《大學數(shù)學》習題及答案

大學數(shù)學習題微積分的基礎和研究對象§1微積分的基礎——集合、實數(shù)和極限一．論述第二次數(shù)學危機產(chǎn)生的背景和解決方法。二．敘述極限，實數(shù)和集合在微積分中的作用。二．敘述實數(shù)系的演變和性質，寫出鄰域的概念?！?微積分的研究對象——函數(shù)一．填空題1．函數(shù)的定義域.2．設函數(shù)f(x)=則函數(shù)f[f(x)]=.3．函數(shù)y=的反函數(shù)為.4．設是奇函數(shù),且(x)=.(),則(x)是___________函數(shù).5．函數(shù)f(x)=sinxsin3x的周期T=.二．求下列函數(shù)定義域 1．y=4+. 2．y=+.三．設,求.四．設函數(shù)

f(x)=,g(x)=lnx，求f[g(x)],g[f(x)].五．已知f(sin)=cosx+1,求f(cos).六．證明題：設f(x)為定義在(-L,L)內(nèi)的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)內(nèi)單調增加，證明f(x)在(-L,0)內(nèi)也單調增加.微積分的直接基礎——極限§1數(shù)列的極限判斷題1．數(shù)列中去掉或增加有限項，不影響數(shù)列的極限；（）2．數(shù)列極限存在，則與極限均存在；（）3．若，存在無限多個滿足，則有.（）二．填空題 1．數(shù)列有界是數(shù)列收斂的條件； 2．； 3．；4．.三．用極限定義證明 1．. 2．. 3．.四．證明：若，則有，并舉例說明其逆命題不成立.五．證明數(shù)列極限不存在.§2函數(shù)的極限一．填空題1．設函數(shù)，則＝，＝.2．.3．設，則，，當時，.二．判斷題1.若，，則有不存在；（）2.；（）若，，且，則；（）；（）5.若存在，且則.（） 6．；（） 7．；（）8．當時，與是等價無窮小量，則；（） 9．無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量；（） 10．當時，無窮小量是關于的4階無窮小量；（） 11．因為時～～，所以有.（）三．利用定義證明下列函數(shù)的極限 1．；2．。四．利用極限四則運算求下列極限1．.2．.3．.4．.5．.五．1．討論時，的極限.2．討論函數(shù)在處的極限.3．討論極限是否存在.六．計算題 1．. 2．. 3．. 4．.5．. 6．. 7．.七．已知時，，求A與n.八．已知是多項式，并且，又，求.九．已知，試確定的值.§3連續(xù)函數(shù)一．填空題 1．若是(－∞,＋∞)上的連續(xù)函數(shù),則a=_________. 2．若有無窮間斷點x=0及可去間斷點x=1,則a=____________.二．判斷題 1．若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù)；（） 2．若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù)；（） 3．區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界；（） 4．若在點連續(xù)，則；（） 5．在內(nèi)單調，則在內(nèi)之多有一個零點.（）三．求下列極限 1．；2．； 3．；4．.四．設討論在處的連續(xù)性.五．證明方程在區(qū)間內(nèi)有一實根.六．設在上連續(xù)，且，證明：必存在使得.七．在連續(xù)，且存在，證明函數(shù)在有界.第二章復習題一．填空題1．的定義域是__________.2．設f(x)的定義域是[1,2],則的定義域是_____________.3．若當x→x0時,α(x)與r(x)是等價無窮小,β(x)是比α(x)高階的無窮小,則當x→x0時,函數(shù)的極限是______________.4．要使函數(shù)是無窮大,則要求x趨向于值____________.5．若在x=0處連續(xù),則要a=______________.二．單選題1．f(x)=x()在其定義域(－∞,＋∞)是(A)有界函數(shù);(B)單調增函數(shù);(C)偶函數(shù);(D)奇函數(shù).2．設.則此函數(shù)是(A)有界函數(shù);(B)奇函數(shù);(C)偶函數(shù);(D)周期函數(shù).3．函數(shù)時的極限值是(A)(B)(C)0,(D)不存在.4．設則x=0是f(x)的(A)可去間斷點;(B)跳躍間斷點;(C)無窮間斷點;(D)振蕩間斷點.5．設則x=1是f(x)的(A)連續(xù)點;(B)跳躍間斷點;(C)無窮間斷點;(D)振蕩間斷點.三．求下列極限1．；2．；3．；4．；5．.五．證明：方程x2x=1至少有一個小于1的正根.六．設f(x)在[a,b]上連續(xù)，a<c<d<b.證明：對于任意正數(shù)p和q，至少有一點滿足：.