2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練專題六立體幾何第2課時含解析

PAGE5-第2課時1．在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π2．(2024年新課標(biāo)Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)3．已知如圖Z6-16所示的三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面相互垂直，AB＝3，AC＝eq\r(3)，BC＝CD＝BD＝2eq\r(3)，則球O的體積為()圖Z6-16A.eq\f(4π,3)B.eq\f(4\r(3)π,3)C.eq\f(32π,3)D．36π4．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將三角形ABC折起，當(dāng)平面ABC⊥平面ACD時，四面體ABCD的外接球的體積是()A.eq\f(125,12)πB.eq\f(125,9)πC.eq\f(125,6)πD.eq\f(125,3)π5．(2013年新課標(biāo)Ⅰ)如圖Z6-17，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，假如不計容器厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3圖Z6-17圖Z6-186．如圖Z6-18，在四棱錐P-ABCD中，△PAB為正三角形，四邊形ABCD為正方形且邊長為2，平面PAB⊥平面ABCD，四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，則這個球的表面積是()A.eq\f(28\r(21)π,27)B.eq\f(7π,3)C．28πD.eq\f(28π,3)7．已知點P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，點B在AC上的投影為D，則三棱錐P-ABD體積的最大值是()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(3\r(3),8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),4)8．已知在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，PA＝eq\r(10)，PC＝eq\r(2)，則三棱錐P-ABC外接球的體積為()A．28πB．36πC．48πD．72π9．(2024年廣東廣州中學(xué)畢業(yè)班綜合測試)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8πB．12πC．20πD．24π10．已知三棱錐P-ABC的全部頂點都在球O的球面上，△ABC滿意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P究竟面ABC的距離為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)11．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖Z6-19，若四棱錐P-ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設(shè)該陽馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則eq\f(R,r)＝________.圖Z6-1912．已知正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為2，且球心在點A，B，C所確定的平面上，則該正三棱錐的表面積是________．13．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥面ABCD,PA＝PD＝AD＝3，AB＝4，則四棱錐ABCD的外接球的表面積為________．14．A，B，C，D四點在半徑為eq\f(5\r(2),2)的球面上，且AC＝BD＝5，AD＝BC＝eq\r(41)，AB＝CD，則三棱錐D-ABC的體積是________．15．在三棱錐P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥AC，則該三棱錐外接球的表面積為________．

第2課時1．A解析：由已知三棱錐A-BCD的外接球是長為eq\r(3)，寬為eq\r(2)，高為1的長方體的外接球，由長方體對角線長為eq\r(6)，得外接球半徑為eq\f(\r(6),2)，故所求球體體積為eq\r(6)π.2．B解析：如圖D249，畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心．球半徑R＝OA＝1，球心究竟面圓的距離為OM＝eq\f(1,2).∴底面圓半徑r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).圖D2493．C解析：△ABC外接圓半徑為eq\r(3)，△DBC的高為2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，球O的半徑為eq\r(\r(3)2＋12)＝2，則球O的體積為eq\f(32π,3).4．C解析：AC為球的直徑，四面體ABCD的外接球的體積是eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125,6)π.5．A解析：如圖D250，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42.∴R＝5.∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3)．圖D2506．D解析：將四棱錐補成以△PAB為底面的正三棱柱，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋12＝r2＝eq\f(7,3)，∴S＝4πr2＝eq\f(28π,3).7．B解析：如圖D251，∵∠ABC＝90°，∴AC為截面圓直徑．圖D251設(shè)球心為O，連接PO，易知PO交AC，記交點為E，結(jié)合PC＝CO＝2知PE＝1，故CE＝eq\r(3)，則AC＝2eq\r(3).設(shè)AB＝a，則BC＝eq\r(12－a2)，由AB2＝AD·AC知AD＝eq\f(a2,2\r(3))，BD＝eq\f(a\r(12－a2),2\r(3))，∴S△ABD＝eq\f(1,24)a3eq\r(12－a2)＝eq\f(1,24)eq\r(12a6－a8).令f(a)＝12a6－a8，則f′(a)＝72a5－8a7＝8a5(9－a2)．由f′(a)＝0得a＝3，且f(a)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,2eq\r(3))上單調(diào)遞減，故當(dāng)a＝3時，f(a)取得最大值．∴三棱錐P-ABD體積的最大值為eq\f(1,3)×1×eq\f(1,24)×33×eq\r(12－32)＝eq\f(3\r(3),8).8．B解析：∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，BC＝4eq\r(2)，PA＝eq\r(10)，PC＝eq\r(2)，cos∠PCA＝eq\f(2＋16－10,2×\r(2)×4)＝eq\f(\r(2),2)，2r＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))＝2eq\r(5)，外接球的半徑R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)＝eq\r(9)＝3，S＝4π×32＝36π.9．C解析：方法一，將三棱錐P-ABC放入長方體中，如圖D252(a)，三棱錐P-ABC的外接球就是長方體的外接球．∵PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC為直角三角形，∴BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).設(shè)外接球的半徑為R，依題意可得(2R)2＝22＋22＋(2eq\r(3))2＝20，故R2＝5，則球O的表面積為4πR2＝20π.故選C.(a)(b)圖D252方法二，利用鱉臑的特點求解，如圖D252(b)，∵四個面都是直角三角形，∴PC的中點到每一個頂點的距離都相等，即PC的中點為球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，∴球O的表面積為4πR2＝20π.故選C.10．B解析：取AB的中點O1，連接OO1，如圖D253，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，∴△ABC所在小圓圓O1是以AB為直徑的圓，∴O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，∴OA＝2，∴OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，∴點P到平面ABC的距離為2OO1＝2eq\r(2).圖D25311.eq\f(\r(41),2)解析：∵四棱錐P-ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設(shè)該陽馬的外接球半徑為R，∴該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，∴(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，∴R＝eq\f(\r(41),2)，∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且底面為正方形，∴內(nèi)切球O1在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是△PAD的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切球半徑為r＝1，故eq\f(R,r)＝eq\f(\r(41),2).12．3eq\r(3)＋3eq\r(15)解析：如圖D254，OP＝OA＝2，OD＝1，PA＝PB＝PC＝2eq\r(2)，AB＝2eq\r(3)，則該正三棱錐的表面積是3eq\r(3)＋3eq\r(15).圖D25413．28π解析：先找到矩形ABCD的外心O1，球心在O1的正上方．然后找到等邊△PAD的外心O2，即等邊△PAD的重心，球心在O2的正上方，由此可得到球心O的位置如圖255所示．O2E＝eq\f(1,3)PE＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，O1B＝eq\f(5,2)，故球的半徑R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＝7，故球的表面積為4πR2＝28π.圖D25514．20解析：由題意，將三棱錐D-ABC放入長方體中(如圖D256)，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，從而得出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25，,