角形14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinsinAB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為( )A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形15．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，則△ABC的形狀為( )A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形bcosC1＋cos2C16．在△ABC中，若＝，則△ABC為()ccosB1＋cos2B()C．直角三角形D．等腰或者直角三角形A．銳角三角形B．等腰三角形17．在 ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝3cosC，則下列結論中正確的是D．△ABC是等邊三角形A．A＝πB．c＝2aC．C＝π62cosAb18．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝2，則該三角形的形狀是()＝cosBa19．已知△ABC中，內角A、B、C成等差數(shù)列，其對邊為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為()20A．等腰三角形B．等邊三角形△C．直角三角形D．鈍角三角形A．和A2B2C2都是銳角三角形A2B2C2的三個內角的正弦值，則()．如果A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形D．△A1B1C1是鈍角三角形，是銳角三角形是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形專題四 三角形中的最值(范圍)問題三角形中最值(范圍)問題的解題思路任何最值(范圍)問題，其本質都是函數(shù)問題，三角形中的范圍最值問題也不例外．三角形中的范圍最值問題的解法主要有兩種：一是用函數(shù)求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范圍用函數(shù)．由于三角形中的最值(范圍)問題一般是以角為自變量的三角函數(shù)問題，所以，除遵循函數(shù)問題的基本要求外，還有自己獨特的解法．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結果的范圍過大．考點一 三角形中與角或角的函數(shù)有關的最值(范圍)【例題選講】[例1](1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍是()π，ππ，ππ，π0，πB．42C．32D．2A．2(2)在ABC中，若AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是()A．0，πB．0，ππ，ππ，π62C．62D．62(3)在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，A≠π，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，則角A的2取值范圍為()A．0，πB．0，πC．π，πD．π，π646463BπCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sinBcosA答案解析法一：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝22sinAcosA，因為A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a，所以A為銳角，2π0，20，又sinB＝2sinA∈(0,1]，所以sinA∈2，所以A∈4．△ABC法二：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝2sinAcosA，πCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sin2A2sinBcosA2b2＋c2－a2因為A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝22bc122212·c2π2b＋c2b220，≥＝224．2bc2bc(4)(2014·江蘇)若△ABC的內角滿足sinA＋2sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．(5)設△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，則tanC＝_____；tanB的最tanA大值為________．(6)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝2bsinC，則tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．4B．33C．8D．63【對點訓練】1．在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為()A．0，ππ，ππ，ππ，π2B．42C．63D．322．已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，則角A的取值范圍是()π，2ππ，πC．0，ππ，πA．63B．646D．633．已知a，b，c分別是△ABC內角A，B，C的對邊，滿足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsin(B，則C的最大值為________．)4．在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝2a2，則cosA的最小值為________．5ABCABCabccos2Acos2B2cos2CcosC．已知的內角，，的對邊分別為，，，且＋＝，則的最小值為B．C．1D．－1A．32()22226．在鈍角 ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acosA＝bsinA，則sinA＋sinC的最大值為B．9D．7A．2C．1887．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB－bcosA＝12c，當tan(A－B)取最大值時，角△B的值為________．8．在 ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－2asinB，則sin2Atan2B的△最大值是__________．9．在 ABC中，若sinC＝2cosAcosB，則cos2A＋cos2B的最大值為________．10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3acosC＋b＝0，則tanB的最大值是________．11．(2016江蘇)在銳角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________．12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足b2－a2＝ac，則tan1A－tan1B的取值范圍是________．13．在銳角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，則tan1A＋tan1B＋tan1C的最小值為________．考點二 三角形中與邊或周長有關的最值(范圍)【例題選講】[例2](1)已知△ABC中，角A，32B，C成等差數(shù)列，且△ABC的面積為1＋2，則AC邊的長的最小值是________．(2)(2015·全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依題意作出四邊形ABCD，連結BD．令BD＝x，AB＝y(tǒng)，∠CDB＝α，∠CBD＝β．在△BCD中，由正弦定理得2x＝．由題意可知，∠ADC＝135°，則∠ADBsinαsin75＝135°－α．在△ABD中，由正弦定理得xyy2，即y＝2sin(135°－α)＝．所以＝sin75°sin(135°－α)sin(135°－α)sinαsinα＝2sin[90°－(α－45°)]＝2cos(α－45°)＝2(cosα＋sinα)．因為0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，sinαsinαsinα1＋1．又tan30°＝當α＝90°時，易得y＝；當α≠90°時，y＝2(cosα＋sinα)3，tan105°＝tan(60°2＝2tanαsinα3tan60°＋tan45°11＋45°)＝＝－2－3，結合正切函數(shù)的性質知，∈(3－2，3)，且≠0，所以y＝1－tan60°tan45°tanαtanα1＋12tanα∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．綜上所述：y∈(6－2，6＋2)．提速方法：畫出四邊形ABCD，延長CD，BA，探求出AB的取值范圍．如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF<AB<BE．在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BEBE22＝CE，BC＝2，，∴BE＝×6＋2＝＝6＋2．∴6－2<AB<6＋2．sin75°sin30°142(3)在△ABC中，若C＝2B，則bc的取值范圍為________．答案(1，2)解析因為A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0<B<π3，所以12<cosB<1．因為bc＝sinsinCB＝sinsin2BB＝2cosB，所以1<2cosB<2，故1<bc<2．(2018·北京)若△ABC的面積為43(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝__________；ac的取值范圍是__________．sinBsinCcosA，則ab的C)(5)在c2最大值為__________．