2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上冊(cè)第三次教學(xué)診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上學(xué)期第三次教學(xué)診斷數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或3 B．3 C．1或2或3 D．22．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知，，則（

）A． B． C． D．4．如圖，圓柱的底面直徑為3，母線長(zhǎng)為4，，分別為該圓柱的上、下底面的直徑，且，則三棱錐的體積是（

）A．24 B．18 C．12 D．65．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在定義域均為且是偶函數(shù)，其函數(shù)圖象為不間斷曲線且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．在中，已知，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．7．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過(guò)點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等比數(shù)列中，其公比為，前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若數(shù)列為遞增數(shù)列，則一定有B．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列C．若，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立D．，，一定成等比數(shù)列10．已知圓，則（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C．若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為D．若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為11．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，，都垂直于底面，且，點(diǎn)在線段上，平面交線段于點(diǎn)，則（

）A．，，，四點(diǎn)不共面B．該幾何體的體積為8C．過(guò)四點(diǎn)，，，四點(diǎn)的外接球表面積為D．截面四邊形的周長(zhǎng)的最小值為10三、填空題（本大題共3小題）12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.13．一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開(kāi)始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來(lái)，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問(wèn)摸球人最后保存下來(lái)是數(shù)字最大的球的概率是.14．已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知平面四邊形中，，.(1)若，，，求；(2)若，的面積為，求四邊形周長(zhǎng)的最大值.16．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積.17．如圖，三棱錐中，，平面平面，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.18．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證.19．甲?乙?丙三人進(jìn)行一種傳球游戲：當(dāng)球在甲手中時(shí)，甲將球保留（也記為一次傳球）的概率為，否則甲將球傳給乙；當(dāng)球在乙手中時(shí)，乙將球傳給甲的概率為，否則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，丙將球傳給甲的概率為，否則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.(1)設(shè)傳球三次后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)傳次球后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)在第（2）問(wèn)的條件下，設(shè).求證.

答案1．【正確答案】A【詳解】，且，由，知，則實(shí)數(shù)的值為2或3.故選：A．2．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，則，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選D.3．【正確答案】B【詳解】已知，又，.所以.所以.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】如圖：過(guò)上底面中心，作與下底面直徑平行的直線，連接，，則且，因?yàn)?，所以，根?jù)圓柱的性質(zhì)可知，平面，則有，則，，又，，平面，所以平面，所以．故選：D．5．【正確答案】C【分析】依題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所?得，求解即可.【詳解】由得則當(dāng)時(shí),得,，則當(dāng)時(shí),,得函數(shù)在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以,因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,而函數(shù)在上單調(diào)遞增,得,得,解得.故選C.6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵谏?，故可設(shè)，，所以,因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，得，即，故，所以，兩邊平方，，所以.故選：B7．【正確答案】C【詳解】如圖，由點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，得，，由橢圓定義，得，在中，由余弦定理得，則，又，整理得，又橢圓的離心率，于是，而，解得，所以的離心率.故選：C8．【正確答案】D【詳解】構(gòu)造，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O(shè)，，，設(shè)，，，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，，即f′x<0在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，由，則，即，則，綜上所述，故選：D.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，若，則中各項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)出現(xiàn)，該數(shù)列不是增數(shù)列，故必成立，故A正確；對(duì)于B，取等比數(shù)列通項(xiàng)公式為，而，但不是增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取等比數(shù)列為，則，故，此時(shí)不為等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，故C成立；故選：AC.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)0,2在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，設(shè)，則，又點(diǎn)Px,y在圓上，所以直線與圓有交點(diǎn)，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，且在線段時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故選：BCD.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，取靠近的三等分點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，，則，所以，，，四點(diǎn)共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由對(duì)稱性知，此幾何體體積是底面邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4的長(zhǎng)方體體積的一半，所以，故B正確；對(duì)于C，過(guò)四點(diǎn)，，，構(gòu)造正方體，所以，外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，所以，則，所以此四點(diǎn)的外接球表面積為，故C正確；對(duì)于D，由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長(zhǎng)，沿將相鄰兩四邊形推平，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為5，所以周長(zhǎng)的最小值為，故D正確，故選：BCD12．【正確答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意對(duì)任意恒成立，，故，故91.13．【正確答案】【詳解】標(biāo)有數(shù)字的4只球排序共有種情況.要摸到標(biāo)有數(shù)字最大的球，有以下兩種情況：①標(biāo)有數(shù)字最大的球第3次摸到，其他的小球隨意在哪個(gè)位置，有種情況.②標(biāo)有數(shù)字最大的球第4次摸到，標(biāo)有數(shù)字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有種情況.故所求概率為.故答案為.14．【正確答案】/1.8【詳解】設(shè)的最小正周期為，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，則，可得，又因?yàn)?，且，可知為的?duì)稱中心，不妨設(shè)，如圖所示：依次討論對(duì)應(yīng)為點(diǎn)，A，，種情況，且，若對(duì)應(yīng)為點(diǎn)（或點(diǎn)之后），則，即，不合題意；若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，若對(duì)應(yīng)為點(diǎn)，則為的對(duì)稱軸，且，則，，滿足，且此時(shí)為最小值，所以取值的最大值為．故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在△ABD中，由余弦定理得.在△BCD中，由余弦定理得.因?yàn)?，所以，即，?（2）由題意可知，由，，則，則，得.在中，由余弦定理得.令，，在中，由余弦定理得，即.所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值為..16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，即得，所以雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，解得，則雙曲線方程；（2）由已知直線，即，聯(lián)立直線與雙曲線，即，得，，且，，則弦長(zhǎng).又為雙曲線的左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積，所以的面積為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?又，所以，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平?（2）過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由（1）知，平面，又平面，所以，在直角中，，則，又，所以，所以，則，設(shè)，則，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，設(shè)二面角的大小為，則，解得，此時(shí)為的中點(diǎn)，，平面的法向量，所以點(diǎn)到平面距離為.18．【正確答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知，則，，，，令，即，令，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極大值為，無(wú)極小值；（2）（i）由，，則，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，與有兩個(gè)零點(diǎn)矛盾，不成立；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞減，且，則當(dāng)時(shí)，，又，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).綜上所述，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則；（ii）設(shè)，則，又，，兩式做差可得，即，則，所以若證，即證，即證，設(shè)，即，則只需證，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以.19．【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)傳球游戲的規(guī)則，可得，再根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，求解概率，再結(jié)合分布列公式，即可求數(shù)學(xué)期望；（2）首先根據(jù)題意，可得關(guān)于數(shù)列的遞推公式，，再通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）首先根據(jù)（2）的結(jié)果，求，并利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由題