定積分的應(yīng)用

定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)、物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)主要介紹利用定積分求面積、體積、弧長、變力做功、水壓力、引力、轉(zhuǎn)動慣量等問題.

利用定積分解決實(shí)際問題，不僅要會解決某一具體問題，更重要的是要學(xué)會掌握用定積分解決問題的基本思想和基本方法、步驟.要做到這一點(diǎn)，需把握下面兩個問題：一是什么樣的問題能用定積分來解決？二是用什么樣的方法可以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分問題？下面就這兩個問題展開討論分析.

一、定積分的微元法定積分的所有應(yīng)用問題，一般可按“分割、近似、求和、取極限”這四個步驟把所求量表示為定積分的形式.為更好地說明這種方法，先來回顧第五章中討論過的求曲邊梯形面積的問題.

假設(shè)一曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)［f(x)≥0］，x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成，試求其面積A.

一、定積分的微元法(1)分割.用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間［a,b］分成長度為Δxi(i=1,2,…,n)的n個小區(qū)間，相應(yīng)地把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，記第i個小曲邊梯形的面積為ΔAi.

(2)近似.第i個小曲邊梯形面積的近似值

ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).

(3)求和.所求曲邊梯形面積A的近似值(4)取極限.所求曲邊梯形面積A的精確值

其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.

一、定積分的微元法由上述過程可見，把區(qū)間［a,b］分割成n個小區(qū)間時，所求面積A(總量)也被相應(yīng)地分成n個小曲邊梯形(部分量)，而所求總量等于各部分量之和()，這一性質(zhì)稱為所求總量對于區(qū)間［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi時，其誤差是一個比Δxi更高階的無窮小.這兩點(diǎn)保證了求和、取極限后能得到所求總量的精確值.

一、定積分的微元法對上述過程，在實(shí)際應(yīng)用中可略去下標(biāo)i，改寫如下：(1)分割.把區(qū)間［a,b］分割為n個小區(qū)間，任取其中一個小區(qū)間［x,x+dx］(區(qū)間元素)，用ΔA表示［x,x+dx］上小曲邊梯形的面積，于是，所求面積A=∑ΔA.

一、定積分的微元法(2)近似.?。踴,x+dx］的左端點(diǎn)x為ξ.以點(diǎn)x處的函數(shù)值f(x)為高、dx為底的小矩形的面積f(x)dx(面積元素，記為dA)作為ΔA的近似值(見圖6-7)，即

ΔA≈dA=f(x)dx.圖6-7一、定積分的微元法(3)求和.所求曲邊梯形面積A的近似值A(chǔ)≈∑dA=∑f(x)dx.

(4)取極限.所求曲邊梯形面積A的精確值A(chǔ)=lim∑f(x)dx=∫baf(x)dx.

由上述分析，可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量U(總量)表示為定積分的方法——元素法，這個方法的主要步驟如下：一、定積分的微元法(1)根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a,b］，任?。踑,b］的一個區(qū)間元素［x,x+dx］，求出相應(yīng)于這個區(qū)間元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求總量U的元素

dU=f(x)dx.

(2)根據(jù)dU=f(x)dx寫出表示總量U的定積分U=∫badU=∫baf(x)dx.

一、定積分的微元法應(yīng)用元素法解決實(shí)際問題時，用定積分所表示的量U有三個共同特征：(1)所求總量U的大小取決于某個變量x的一個變化區(qū)間［a,b］，以及定義在該區(qū)間上的函數(shù)f(x).

(2)所求總量U關(guān)于區(qū)間［a,b］應(yīng)具有可加性，即區(qū)間［a,b］上的總量U等于各子區(qū)間上的部分量之和.

(3)部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)

dx=dU≈ΔU.

在通常情況下，要檢驗(yàn)ΔU－f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實(shí)際應(yīng)用中要注意dU=f(x)dx的合理性.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積1.

應(yīng)用定積分，不但可以計算曲邊梯形的面積，還可以計算一些比較復(fù)雜的平面圖形的面積.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1）直角坐標(biāo)情形如果一個平面圖形D是由曲線y=f(x)，y=g(x)和直線x=a，x=b(a<b)圍成，并且在［a,b］上有f(x)≥g(x)，如圖6-8所示.圖6-8二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點(diǎn)，此區(qū)域D為X型區(qū)域.對于這種X型區(qū)域，取x為積分變量比較方便，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個窄條區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］上所對應(yīng)的窄曲邊梯形的面積可以用高為f(x)－g(x)、寬為dx的矩形面積來近似，從而得到面積微元

dA=［f(x)－g(x)］dx.