變量變化速度與局部改變量估值問題——導數(shù)與微分§1函數(shù)的局部變化率——導數(shù)一．判斷題1．；（）2．曲線在處有切線，則一定存在；（）3．若，則；（）4．函數(shù)在處的左右導數(shù)都存在是在點可導的充分必要條件;（）5．下面的計算對嗎？設，因為當時，，而在處無意義，故在不可導.（）二．填空題1．設在處可導，則，，；2．若存在且，則；3.若為偶函數(shù)且存在，則＝；4.已知，則=；5.將一物體鉛直上拋，經(jīng)秒后上升的高度為,則該物體在秒時的瞬時速度為；6.曲線與橫軸交點處的切線方程是與；7.設為可導函數(shù)，且滿足條件，則曲線在處的切線斜率為；設，是過點（1，1）的曲線（n是正整數(shù)）的切線在x軸上的截距，則.三．用定義求函數(shù)（且）的導函數(shù)與它在處的導數(shù).四．設在處連續(xù)，試討論下列函數(shù)在處的可導性，并在可導時求出：1．；2.；3..五．討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導性.六．已知，且，求.七．設函數(shù),在處連續(xù)且可導，求的值.八．求曲線在點處的切線方程和法線方程.九．求垂直于直線且與曲線相切的直線方程.十．證明函數(shù)在點處連續(xù)，但不可導.十一.談談你對導數(shù)概念的理解.§2求導數(shù)的方法——法則與公式單項選擇題在函數(shù)和的定義域內(nèi)的一點處，下述說法正確的是（）若，均不可導，則也不可導；若可導，不可導，則必不可導；若，均不可導，則必有+不可導；若可導，不可導，則+必不可導.直線與軸平行且與曲線相切，則切點為（）A.;B.;C.;D..3.設在處不連續(xù)，則在處() 必不可導; 一定可導; 可能可導; 無極限.4.設，在處連續(xù)但是不可導，存在，則是在處可導的（）條件A.充要；B.必要非充分；C.充分非必要；D.非充分非必要.5.若在點處可導，則在點處（）A.可導;B.不可導;C.連續(xù)未必可導;D.不連續(xù).6.函數(shù)的導函數(shù)（）. 7.函數(shù)，則（）. 8.已知，則函數(shù)在點的切線的斜率是（）. 9.已知，則（）. 10.設在內(nèi)為奇函數(shù)且在內(nèi)有，，則在內(nèi)是（）.（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.11.已知，則（）.（A）；（B）；（C）；（D）.二．填空題1.已知，則；2.若，則；3.若，則；4.若，則；5.若，則；6.若，則；7.設函數(shù)由確定，則；8.，則；9.，則.三．求下列函數(shù)的導數(shù)：1.；2.；3.；4.（且）；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.（）；16.；17.，求；18.，求；19.，求；20.，求。四．已知,求其導函數(shù).五．設為可導函數(shù)，求下列函數(shù)的導數(shù)：1．；2．；六．利用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)：1．；2．.七．設且可導，求.八．設為可導函數(shù)，且，求和.九．設連續(xù)，且，求.十．設和可導，且，求函數(shù)的導數(shù).十一．設由方程所確定，試求，.十二．設由方程所確定，二階可導且，試求.十三．已知函數(shù)，在點處有二階導數(shù)，試確定參數(shù)的值.十四．設函數(shù)滿足條件：對任何，有（為已知常數(shù)），證明存在，并求其值.十五．證明：曲線上任一點處的切線與軸和軸構成的三角形面積為常數(shù).§3局部該變量的估值問題——微分及其計算一．填空題1．設在處，則，；2．設在處可微，則；3．將適當?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等式成立：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）.二．單項選擇題1.設是可微函數(shù)，是的可微函數(shù)，則（）.（A）（B）（C）（D）2.若可微，當時，在點處的是關于的（）.（A）高階無窮（B）等價無窮?。–）同階無窮?。―）低階無窮小3.當充分小，時，函數(shù)的改變量與微分的關系是（）.（A）（B）（C）(D)4.可微，則（）.(A)與無關；(B)為的線性函數(shù)；(C)當時是的高階無窮??；(D)當時是的等價無窮小.5.則（）. 6.設為初等函數(shù)，為其定義區(qū)間內(nèi)任意一點，則下列命題正確的是().(A)在點處必定可導； (B)在點處必定可微；(C)在點處必定連續(xù)； (D)不能確定.7.當很小時,下列各式不正確的是(). 8.一正方體的棱長,如果棱長增加,則此正方體體積增加的近似值為(). 三．求下列函數(shù)的微分1．;2.;3.;4..四．計算和的近似值.

