高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專(zhuān)項(xiàng)練5高考中的解析幾何含解析

高考大題專(zhuān)項(xiàng)練五高考中的解析幾何

一、非選擇題

1.設(shè)A,8為曲線(xiàn)。:片廠(chǎng)上兩點(diǎn)，/與￡的橫坐標(biāo)之和為4.

4

⑴求直線(xiàn)月8的斜率；

⑵設(shè)必為曲線(xiàn)C上一點(diǎn),C在."處的切線(xiàn)與直線(xiàn)4?平行,且AMA.BM,求直線(xiàn)4?的方程.

解：（1）設(shè)A（xhyi）,B@,㈤,則汨羊也,刃〒，鹿干，小,彭泡，

于是直線(xiàn)力8的斜率女=^=」^=L

1-24

⑵由尸，得尸亍

設(shè).1/（^3,y-s）,由題設(shè)知三=1,

解得照=2,于是M2,1）.

設(shè)直線(xiàn)48的方程為y=x+m,

故線(xiàn)段48的中點(diǎn)為川（2,2甸，/惻/=/m1/.

將y="■必代入萬(wàn)丁得x~4x~4加=0.

當(dāng)A=165+1）加，即m>~l時(shí)，^2=2±2y/~+T.

從而lAB/=42/xi-x2/=1V2（—+1）.

由題設(shè)知力笈/2〃例”，

即4J57+1）=25柏,解得加=7.

所以直線(xiàn)力8的方程為尸”7.

2.已知曲線(xiàn)。:尸〃為直線(xiàn)尸-上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)〃作C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B.

⑴證明：直線(xiàn)。過(guò)定點(diǎn);

⑵若以《0,3為圓心的圓與直線(xiàn)力?相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段力?的中點(diǎn),求該圓的方程.

答案：（1）證明設(shè)［，-；）,/（小,珀，則彳之兒

由于y，=x,所以切線(xiàn)DA的斜率為擊,故上二汨.

r

整理得2以廣2y㈤=0.

設(shè)4(照,㈤，同理可得2以「2%+1=0.

故直線(xiàn)力〃的方程為25-2W14).

所以直線(xiàn)14過(guò)定點(diǎn)(0,0.

⑵解由⑴得直線(xiàn)"的方程為y=tx^.

f=+；,

由12可得

于是不出2=2tty\-(-y2=t{x\+XL)+1=2#*1.

設(shè)必為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),則.?,2+J

由于一-；而一=(t,t2~2),―與向量(1,，)平行，

所以^(?-2)解得依或t=±l.

當(dāng)￡空時(shí)，/~所求圓的方程為-1)%;

當(dāng)￡-±1時(shí)，/~'他,所求圓的方程為-|7N

3.設(shè)拋物線(xiàn)C:寸心、點(diǎn)3(2,0),8(-2,0),過(guò)點(diǎn)力的直線(xiàn)1與C交于極3兩點(diǎn).

⑴當(dāng)，與x軸垂直時(shí),求直線(xiàn)掰的方程:

⑵證明：/48心乙仍M

答案：(1)解當(dāng)，與x軸垂直時(shí)，/的方程為片2,可得J/的坐標(biāo)為(2,2)或⑵-2).

所以直線(xiàn)砌的方程為片或尸5T.

⑵證明當(dāng)/與才軸垂直時(shí)，力8為腑，的垂直平分線(xiàn)，

所以NABM=/ABN.

當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)1的方程為y=k(x-2)(A^O),Mxi,yi),N(x2,刑)，則汨Y,在見(jiàn)

由［-2),得〃於21回，

I=乙

可知必小=,

直線(xiàn)BM,例『的斜率之和為=一：①

1+22+2（［+2）（2+2）

將Xi—*2,及=2+2及乂/M%的表達(dá)式代入①式分子,可得

生力+汨%也（%^2）"」"（"2）=—4）.

所以k榭+kB\R,可知B禮外的傾斜角互補(bǔ)，

所以NABM=/ABN.

綜上，4ABM=4ABN.

4.已知中心在原點(diǎn)0,左焦點(diǎn)為四（-1,0）的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為瓦￡到直線(xiàn)力8的距離為

y/W

⑴求橢圓，的方程；

2222

⑵若橢圓61的方程為fd—（加才以）），橢圓C的方程為一jH—2=（“況且X工1）,則稱(chēng)橢圓Ci

是橢圓G的4倍相似橢圓.如圖，已知G是橢圓。的3倍相似橢圓,若橢圓。的任意一條切線(xiàn)/交

楸圓G于兩點(diǎn)瓶N,試求弦長(zhǎng)/秘V/的取信范闈.

解：（1）設(shè)橢圓。的方程為一+一二1（9/水）），

，直線(xiàn)48的方程為^—I--1.

?"（T,0）到直線(xiàn)力4的距離d-.；?=如,才M=7（a-1）2.

V2+27

又lf=a-l,解得a=2,Z）=\/3,

故橢圓C的方程為；■+k=1.

43

⑵橢圓C的3倍相似橢圓Q的方程為《+二=1,

①若切線(xiàn)/垂直于X軸，則其方程為442,

易求得/腑/9通.