(6)在△ABC中，若＝60°，＝，則＋的取值范圍為________．Cc2ab222→→3(7)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b＋c－a＝bc，AB·BC＞0，a＝2，則b＋c的取值范圍是()331313A．1，3，，，2B．22C．22D．22(2018·江蘇)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．(9)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinB＝3bcosA．若a＝4，則△ABC周長的最大值為________．(10)在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>1，AC＝AB＋12，當△ABC的周長最短時，BC的長是________．【對點訓練】1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為1＋2，則b的最小值為()A．2B．3C．2D．32．已知△ABC中，AB＋2AC＝6，BC＝4，D為BC的中點，則當AD最小時，△ABC的面積為________．3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A＝2B，C為鈍角，則c的取值范圍是________．b4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝3B，則a的取值范圍是()bA．(0，3)B．(1，3)C．(0，1]D．(1，2]5．已知a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C所對的邊，其面積滿足S△ABC＝1a2，則c的最大值為()4bA．2－11cB．2sinBC．2＋1sinCD．2＋2________．2sinAsinAsinBab中，已知＝，若2＋2－＝2，則＋的取值范圍為7．在外接圓半徑為2的△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，則b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．3228．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，則2a＋c的最大值為________．9．在△ABC中，AB＝2，C＝π，則3a＋b的最大值為()6A．7B．27C．37D．4710．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c．若A＝120°，a＝1，則2b＋3c的最大值為( )22135A．3B．C．32D．3211．在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為3a，則c＋b取得最大值6bc時，內角A的值為()A．πB．πC．2πD．π263312．在銳角ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)·sinC．若a＝bc()，則2＋2的取值范圍是A．(5，6]B．(3，5)C．(3，6]D．[5，6]13．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，則△ABC的周長的最大值為________．14．凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其具有如下性質：若定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則對任意的xi∈(a，x1＋x2＋…＋xnb)(i＝1，2，…，n)，必有f≥f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)成立．已知y＝sinx是(0，π)上的凸函數(shù)，nn利用凸函數(shù)的性質，當△ABC的外接圓半徑為R時，其周長的最大值為________．考點三三角形中與面積有關的最值(范圍)【例題選講】[例3](1)已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanA＝4，a＝4，則△ABC的面積的最3大值為()A．4B．6C．8D．12答案C解析因為tanA＝4，所以sinA＝4．又sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝9，解得cosA＝3或3cosA3255cosA＝－3(舍去)，故sinA＝4．又16＝b2＋c2－2bc×3≥2bc－6bc，所以bc≤20，當且僅當b＝c＝2時55555取等號，故△ABC的面積的最大值為1×20×4＝8．251b－sinCcosA＝sinAcosC，且a＝23，(2)在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2則△ABC面積的最大值為________．1b－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA答案33解析因為2221cosAsinBsinBsinAcosAsinA3，所以＝sin(A＋C)，所以bcosA＝sinB，所以＝，又＝，a＝2＝，得tanA22bba223＝3，又A∈(0，π)，則A＝π3，由余弦定理得(23)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，當且僅當b＝c＝23時取等號，從而△ABC面積的最大值為12×12×23＝33．(3)已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則S的最大值為________．答案8解析由題意得，4×1bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得，2A＋π＝1，又0＜A＜π，∴π＜A＋π5π，∴A＋π2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，2sin4＜＝44443π4，∴A＝π2，S＝12bcsinA＝12bc，又b＋c＝8≥2bc，當且僅當b＝c時取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值為8．(4)若△ABC的三邊長分別為a，b，c，面積為S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，則△ABC面積的最大值為________．答案 4解析S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝172abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)．∵S＝12absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cosC＋15＝0，解得cosC＝1517或cosC＝1(舍去)，∴sinC＝178，∴S＝12absinC＝174a(2－a)＝－174(a－1)2＋174．∵a＋b＝2，∴0<a<2，∴當a＝1，b＝1時，Smax＝174．(5)已知△ABC的外接圓半徑為R，且滿足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，則△ABC面積的最大值為________．2＋1R2解析由正弦定理得a2－c2＝(ab．由余弦定理得cosC答案2a－b)b，即a2＋b2－c2＝22a2＋b2－c22ab2π1122R2sinAsinB＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．∴S＝absinC＝×2RsinA·2RsinB·＝2ab2ab242223π11－cos2A2cosA＋2sinA＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2sin2A＋－AR2sinA＝2R2sinAsin4＝22222＝2A－π3ππ5ππ＋sin4，∵A∈0，π∈－，2A－∈－，1，∴S∈0，RR2224，∴2A－44，∴sin422，R2．4∴面積S的最大值為2＋12(6)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足b＝c，b1－cosB．若點O是△ABC＝acosA外一點，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OB＝1，如圖所示，則四邊形OACB面積的最大值是()A．4＋53B．8＋53C．3D．4＋5442答案B解析由b＝1－cosB及正弦定理得sinBcosA＝sinA－sinAcosB，所以sin(A＋B)＝sinA，所acosA以sinC＝，因為A，C∈(0，π)，所以C＝A，又b＝c，所以A＝B＝C，ABC為等邊三角形．設ABCsinA△△2221323的邊長為k，則k＝1＋2－2×1×2×cosθ＝5－4cosθ，則S四邊形OACB＝2×1×2sinθ＋4k＝sinθ＋4(5－4cosθ)＝2sinθ－π＋53≤2＋53＝8＋53，所以當θ－π＝π，即θ＝5π時，四邊形OACB的面積取得最大值，3464432且最大值為8＋53．4【對點訓練】1．(2014·全國Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為________．2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，則△ABC面積的最大值為()A．2B．2C．3D．3→→→→)3．在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，則△ABC的面積的最大值為(321214．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c＝8，則的最大值為________．5．若AB＝2，AC＝2BC，則SABC的最大值為()B．A．23C．2D．322326．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知sinA－sinB＝1sinC，3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，3設△ABC的面積為S，p＝2a