第三章復習題一．填空題1．設在處導數(shù)為，則；2．若在處可導且，則；3．設，則；4．函數(shù)在處的導數(shù)為；5．在拋物線上，與拋物線上橫坐標和兩點連線平行的切線方程為；6．若為可導的奇函數(shù)且，則；7．設，則=；8．在可導是在可微的條件；9．設，則；10．若曲線和在點處相切，則，.二．單項選擇題1．設，則（）A．2；B．；C．；D．.2．已知函數(shù)具有任意階導數(shù)，且，則當為大于2的正整數(shù)時，是（）A．；B．；C．；D．.3．設，則使存在的最高階導數(shù)的n為（）A．0；B．1；C．2;D．3.三．計算下列各題：1．設，求；2．設，求；3．設，求；4．，求；5．，求；6．設，其中具有二階導數(shù)，求；7．設，且二階可導，求；8．已知，求；9．求；10．已知，求函數(shù)的微分.五．已知存在，求.六．用定義求，其中并討論導函數(shù)的連續(xù)性.七．設，試確定的值，使在及都可導.十一．，求.十二．已知為奇函數(shù)，且存在，問是的何種類型的間斷點？為什么？第四章導數(shù)的應用問題洛比達法則，函數(shù)的性質和圖像§1聯(lián)系局部與整體的紐帶——中值定理一.填空題1．函數(shù)在區(qū)間上滿足Lagrange中值定理中的。2．若函數(shù)，則方程有分別位于區(qū)間內(nèi)的三個實根。3．若，則在區(qū)間上不滿足Rolle定理的一個條件是。4．Rolle定理與Lagrange定理的關系是。選擇題1.Rolle定理中的三個條件：在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，是在內(nèi)至少存在一點，使成立的條件。A.必要B.充分C.充要D.既非充分也非必要2.下列條件不能使函數(shù)在區(qū)間上應用Lagrange定理的是。A.在上連續(xù)，在內(nèi)可導;B.在上可導;C.在上可導，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù);D.在內(nèi)有連續(xù)的導數(shù).證明下列不等式1.，其中.當時，.已知，且，求證.證明方程只有一個正根.§2求不定式極限的一般方法——洛必達法則一．利用洛比達法則求極限1.;2.;3.;4..二．求解下列各題1.設具有一階連續(xù)導數(shù)，，求.2.設在處具有二階導數(shù)，求證.

§3用導數(shù)研究函數(shù)的性質——單調性，極值和最大最小值一．填空題1.已知曲線方程為，則曲線在區(qū)間上單調增，在區(qū)間上單調減。2.若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且時，，又，則在上，但的正負號。3.若，則，。4.若，則在處取得極值，其值為。5.的極大值點是，極大值為。6.方程有個實根。二．求下列函數(shù)的單調區(qū)間1.;2.;3.，其中.三．求下列函數(shù)的極值1.;2..四．證明下列不等式1.當時，有;2.當時，有;3.當時，有.五．設滿足，求的極值。六．設在和處取得極值，試確定的值，并證明是極大值，是極小值。七．求下列函數(shù)的最大值與最小值1.;2.。八．試作一個上端開口的圓柱形容器，它的凈容積是，壁厚為（都為常數(shù)），問容器內(nèi)壁的半徑為多少，才能使所用的材料最少？第四章復習題一．填空題1.已知函數(shù)有連續(xù)的二階導數(shù)，且在點處有拐點，則。2.的極大值點是，極大值為。二．求下列極限1.;2..三．討論函數(shù)的單調性。四．證明。第五章微積分的逆運算問題--不定積分§5.1原函數(shù)與不定積分一．填空題1.若均為的原函數(shù)，則.2.是連續(xù)函數(shù)，則，.3..4..5..6..二．計算下列各題.1.2.3.4.5.6.三．若曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的倒數(shù)，且該曲線過點，求該曲線方程.§5.2矛盾轉化法--換元積分法與分部積分法一、填空題1..2.（）.3..4..5..6..7..8..二、求下列不定積分:1.2..3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.三、已知的一個原函數(shù)是，求.第五章復習題一、填空題1.若的一個原函數(shù)為，則。2.若，則。3.若，則。4. 。5. 。6.若，則。7.。二、單項選擇題1.下列等式成立的是（）．A．B．C．D．2.若，則（）.A.B.C.D.3.以下計算正確的是（）A．B．C．D．三、計算題1.2.3.4.5. 第六章求總量的問題--定積分及其應用§6.1特殊和式的極限--定積分的概念一、根據(jù)定積分的定義或幾何意義計算下列積分：1.