【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：3.6-簡單的三角恒等變換-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十)簡潔的三角恒等變換(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2021·福州模擬)已知cos,α∈(0,2π),則sin=()【解析】選A.角是的2倍,所以由于α∈(0,2π),所以∈(0,),所以sin=2.化簡:=()A.sin2α B.tan2α C.sin2 D.tan2【解題提示】用二倍角公式化簡,α是的二倍.【解析】選D.原式=故選D.3.(2021·長沙模擬)函數(shù)f(x)=sinx-cos(x+)的值域為()A.[-2,2] B.[-,]C.[-1,1] D.[-,]【解析】選B.f(x)=sinx-cosx+sinx=(sinx-cosx)=sin(x-).x∈R,所以x-∈R,所以f(x)∈[-,],故選B.4.(2021·哈爾濱模擬)設函數(shù)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則()A.y=f(x)在(0,)內單調遞增,其圖象關于直線x=對稱B.y=f(x)在(0,)內單調遞增,其圖象關于直線x=對稱C.y=f(x)在(0,)內單調遞減,其圖象關于直線x=對稱D.y=f(x)在(0,)內單調遞減,其圖象關于直線x=對稱【解析】選D.由于f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=cos2x,所以f(x)在(0,)內單調遞減,且圖象關于x=對稱.【加固訓練】(2022·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,則f(x)()A.周期為π,且圖象關于點(,0)對稱B.最大值為2,且圖象關于點(,0)對稱C.周期為2π,且圖象關于點(-,0)對稱D.最大值為2,且圖象關于x=對稱【解析】選B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)由于x∈R,所以x-∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,則f(x)的最大值為2.由于ω=1,所以周期T==2π.當x-=kπ(k∈Z)時,f(x)圖象關于某一點對稱,所以當k=0時,求出x=,即f(x)圖象關于(,0)中心對稱,故選B.5.(2021·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)=sinx+2cos2,設,則a,b,c的大小關系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<a<c D.b<c<a【解題提示】先化簡函數(shù)f(x)的解析式,再利用其單調性比較大小.【解析】選B.f(x)=由于函數(shù)f(x)在[0,]上單調遞增,所以,而c==2sin+=2sin+=f(0)<,所以c<a<b.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選A,毀滅錯誤的緣由是不化簡函數(shù)解析式,直接由自變量的大小推斷a,b,c的大小.二、填空題(每小題5分,共15分)6.函數(shù)y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos4x,所以最小正周期T=答案:7.(2021·泉州模擬)函數(shù)f(x)=3sinx+sinπ2+x的最大值是【解析】f(x)=3sinx+cosx=2sinx+所以f(x)max=2.答案:2【加固訓練】(2021·咸陽模擬)函數(shù)y=4cos2+1,x∈[-π,π]的最小值是.【解析】y=由于x∈[-π,π],所以,所以ymin=3.答案:38.(2021·青島模擬)設a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=.則a,b,c按從小到大的挨次排列為.【解析】a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=sin61°,c==sin60°.由于59°<60°<61°,所以sin59°<sin60°<sin61°,所以a<c<b.答案:a<c<b三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2021·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2x+π12(1)求函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸方程.(2)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的值域.【解析】(1)由題知f(x)=12所以2x+π6=kπ(k∈Z),即x=12kπ-π12(2)由題知h(x)=f(x)+g(x)=12cos2x+=12cos=123=12sin2x+π所以h(x)的值域為[-1,0].10.已知函數(shù)f(x)=sinx2cosx2+cos2(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間.(2)求函數(shù)f(x)在π4【解析】(1)f(x)=sinx2cosx2+=12sinx+12=22sinx+π所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π得2kπ+π4≤x≤2kπ+5則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是2kπ+π4(2)由π4≤x≤3π2,得π2≤x+則當x+π4=3π2,即x=5【加固訓練】1.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的單調區(qū)間.(3)若x∈0,【解析】(1)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos2x+所以最小正周期T=2π2=(2)由2kπ-π≤2x+π4≤2kπ,k∈得kπ-58π≤x≤kπ-π8,k所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為kπ-58由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈得kπ-18π≤x≤kπ+38π,k所以函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為kπ-18(3)由于0≤x≤π2,所以π4≤2x+π4所以-1≤cos2x+π4所以-2≤f(x)≤1.