二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用以該面積微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到這種圖形的面積A=∫ba［f(x)－g(x)］dx.(6-15)如果一個平面圖形D是由曲線x=φ(y)，x=ψ(y)和直線y=c，y=d(c<d)圍成，并且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)，如圖6-9所示.圖6-9二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點(diǎn)，此區(qū)域D為Y型區(qū)域.對于這種Y型區(qū)域，取y為積分變量比較方便，其變化區(qū)間為［c,d］.將該區(qū)間分成若干小區(qū)間，在［c,d］上任取一個子區(qū)間［y,y+dy］，則區(qū)間［y,y+dy］對應(yīng)的窄曲邊梯形的面積可以用寬為φ(y)－ψ(y)、高為dy的矩形面積來近似，這樣就得到這種圖形的面積

A=∫dc［φ(y)－ψ(y)］dy.(6-16)

二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例39】求曲線xy=1與兩直線y=x，x=3圍成的圖形(見圖6-10)的面積.

解先求曲線xy=1與直線y=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo).為此解方程組圖6-10二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例40】求由拋物線y2=2x與直線y=4－x圍成的圖形(見圖6-11)的面積.圖6-11二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用解法2如果選x為積分變量，需要用直線x=2把原來的圖形分成兩部分，然后才能按公式(6-15)計算.參看圖6-11，有顯然，解法1更簡單.因此，利用定積分求平面圖形的面積時，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分變量可使計算過程比較簡單.實(shí)際上，利用定積分作其他計算也是如此.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例41】求由方程所確定的橢圓的面積.解如圖6-12所示，該橢圓的圖形對稱于兩坐標(biāo)軸，所以只要求出第Ⅰ象限那部分圖形的面積再乘以4就可得到橢圓的面積，即

A=4∫a0ydx.圖6-12二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2）極坐標(biāo)情形某些形狀的平面圖形，用極坐標(biāo)計算其面積比較方便.曲邊扇形是極坐標(biāo)中最典型的圖形，首先介紹這類圖形.

在極坐標(biāo)中，由曲線ρ=ρ(θ)［ρ(θ)≥0］和射線θ=α，θ=β圍成的曲邊扇形，如圖6-13所示.用微元法計算它的面積的方法如下.圖6-13二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用取θ為積分變量，其變化區(qū)間為［α,β］.子區(qū)間［θ,θ+dθ］對應(yīng)的窄曲邊扇形面積可以用半徑為ρ(θ)、中心角為dθ的扇形面積來近似代替，從而得到面積微元這樣就得到曲邊扇形的面積

(6-17)

對于其他比較復(fù)雜的圖形，它的面積往往可以看成是兩個曲邊扇形面積的和或差，則問題也不難解決.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例42】計算阿基米德螺線ρ=aθ(a>0)上相應(yīng)于θ從0到2π的一段弧與極軸所圍成的圖形(見圖6-14)的面積.圖6-14解根據(jù)式(6-17)得所求面積為二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例43】求三葉玫瑰線r=asin3θ圍成的全面積A(見圖6-15).圖6-15二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例44】如圖6-16所示，圓r=3cosθ被心臟線r=1+cosθ挖去一部分，求留下的圖形面積.圖6-16二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用體積2.1）旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.圓柱、圓錐、圓臺、球體都是旋轉(zhuǎn)體.

由曲線y=f(x)

(該函數(shù)在區(qū)間［a,b］內(nèi)保持同號)，直線x=a，x=b(a<b)及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體，如圖6-17所示.下面推導(dǎo)這種旋轉(zhuǎn)體體積的計算方法.

圖6-17二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個子區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體薄片的體積可以用底面積半徑為f(x)、高為dx的圓柱體的體積來近似，從而得到體積微元

dV=π［f(x)］2dx.

以該體積微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到這種旋轉(zhuǎn)體的體積

V=π∫ba［f(x)］2dx.(6-18)

用類似的方法可以推導(dǎo)出由曲線y=φ(x)

(該函數(shù)在區(qū)間［c,d］內(nèi)保持同號)，直線y=c，y=d(c<d)及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積

V=π∫dc［φ－1(y)］2dy.(6-19)

二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例45】圖6-18二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例46】圖6-19求由連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及P(h,r)的直線段、x軸及x=h圍成的直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(見圖6-19)的體積.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2）平行截面面積已知的立體體積計算旋轉(zhuǎn)體體積的分析過程，實(shí)際上可以用來分析平行截面面積已知的立體體積的計算.如圖6-20所示，有一立體被垂直于x軸的平面相截，被截體積位于x=a和x=b的兩平面之間，而且它被垂直于x軸的平面所截的截面積是x的已知連續(xù)函數(shù)A(x).圖6-20二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用這時，取x為積分變量，則積分區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個小區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］對應(yīng)的薄片的體積可以用底面積為A(x)、高為dx的扁圓柱體的體積來近似代替，從而得到體積微元

dV=A(x)dx.

