2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-回顧7-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

回顧7函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的單調(diào)性(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D：如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)．如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)．(2)單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．3．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在它的定義域上的整體性質(zhì)，所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域．一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù))．(2)①周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．4．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)過定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過點(diǎn)(0,1)，y＝logax(a>0，且a≠1)恒過點(diǎn)(1,0)．(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上是增函數(shù)；y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上是減函數(shù)；y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)．5．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．6．導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值及最值(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減；如果恒有f′(x)＝0，f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)．(2)函數(shù)的極值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．(3)函數(shù)的最大(小)值①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．②求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論(1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．(2)奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性．(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(4)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商(分母不為零)是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商(分母不為零)是奇函數(shù)．(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)．2．函數(shù)的周期性的重要結(jié)論周期函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2|a|.(3)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，其中f(x)≠0，則函數(shù)的周期為2|a|.(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，則函數(shù)的周期為2|a|.3．函數(shù)的對(duì)稱性的重要結(jié)論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．(3)f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱．4．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|c|個(gè)單位長度(c>0時(shí)向左平移，c<0時(shí)向右平移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長度(b>0時(shí)向上平移，b<0時(shí)向下平移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))．5．函數(shù)圖象伸縮變換的相關(guān)結(jié)論(1)把y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(a>1)或縮短(0<a<1)到原來的a倍，而橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝af(x)(a>0)的圖象．(2)把y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<b<1)或縮短(b>1)到原來的eq\f(1,b)，而縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝f(bx)(b>0)的圖象．6．抽象函數(shù)的性質(zhì)與特殊函數(shù)模型的對(duì)照表抽象函數(shù)的性質(zhì)特殊函數(shù)模型(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)，(2)eq\f(fx,fy)＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)，(2)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，(2)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝eq\f(fx,fy)(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0)冪函數(shù)f(x)＝xnf(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)三角函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝cosx1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,lnx－1)＋eq\r(3－x)的定義域?yàn)?)A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)答案B解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≠1，,3－x≥0，))∴1<x<2或2<x≤3，∴函數(shù)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,3]．2．(2023·大同模擬)－(－10)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))·的值等于()A．－2B．0C．8D．10答案A解析－(－10)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))·＝3－1＋(－2)×2＝－2.3．已知f(x)＝|lgx|，若a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，c＝f(2)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a答案D解析∵f(x)＝|lgx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0<x<1，))作出f(x)的圖象如圖，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．∵0<eq\f(1,4)<eq\f(1,3)<1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，即a>b.又∵b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝|－lg3|＝lg3>|lg2|＝f(2)＝c，∴a>b>c4．f(x)是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，記a＝eq\f(f20.2,20.2)，b＝eq\f(f0.22,0.22)，c＝eq\f(flog25,log25)，則關(guān)于a，b，c的大小關(guān)系，正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a答案C解析令g(x)＝eq\f(fx,x)，得g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，得g′(x)<0，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又log25>log24＝2,1<20.2<2,0<0.22＝0.04<1，可得log25>20.2>0.22，故g(log25)<g(20.2)<g(0.22)，即c<a<b.5．(2023·梅州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1－2x)為偶函數(shù)，且f(－1)＝1，則|f(－10)|＋|f(－9)|＋…＋|f(0)|＋|f(1)|＋…＋|f(9)|＋|f(10)|等于()A．10B．20C．15D．5答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(1－2x)為偶函數(shù)，所以f(1－2x)＝f(1＋2x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(1－2x)＝－f(2x－1)，即f(1＋2x)＝－f(2x－1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)，則f(x＋2)＝－f(x)，那么|f(x＋2)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以2是函數(shù)|f(x)|的一個(gè)周期，因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，且f(－1)＝1，所以|f(－10)|＝|f(－8)|＝…＝|f(8)|＝|f(10)|＝0，|f(－9)|＝|f(－7)|＝…＝|f(7)|＝|f(9)|＝1，所以|f(－10)|＋|f(－9)|＋…＋|f(0)|＋|f(1)|＋…＋|f(9)|＋|f(10)|＝10.6．已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x)＋f(2－x)＝0，當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(x)＝2x，則f(2＋log25)的值為________．答案－eq\f(4,5)解析由題設(shè)，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，故f(2＋x)＝f(x)，即f(x)的周期為2，所以f(2＋log25)＝f(log25)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋log2\f(5,4)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(5,4)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(4,5)))，且－1<log2eq\f(4,5)<0，所以f(2＋log25)＝－＝－eq\f(4,5).7．設(shè)曲線y＝e2ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x－y＋1＝0垂直，則a的值為________．答案－eq\f(1,4)解析∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2αx，所以在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝2ae0＝2a，又∵切線與直線2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－eq\f(1,4).8．已知直線y＝mx與函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0))的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(eq\r(2)，＋∞)解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0，))作出f(x)的圖象，如圖，當(dāng)m≤0時(shí)，直線y＝mx和函數(shù)f(x)的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m>0時(shí)，直線y＝mx和函數(shù)y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≤0)的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線y＝mx和函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2＋1(x>0)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，即方程mx＝eq\f(1,2)x2＋1在(0，＋∞)上有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，mx＝eq\f(1,2)x2＋1?eq\f(1,2)x2－mx＋1＝0，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－2>0，,2m>0，))解得m>eq\r(2)，即m的取值范圍為(eq\r(2)，＋∞)．9．(2023·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)－1(a≠0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若不等式f(x)≥x－1對(duì)x∈(0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)－1(a≠0)，得f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(ax－1,x2)，當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)，當(dāng)0<x<eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增．(2)由f(x)≥x－1對(duì)x∈(0,1]恒成立，得alnx＋eq\f(1,x)－1≥x－1對(duì)x∈(0,1]恒成立，即alnx＋eq\f(1,x)－x≥0對(duì)x∈(0,1]恒成立，令g(x)＝alnx＋eq\f(1,x)－x，x∈(0,1]，則g′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(1,x2)－1＝eq\f(ax－1－x2,x2)，因?yàn)間(1)＝0，所以要使g(x)在x∈(0,1]內(nèi)恒大于等于零，則g(x)在x∈(0,1]上單調(diào)遞減，所以g′(x)≤0，所以ax－1－x2≤0，所以a≤eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)在x∈(0,1]內(nèi)恒成立，因?yàn)閤＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)