；2.3.；二、利用定積分的性質估計下列積分值的大小：1.；2..三、不計算積分，比較下列各組積分的大小1．；2．.§6.2計算定積分的一般方法—微積分基本定理一、設連續(xù)，求下列函數(shù)的導數(shù)：1）；2）；3）。二、填空題1)=..2)已知在上連續(xù)，且，且設，則.3)設，則.三、根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式計算下列積分1）；2）；3）；4）；5）。四、設，求的值，使.五、用換元法求下列積分1);2);3);4).六、用分部積分法計算下列定積分1);2);3);4）5).6)§6.3定積分的拓展-非正常積分討論下列反常積分的斂散性：1.2.§6.4定積分魅力的展示-在若干學科中的應用求下列所給圖形的面積由曲線，軸以及直線所圍成的圖形；由曲線與軸所圍成的圖形;3)由曲線與直線所圍成的圖形；4）由曲線與直線所圍成的圖形;5)與直線所圍成的圖形；6)曲線和及兩直線所圍成的圖形；7）與所圍成的圖形.二、已知與所圍成面積為8，求值（設.求下列立體的體積1)繞軸旋轉所得旋轉體；2)曲線與直線圍成一個平面圖形，此平面圖形繞軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體。第六章復習題一、填空題1)；(連續(xù)).2).3)設連續(xù)，且，則.4）設連續(xù)，且，則.二、選擇題1.定積分定義說明（）.（A）必須等分，是端點;（B）可任意分法，是端點;（C）可任意分法，，可在內(nèi)任取;（D）必須等分，，可在內(nèi)任取.2.積分中值定理其中（）.（A）是內(nèi)任一點（B）是內(nèi)必定存在的某一點（C）是內(nèi)惟一的某點（D）是內(nèi)中點3.在上連續(xù)是存在的（）.（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要4.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）.（A）（B）（C）（D）05.設曲線與所圍成圖形的面積為S.則下列各式中，錯誤的是（）（A）（B）（C）（D）三、解答題1.設，計算.2.3.求由曲線及直線所圍圖形的面積4.過坐標原點作曲線的切線，求該切線與曲線及軸所圍成圖形的面積.5.求由曲線與直線所圍平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。第七章偶然中蘊含必然的問題--概率統(tǒng)計初步§1研究偶然現(xiàn)象的基本元素—隨機事件1.設Ω＝{1,2,…,10}，A＝{2,3,4}，B={3，4，5}，C＝{5，6，7}，具體寫出下列各等式。（1）B（2）（3）（4）（5）2．設A、B、C表示三個隨機事件，試將下列事件用A、B、C表示出來。（1）A發(fā)生，B、C不發(fā)生；（2）A、B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）所有三個事件都發(fā)生；（4）三個事件都不發(fā)生；（5）三個事件中恰有一個發(fā)生；（6）三個事件中至少有一個發(fā)生；（7）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（8）不多于一個事件發(fā)生。3．抽查4件產(chǎn)品，設A表示“至少有一件次品”，B表示“次品不少于兩件”，問：各表示什么事件？4．把事件寫成互不相容事件和的形式。5.設，，。具體寫出下列各事件：（1）；（2）；（3）（4）§2偶然中的必然—概率1．甲乙兩炮同時向一架飛機射擊，已知甲炮擊中的概率為0.6，乙炮擊中的概率為0.5，甲乙兩炮都擊中的概率為0.3，求飛機被擊中的概率是什么？2．有三個班級，每班在一個星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以隨機安排，求三個班在不同三天游泳的概率。3．10個零件中有3個次品，7個合格品，從中任取一個不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？4．將一枚骰子重復擲n次，試求擲出的最大點數(shù)為5的概率。5．從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。6．把長為的棒任意折成3段,求此三段能構成一個三角形的概率。7.在矩形中任取一點,求使方程的解大于的概率.8．設事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則正確的結論是_____（1）（2）（3）（4）9．設，。在下列三種情況下求的值：（1）；（2）；（3）10．設A、B為兩個事件且P(A)=0.6，P(