27.2.2+相似三角形的性質(zhì)++教案++2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)+

27.2.2相似三角形的性質(zhì)教案【教學(xué)目標(biāo)】1.理解并掌握相似三角形的性質(zhì).2.理解并掌握相似三角形周長(zhǎng)與面積的性質(zhì).3.會(huì)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.【重難點(diǎn)】重點(diǎn)：探究相似三角形的性質(zhì).難點(diǎn)：理解與掌握相似三角形的性質(zhì)，并能運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【教學(xué)過(guò)程】【復(fù)習(xí)鞏固】如何判斷兩個(gè)三角形是否相似？(1)定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(4)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.(5)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.(6)斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)之前所學(xué)知識(shí)嘗試回答問(wèn)題【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回顧之前所學(xué)內(nèi)容，為接下來(lái)探究相似三角形的性質(zhì)打好基礎(chǔ).【探究新知】師：思考：三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長(zhǎng)度，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長(zhǎng)度，以及周長(zhǎng)、面積等。如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關(guān)系呢?根據(jù)三角形相似的定義，我們可以知道上面的幾何量中：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.下面，我們研究相似三角形的其它幾何量之間的關(guān)系.三角形中除了三個(gè)角，三條邊，還有以下要素：師生活動(dòng):學(xué)生回答問(wèn)題，教師補(bǔ)充三角形除了三個(gè)角，三條邊外，還有高、中線、角平分線、周長(zhǎng)、面積這些要素.【猜想】如果兩個(gè)三角形相似，那么對(duì)應(yīng)的這些要素有什么關(guān)系呢?你能證明嗎?師生活動(dòng):學(xué)生回答問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比全等三角形中幾何量的對(duì)應(yīng)關(guān)系猜想相似三角形對(duì)應(yīng)幾何量間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生探究熱情.【知識(shí)點(diǎn)一】相似三角形對(duì)應(yīng)線段之比.探究：如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少?師生活動(dòng):先由學(xué)生嘗試在紙上寫(xiě)出完成的證明過(guò)程，教師巡視.①如圖△ABC和△A′B′C′，相似比為k，分別作△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)高AD和A′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ABD∽△A′B′D′.∴????/"A′D′"=????/"A′B′"=k.結(jié)論1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提示幫助學(xué)生完成證明過(guò)程，讓學(xué)生理解相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.②如圖△ABC和△A′B′C′，相似比為k，其中AD和A′D′分別是BC和B′C′邊上的中線.則BD=12BC，B′D′=12B′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=BCB

'∴ABA'B'=BDB

'∴△ABD∽△A′B′D′.∴ADA'D'=結(jié)論2：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提示幫助學(xué)生完成證明過(guò)程，讓學(xué)生理解相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.③如圖，△ABC和△A′B′C′，相似比為k，AD和A′D′分別是對(duì)應(yīng)角的平分線.則∠BAD=12∠BAC，∠B′A′D′=12∠B′A′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.∠BAC=∠B′A′C′，∴∠BAD=∠B′A′D′，∴∠ABD∽∠A′B′D′，∴ADA'D'=結(jié)論3：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提示幫助學(xué)生完成證明過(guò)程，讓學(xué)生理解相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.師:你可以嘗試歸納相似三角形的性質(zhì)嗎?師生活動(dòng):學(xué)生通過(guò)所學(xué)內(nèi)容，歸納總結(jié)相似三角形的性質(zhì)1.對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.得出：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.注意：在應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)解題時(shí)，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.【典例解析】已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的長(zhǎng).【鞏固練習(xí)】1.如圖，AD經(jīng)過(guò)△ABC的重心，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG//BC交AD于點(diǎn)G，若BC=12，則線段GE的長(zhǎng)為（）.A.6B.4C.5D.32.如圖，AD是△ABC的高，AD=h，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E。(1)當(dāng)SR=12BC時(shí)，求DE長(zhǎng)(2)當(dāng)SR=13

BC時(shí)，求DE【探究新知】探究：相似三角形的周長(zhǎng)有什么關(guān)系?如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的周長(zhǎng)有什么關(guān)系？師生活動(dòng):先由學(xué)生嘗試在紙上寫(xiě)出完成的證明過(guò)程.具體證明過(guò)程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=ACA'由等比性質(zhì)，得AB+BC+ACA'B結(jié)論4：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提示幫助學(xué)生完成證明過(guò)程，讓學(xué)生理解相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.【鞏固練習(xí)】1.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周長(zhǎng)為80厘米，求2.如圖，在△ABC中，兩條中線BE，CD相交于點(diǎn)O，則△EOD的周長(zhǎng)：△BOC的周長(zhǎng)為()A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4【知識(shí)點(diǎn)二】相似三角形面積的比.探究：如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD和A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，它們對(duì)應(yīng)面積的比是多少？師生活動(dòng):先由學(xué)生嘗試在紙上寫(xiě)出完成的證明過(guò)程.具體證明過(guò)程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴BCB'C'=ADA'D'=k，∴BC=kB′C′，AD=kA則S△ABCS△A'B'結(jié)論5：相似三角形面積的比等于相似比的平方.注意：相似三角形面積的比等于相似比的平方，不要與其周長(zhǎng)的比等于相似比混淆.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提示幫助學(xué)生完成證明過(guò)程，讓學(xué)生理解相似三角形面積的比等于相似比的平方.【典例解析】例3如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為125，求△DEF的邊EF上的高和面積.【鞏固練習(xí)】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若S△DEC=3，則S△BCF=.【課堂練習(xí)】（教材習(xí)題）1.判斷題(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”).(1)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，這個(gè)三角形的角平分線也擴(kuò)大為原來(lái)的5倍；()(2)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，這個(gè)三角形的面積也擴(kuò)大為原來(lái)的9倍.()2.如圖，△ABC和△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求證ADA'D'3.在一張復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，放縮比例是多少？這個(gè)三角形的面積發(fā)生了怎樣的變化?【課堂檢測(cè)】1.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形.1)如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍.2)如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的倍.3)如果邊長(zhǎng)縮小到原來(lái)的一半，那么面積縮小為原來(lái)的.2.若△ABC與△A′B′C′相似且對(duì)應(yīng)中線之比為3:5，則周長(zhǎng)之比和面積比分別是、.3.已知兩相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比是2:3，其中較大的三角形的面積為27，則較小的三角形的面積是.4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點(diǎn)H，與DE交于點(diǎn)G.若DEBC=35

，則AGGH=.5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.6.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則ADAB=7.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周長(zhǎng)為80厘米，求8.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，已知△DEF的面積為S，則四邊形ABCE的面積為()A.8SB.9SC.10SD.11S【鏈接中考】1.（2019·沈陽(yáng)·中考真題）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對(duì)應(yīng)中線，若AD=10，A′D′=6，則△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比是().A.5:3B.9:25C.5:3D.25:92.（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點(diǎn)H，若AB=6，CE=2，則DH的長(zhǎng)為().A.2B.3C.52D.8【歸納小結(jié)】相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比；2.相似三角形的面積比等于相似比的平方；3.相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；4.相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線的比等于相似比；5.相似三角形對(duì)應(yīng)