【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修一導(dǎo)學(xué)案：《函數(shù)與方程》

第1課時同角三角函數(shù)的關(guān)系式1.能依據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系,理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1;sinxcosx=tanx2.能利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解題,例如已知某個任意角的正弦、余弦、正切值中的一個,求其余兩個.3.通過簡潔運(yùn)用,理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能,提高三角恒等變形的力量.“物以類聚,人以群分”,之所以“分群”“分類”是由于同類之間有很多的共同點(diǎn),彼此緊密聯(lián)系.我們現(xiàn)在爭辯的三角函數(shù),如角的正弦、余弦、正切之間有什么聯(lián)系?問題1:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2α+cos2α=;tanα=;tanα·=1.

問題2:在上述問題中,“同角”的含義:(1)角相同;(2)角α是使得函數(shù)有意義的角,關(guān)系式都成立,與角的表達(dá)式.

問題3:常用的同角三角函數(shù)關(guān)系式中平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的變形有哪些?1-cos2α=,1-sin2α=,

(sinα+cosα)2=1+,

(sinα-cosα)2=1-,

sinα=,cosα=.

問題4:同角三角函數(shù)關(guān)系式可以解決什么問題?利用這兩個公式,可以由已知的個三角函數(shù)值求出同角的其余個三角函數(shù)值,還可以進(jìn)行同角三角函數(shù)式的恒等變換,化簡三角函數(shù)式或證明三角恒等式.

1.下列各項(xiàng)中可能成立的一項(xiàng)是().A.sinα=12且cosα=12 B.sinα=0且cosC.tanα=1且cosα=-1 D.α在其次象限時,tanα=-sin2.若cos(2π-α)=53,且α∈(-π2,0),則sin(π-α)=(A.-53 B.-23 C.-133.已知tanα=-3,則sinα-cos4.化簡1-平方關(guān)系在求值中的應(yīng)用已知-π2<x<0,sinx+cosx=15.求sinxcosx和sinx-cosx同角三角函數(shù)式的化簡與證明(1)化簡:1-(2)求證:cosx1-同角三角函數(shù)關(guān)系式的綜合運(yùn)用已知sinα+cosα=713,α∈(0,π),求tan若cosx-sinx=12,則cos3x-sin3x=化簡:1-已知sinθcosθ=38,求sinθ+cosθ的值1.若sinαcosα=18,0<α<π2,則sinα+cosα的值是(A.32 B.14 C.-322.已知sinα,cosα是方程2x2-x-m=0的兩根,則m=().A.34 B.43 C.3.已知α為其次象限角,則cosα·1+tan2α+sinα·4.已知cosα=55,α∈(0,π),求3sinα已知α是第三象限角,sinα=-13,則tanα=考題變式(我來改編):

答案第1課時同角三角函數(shù)的關(guān)系式學(xué)問體系梳理問題1:1sinαcosα問題2:(2)任意無關(guān)問題3:sin2αcos2α2sinα·cosα2sinα·cosαtanα·cosαsin問題4:一兩基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.BA中不滿足平方關(guān)系;C中由tanα=1且cosα=-1得,sinα=-1,不滿足平方關(guān)系;D中不滿足商數(shù)關(guān)系.2.Bcos(2π-α)=cosα=53,又α∈(-π2,0),∴sinα=-1-cos2α=-1-(53)2=-3.2由tanα=-3,知cosα≠0,所以sinα-cosαsinα+cosα=4.解:原式=(=|sin10°-cos10°重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(法一)由sinx+cosx=15平方可得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125即2sinxcosx=-2425,∴sinxcosx=-12∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925又∵-π2<x<0,∴sinx<0,cosx>0∴sinx-cosx<0,sinx-cosx=-75(法二)聯(lián)立方程sin解得cosx=-35或cosx=4∵-π2<x<0,∴∴sinxcosx=-1225,sinx-cosx=-7【小結(jié)】在三角函數(shù)求值中,已知sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx中的一個可利用方程的思想求出另外兩個的值,即“知一求二”.解題時,要特殊留意開方后對正負(fù)的取舍.探究二:【解析】(1)原式=1-sin2(360°+80°(2)(法一)由cosx≠0知1+sinx≠0,于是左=cosx(1+sinx)(1-sinx)((法二)由1-sinx≠0,cosx≠0,于是右=(1+sinx)(1-sinx)cosx((法三)左-右=cosx1-sinx-1+sinxcos所以cosx1-【小結(jié)】①脫掉根號的過程就是同角三角函數(shù)關(guān)系公式的應(yīng)用過程;②對于去掉根號后的含確定值的式子,需依據(jù)確定值內(nèi)的式子符號的正負(fù)狀況,做好分類爭辯,去掉確定值符號.探究三:【解析】由sinα+cosα=713,得sinαcosα=-60∴sinαcosα∴tanαtan∴60tan2α+169tanα+60=0,解得tanα=-125或tanα=-5[問題]上述解法正確嗎?[結(jié)論]不正確.從sinα+cosα與sinαcosα的值可知,sinα與cosα應(yīng)為異號,而結(jié)合α∈(0,π)與sinα+cosα=713,可知sinα>0,故必有cosα<0,且|sinα|>|cosα|,故tanα<0,且|tanα|>1,這種已知條件隱含著角的范圍的問題,很簡潔被忽視,應(yīng)引起充分重視于是,正確解法如下:由sinα+cosα=713得,sinαcosα=-60又α∈(0,π),∴sinα>0,cosα<0.而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=289169∴sinα-cosα=1713由sinα+cosα=713和sinα-cosα=17解得sinα=1213,cosα=-5∴tanα=sinαcosα【小結(jié)】已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ中任何一個都可以結(jié)合平方關(guān)系求出另外兩個值,在求解過程中留意乘方、因式分解和配方的應(yīng)用.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:1116由cosx-sinx=12得sinxcosx=38,cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(1+sinxcosx)=12·(1+3應(yīng)用二:(法一)原式=(=2cos2(法二)原式=(=si=2=2cos2α1+(法三)原式=1=1=1=2cos2應(yīng)用三:∵sinθcosθ=38∴1+2sinθcosθ=74∴sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=74即(sinθ+cosθ)2=74∴sinθ+cosθ=±72基礎(chǔ)智能檢測1.D∵0<α<π2,∴sinα>0,cosα>0,∴sinα+cosα=(sinα+cosα)22.A由韋達(dá)定理得sin①式兩邊平方得1+2sinαcosα=