以該體積微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到所求立體的體積

V=∫baA(x)dx.(6-22)

二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例47】圖6-20一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面的交角為α，截得一楔形立體，如圖6-21所示，求該立體的體積.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用解取該平面與圓柱體的底面交線為x軸，在底面上過圓心且垂直于x軸的直線為y軸，那么底圓的方程x2+y2=R2.過點(diǎn)(x,0)且垂直于x軸的平面截該立體所得的截面是直角三角形.它的兩條直角邊的長度分別為y及ytanα，因而截面面積為二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面曲線弧長3.我們知道直線段的長度是通過直接測量來確定的，但一條曲線段的長度卻不能直接測量.那么，我們怎么計算曲線的弧長呢？已知圓周的長度l=2πr(其中r為圓的半徑)，那么，這個公式是怎么推導(dǎo)出來的呢？一般的曲線弧長又該如何計算呢？下面通過建立平面光滑曲線弧長的概念來揭示此問題.二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1）弧長的概念設(shè)有一條以A和B為端點(diǎn)的曲線弧(見圖6-22)，在其上任取分點(diǎn)

A=M0,M1,M2,…,Mn－1,Mn=B，圖6-22二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用依次連接分點(diǎn)成折線，則折線的長度為

當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目無限增加，即λ=max{|Mi－1Mi|}→0

(i=1,2,…,n)時，如果Ln的極限存在，則稱其極限值為該曲線弧的長度，即二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2）弧長的計算公式如果曲線弧由直角坐標(biāo)方程y=f(x)給出，其中f(x)在［a,b］上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求曲線弧的長度s(見圖6-23).

圖6-23二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，在其上任取小區(qū)間［x,x+Δx］，在該小區(qū)間上的弧長可用M點(diǎn)處相應(yīng)的一小段切線長來近似，即用弧微分來近似，故有

Δs≈ds=1+y′2dx，從而有

s=∫ba1+y′2dx，(6-23)

這就是直角坐標(biāo)系下曲線弧長的計算公式.

如果曲線弧由參數(shù)方程二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用給出，其中φ(x)，ψ(x)在［α,β］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，α,β分別為曲線的兩個端點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，這時將弧長微分公式作如下變換

ds=1+y′2dx=(dx)2+(dy)2

=φ′2(t)(dt)2+ψ′2(t)(dt)2=φ′2(t)+ψ′2(t)dt，則該曲線弧長s為

s=∫βαφ′2(t)+ψ′2(t)dt.(6-24)

如果曲線由極坐標(biāo)方程

r=r(θ)(α≤θ≤β)

給出，類似條件下可得弧長微分公式為

s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ.(6-25)

式(6-25)的推導(dǎo)從略.

二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用弧長的計算公式中的下限一定要小于上限.注二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例48】二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用【例49】圖6-24二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用變力沿直線所做的功1.由初等物理知識知，一個與物體位移方向一致而大小為F的常力，將物體移動了距離s時所做的功為W=F·s.

如果物體在運(yùn)動過程中受到變力的作用，則可利用定積分元素法來計算物體受變力沿直線所做的功.

一般地，假設(shè)F(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，下面討論在變力F(x)的作用下，物體從x=a移動到x=b時所做的功W(見圖6-25).圖6-25三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］，物體由點(diǎn)x移動到x+dx的過程中受到的變力近似視為物體在點(diǎn)x處受到的常力F(x)，則功元素為

dW=F(x)dx，于是，物體受變力F(x)的作用從x=a移動到x=b時所做的功為W=∫badW=∫baF(x)dx.

在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形.下面通過具體例子來說明.

三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用【例50】半徑為r的球沉入水中,球的上部與水面相切,球的密度為1,現(xiàn)將球從水中取出,需做多少功?