所以當x=0時,f(x)有最大值為1,當x=38π時,f(x)有最小值為-22.已知函數(shù)f(x)=tanxtan2xtan2x-tanx+23sin(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)若x∈π12【解題提示】(1)先化簡,再求周期.(2)由化簡后的解析式及x的范圍求解.【解析】(1)f(x)=sinxcosx·sin2x=sinx·sin2xsin2xcosx-cos2xsinx+3-=sinx·sin2xsin(2x-x)-3=sin2x-3cos2x+3=2sin2x-π所以T=2π2=(2)由于x∈π12所以-π6≤2x-π3所以f(x)max=3,f(x)min=3-1.3.(2021·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2ωx-3sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間和對稱中心.(2)若A為銳角三角形ABC的內角,求f(A)的取值范圍.【解析】(1)依題意,得f(x)=1+cos2ωx2-32=cos2ωx+π3由于T=2π2ω=π,所以所以f(x)=cos2x+π3由-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為-2π3+kπ,-令2x+π3=π2+kπ,k所以x=π12+kπ2所以對稱中心為π12+kπ(2)依題意,得0<A<π2,所以π3<2A+π3所以-1≤cos2A+π3所以-12≤cos2A+π所以f(A)的取值范圍為-1

(20分鐘40分)1.(5分)(2021·銅陵模擬)已知α為其次象限角,sinα+cosα=,則cos2α=()【解析】選A.由于sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=,所以2sinαcosα=-,即sin2α=-.又由于α為其次象限角且sinα+cosα=>0,所以2kπ+<α<2kπ+(k∈Z),所以4kπ+π<2α<4kπ+(k∈Z),所以2α為第三象限角,所以cos2α=【一題多解】本題還可用如下方法求解:sinα+cosα=兩邊平方,得1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.由于α為其次象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=由得所以cos2α=2cos2α-1=-.【加固訓練】(2022·六安模擬)已知2sinθ=1+cosθ,則tan等于()A.2 B.C.或不存在 D.不存在【解析】選C.當1+cosθ=0時,tan不存在.當1+cosθ≠0時,2.(5分)(2022·上海高考)方程sinx+3cosx=1在區(qū)間0,2π上的全部解的和等于【解題提示】首先將左邊函數(shù)化為Asin(ωx+φ)的形式,再依據(jù)三角函數(shù)的圖象特點可求.【解析】令f(x)=sinx+3cosx=2sinx+所以sinx+π3=12,又x所以x+π3=5π6或2π解得x=π2或11π6答案:73.(5分)(2021·西安模擬)設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=.【解題提示】用掛念角公式求解,留意掛念角φ的正、余弦值.【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+φ),其中tanφ=-2,當x+φ=2kπ+時,函數(shù)f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ,又由于tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-4.(12分)(2021·淮北模擬)等差數(shù)列{αn}的前n項和Sn=π36n2,數(shù)列{βnβn=(7-2n)π①sin2α1+cos2β1-sinα1cosβ1=m;②sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2=m;③sin2α3+cos2β3-sinα3cosβ3=m;④sin2α4+cos2β4-sinα4cosβ4=m;⑤sin2α5+cos2β5-sinα5cosβ5=m;⑥sin2α6+cos2β6-sinα6cosβ6=m.(1)求數(shù)列{αn}的通項公式.(2)試從上述六個等式中選擇一個,求實數(shù)m的值.(3)依據(jù)(2)的計算結果,將同學甲的發(fā)覺推廣為三角恒等式,并證明你的結論.【解析】(1)當n=1時,α1=π36當n≥2時,αn=Sn-Sn-1=π36n2-π36(n-1)2=π18由于當n=1時,α1適合此式,所以數(shù)列{αn}的通項公式為αn=π18n-π(2)選擇②,計算如下:β2=π12m=sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2=sin2π12+cos2π12-sinπ=1-12sinπ6=(3)推廣為:sin2θ+cos2π6-θ-sinθcosπ6證明:sin2θ+cos2π6-θ-sinθ=sin2θ+cosπ6cosθ+sinπ6sinθ2-sinθcosπ=sin2θ+34cos2θ+14sin2θ+32cosθsinθ-32sinθcosθ-=34cos2θ+34sin2θ=5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)某居民小區(qū)內建有一塊矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,為了便于居民平常休閑閑逛,該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內鋪設三條小路OE,EF和OF,考慮到小區(qū)整體規(guī)劃,要求O是AB的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且OE⊥OF,如圖所示.(1)設∠BOE=α,試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關系式,并求出此函數(shù)的定義域.(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設費用均為400元.試問如何設計才能使鋪