②若切線(xiàn)1不垂直于才軸,可設(shè)其方程為y=kx+b,

將尸府歷代入橢圓C的方程，得（3用〉療那劫尸4匕12力,

???A=（846）29（3尚芯）（4爐一12）工8（4足+3-歷R,

即爐可N+3,（近

設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（小,'），（*2,㈤，

將切代入橢圓G的方程,得（3片冷f用相次也9—364,

,LLn4,842-36

此時(shí)M,照二句"可小心工p下，

/,“3（122+9-2）

Mr?尸―一，

:.網(wǎng)■嗎+看"存叫］+G

???3用★。3,??.1<1停工/

即2遙<2^J1+7^-2^472.

綜合①?,得弦長(zhǎng)"W/的取值范圍為［2遍,4方］.

5.已知橢圓C:+一=1（屆功刈的離心率為今且過(guò)點(diǎn)4（2,1）.

⑴求。的方程:

⑵點(diǎn)制N在。上,且力肛例ADLMN,。為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得/%為定值.

答案：（1）解由題設(shè)得為+心力,—=

解得才8電所以。的方程為=+—刁

03

⑵證明設(shè)玳小,y）,MM,㈤.

若直線(xiàn)JW與x軸不垂直,設(shè)直線(xiàn)JW的方程為y=kx+m,代入;+J=1

06

得（1+2女2）x他kmx也#-6=0.

于是M涇三①

由力ML4V知--->?---->=0,

故（汨-2）（照-2）+（y】T）（度T）=0,

可得（/+1）小照+（〃0-4-2）（用+照）*（/?-l）2-M=0.

將①代入上式可得（人1）篇=-（既-公2）號(hào)^+（初-1）2陷4整理得（2右3"1）（25加-1）=0.

因?yàn)?（2,1）不在直線(xiàn).機(jī)V上,所以2女加TWO,

故2k埒m+lR,21.

于是?映的方程為y="-|）一321）.

所以直線(xiàn)助V過(guò)點(diǎn)需,-?.

若直線(xiàn)助V與X軸垂直,可得以為，

由一k?一得（小-2）（汨-2）Ay.-1）（-yi-1）力

又一+一二1,可得3彳~8乂司R.

解得乂卻舍去），若.此時(shí)直線(xiàn)榔過(guò)點(diǎn)電,6）.

令0為4的中點(diǎn)，即砥，g）.

若〃與尸不重合,則由題設(shè)知"是RtZ\4產(chǎn)的斜邊，

故/因耳/474.

若〃與P重合,則IDQ/^IAPI.

綜上,存在點(diǎn)祐，J使得/制/為定值.

6.已知橢圓△一+-=1（9加0）的離心率為也以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-

y^/6-O相切,過(guò)點(diǎn)一（4,0）且不垂直于x軸的直線(xiàn)1與橢圓C相交于48兩點(diǎn).

⑴求橢圓。的方程；

⑵求的取值范圍;

⑶若8點(diǎn)關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是￡證明：直線(xiàn)AE與A■軸相交于定點(diǎn).

答案:⑴解由題意知，一=舞"即鵬

又a=l)-f-c,所以a=2,Z?=\/3.

故橢圓。的方程為:+產(chǎn)=1.

⑵解由題意知直線(xiàn)1的斜率存在,

設(shè)直線(xiàn)/的方程為

=(一4),

由22可得(3掰如)/一32A"64*T2R.

(T+T=1>

設(shè)A(xhyi),8(x2,72),

則4-322A*-4(3V4A2)(64^-12)加,

所以

4

,322642-12公

則小塊下廠(chǎng)‘亂"3『?①

所以*?＞和照力/i座

二為生小人?、葍x⑷

=（1+1＜）M照~4分（小+照）+16/

E11）?喘生八言？16六

因?yàn)椤；騫,所以手忘―吁,

則YW25一〈號(hào)

即一.一中,胃

⑶證明因?yàn)锽,￡關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以可設(shè)￡（a-⑸,

則直線(xiàn)4?的方程為尸y=^（『?。?

2

令片0,可得廣汨r1（「2）

因?yàn)椋ㄐ）,%=A（X2Y）,

所I、j212-4(1+2)2x26得1

所以X上—y-=一吊”2什=1,

1+2-8.-8

3+42

所以直線(xiàn)力￡與矛軸交于定點(diǎn)(1,0).

7.(2021新高考/,21)在平面直角坐標(biāo)系宜/中，已知點(diǎn)￡(向,0),E(X/H,0),點(diǎn)/滿(mǎn)足/痂卜

/；物/=2.記"的軌跡為C.

⑴求軌跡C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)7在直線(xiàn)號(hào)上,過(guò)7的兩條直線(xiàn)分別交軌跡C于4〃兩點(diǎn)和P,0兩點(diǎn),且

/必/?/陽(yáng)/=/9/?求直線(xiàn)48的斜率與直線(xiàn)用的斜率之和.

解：⑴???/班HMA/=2，且E(V17,0),((V17,0),

22

==忌

2=2+2,

2=i,1

.(

???)2=16.

[2=17.

J。的方程為frj=l(x21).

10

⑵設(shè)/(；,),顯然直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)PQ的斜率都存在.

設(shè)直線(xiàn)力6的方程為y=k{

得16H12-+3+2,-2卜6,

即（16-?）+{J-2A1Z7）x-j*hmdT6=0.

??ITA!?/TB/=(1^I)[(i-0(2-0]

設(shè)k*k?、同理可得/%/?/%/=("!)?普.

216

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8.如圖，已知橢圓一+一口的左焦點(diǎn)為區(qū)過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)交橢圓于48兩點(diǎn),線(xiàn)段力4