解建立如圖6-26所示的坐標(biāo)系，將半徑為r的球取出水面,在整個運(yùn)動過程中,球所受的力F(x)為F(x)=G－F浮,圖6-26三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用【例51】設(shè)40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m,問需要做多大的功才能克服彈性恢復(fù)力,將伸長的彈簧從0.15m處再拉長0.03m?解根據(jù)胡克定律［在彈性限度內(nèi)，拉伸(或壓縮)彈簧所需的力與伸長量(或壓縮量)成正比］，如圖6-27所示建立坐標(biāo)系，F(xiàn)(x)=kx.圖6-27三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用又因?yàn)?0N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m時，其伸長量為0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,

可得k=800,則F(x)=800x,

故彈簧從0.15m拉長到0.18m，所做的功為W=∫0.080.05800xdx=400x20.080.05

=1.56(

J

).

三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用水壓力2.由物理學(xué)知,在距水面深為h處的壓強(qiáng)為p=ρgh(其中ρ為水的密度，g為重力加速度),并且在同一點(diǎn)處的壓強(qiáng)在各個方向是相等的.若一面積為A的平板水平地放置在距水面深度為h處,則平板一側(cè)所受到的水壓力為P=pA=ρghA.

若平板垂直地放在水中,由于深度不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)不相同，平板一側(cè)所受壓力就不可用上述方法計算.但由于整個平板所受的壓力對深度具有可加性，因此可以用定積分的元素法來計算.

三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用如圖6-28所示，假設(shè)平板的形狀為一曲邊梯形，它是由y=f(x)與直線x=a,x=b及x軸所圍成的.將其垂直地放置在密度為ρ的水中,兩腰與水面平行,且距水面的高度分別為a與b(a<b),求平板一側(cè)所受水的壓力.圖6-28三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用選x為積分變量,其變化區(qū)間為a,b.在a,b上任取一小區(qū)間x,x+dx,若dx很小,該小區(qū)間對應(yīng)的小曲邊梯形所受到的壓強(qiáng)可以近似地用深度為x處的壓強(qiáng)代替,因此所受到的壓力元素為

dP=ρgxfxdx,

在a,b上積分,便得整個平板一側(cè)所受到的壓力為P=∫baρgxfxdx.

下面通過具體例子來說明.

三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用【例52】將直角邊分別為a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜邊朝下,邊長為2a的直角邊與水面平行,且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長,求薄板一側(cè)所受水的壓力(設(shè)水的密度為ρ).解如圖6-29建立坐標(biāo)系,取x為積分變量，它的變化范圍為0,a,在［0,a］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］,則小矩形片的面積為2(a－x)dx,小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似為p=ρg(x+2a)，三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用圖6-29三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用引力3.根據(jù)初等物理學(xué)知識，質(zhì)量分別為m1，m2，相距r的兩個質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為引力的方向?yàn)閮少|(zhì)點(diǎn)的連線方向.

如果要計算一根細(xì)棒或一平面對一個質(zhì)點(diǎn)的引力，由于細(xì)棒或平面上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，那么此時應(yīng)如何計算呢？下面通過具體例子來說明該問題的計算方法.三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用【例53】設(shè)有一半徑為R,中心角為φ(0<φ<π)的圓弧形細(xì)棒,其線密度為常數(shù)ρ,在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,試求這細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力.解如圖6-30建立坐標(biāo)系,質(zhì)點(diǎn)M位于坐標(biāo)原點(diǎn),x軸平分該圓弧的圓心角,由于此圖形關(guān)于x軸對稱,而圓弧形細(xì)棒又是均勻的,故細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力在y軸上的分力Fy=0,只計算引力在x軸上的分力Fx即可.圖6-30三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用由邊際函數(shù)求總量函數(shù)1.已知邊際函數(shù)F′(x)，可由牛頓萊布尼茲公式求得經(jīng)濟(jì)函數(shù)(原函數(shù))

F(x)=∫x0F′(t)dt+F(0)；產(chǎn)量由a變到b時，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的增量ΔF=∫baF′(x)dx.

四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用【例54】生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為C′(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1000,求總成本函數(shù).

解總成本函數(shù)C(x)=C(0)+∫x0C′(t)dt=1000+∫x0(3t2-14t+100)dt

=1000+x3-7x2+100x.

四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用【例55】已知某產(chǎn)品銷售量為x時邊際收益為R′(x)=100－x.求：(1)銷售量為10時的收益.(2)銷售量從20增加到30時，收益是多少？四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余2.在經(jīng)濟(jì)管理中,一般說來,商品價格低,需求就大;反之,商品價格高,需求就小,因此需求函數(shù)Q=f(P)是價格P的單調(diào)減少函數(shù).

同時商品價格低,生產(chǎn)者就不愿生產(chǎn),因而供給就少;反之,商品價格高,供給就多,因此供給函數(shù)Q=g(P)是價格