人教A版（2019）高一數學必修第二冊-立體幾何初步單元復習(第一課時)-1教案

教案教學基本信息課題立體幾何初步單元復習（第一課時）學科數學學段：高中年級高一教材書名：《數學》必修二（A版）出版社：人教社出版日期：2019年6月教學設計參與人員姓名單位設計者葉勇北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學實施者葉勇北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學指導者李淑敬、趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心課件制作者葉勇北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學其他參與者教學目標及教學重點、難點通過構建《立體幾何初步》全章知識體系，了解全章知識結構，知道柱、錐、臺表面與展開圖的關系及表面積的計算方法；能記住柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算公式，并能用這些公式計算一些簡單幾何體的表面積和體積，解決簡單的實際問題；根據空間角的概念，能將空間問題轉化為平面問題，會求簡單空間圖形中兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的大小.發(fā)展學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學素養(yǎng).教學過程中設計了四道例題.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入前面我們學習了第八章《立體幾何初步》全章內容，立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學分支，立體圖形是立體幾何的研究對象．直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算是我們認識和探索空間圖形、研究它們性質的重要手段，空間圖形問題經常轉化為平面圖形問題，這是解決空間圖形問題的重要思想方法．本節(jié)課進行《立體幾何初步》單元復習第一課時.幫助學生站在全章數學知識的整體高度認識問題、思考問題、解決問題.新課一、《立體幾何初步》全章知識體系構建通過全章的知識結構圖從對空間幾何體的整體觀察入手，通過認識棱柱、棱錐、棱臺這些多面體以及圓柱、圓錐、圓臺、球這些旋轉體等基本立體圖形的組成元素及其相互關系，認識了這些圖形的幾何結構特征，學習了它們在平面上的直觀圖表示以及它們的表面積和體積的計算．然后以組成立體圖形的基本元素---點、直線、平面為對象，在研究平面基本性質的基礎上，以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系（直線與直線、直線與平面、平面與平面），重點研究直線、平面的平行和垂直關系．對空間角的認識和計算體現了由空間向平面轉化的方法.空間的角包括異面直線所成的角，范圍是；直線與平面所成的角，范圍是；二面角，范圍是.二、知識梳理（一）基本立體圖形包括多面體和旋轉體1、多面體的幾何結構特征由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，常見的特殊多面體有棱柱、棱錐、棱臺.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱；有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐；用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺.它們均可以按底面邊數分類.2、旋轉體的幾何結構特征一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.常見的特殊的旋轉體有圓柱、圓錐、圓臺、球.分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體分別叫做圓柱、圓錐；用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺；半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.（二）、多面體和旋轉體的表面積與體積1、多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．2、給出棱柱、棱錐、棱臺的體積公式3、圓柱、圓錐、圓臺的表面積都是底面積與側面積的和.其中側面積要注意三種圖形的側面展開圖，圓柱的側面展開圖是矩形，圓錐的側面展開圖是扇形，圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，同時圓臺的上下兩個底面不同，給出這三種旋轉體的表面積公式和體積公式.4、旋轉體中球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.（三）空間中的角1、異面直線所成的角：通過平移變?yōu)槠矫嫔蟽蓷l相交直線的夾角，其范圍是0°<θ≤90°.2、直線和平面所成的角：主要是定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，加上直線與平面垂直、直線與平面平行或在平面內，其范圍是0°≤θ≤90°.3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，其中這條直線叫做二面角的棱，過棱l上任一點O在兩個面里各作與棱垂直的直線OA、OB，則∠AOB是二面角α-l-β的平面角.通常用二面角的平面角的大小來度量二面角的大小.二面角的平面角的范圍是0°≤θ≤180°.三、題型探究：類型1：空間幾何體的表面積與體積例題1如圖所示的三棱錐O-ABC為長方體的一角．其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5cm2，1cm2，3cm2，求三棱錐O-ABC的體積．例題217世紀日本數學家們對于數學關于體積方法的問題還不了解，他們將體積公式“”中的常數k稱為“立圓術”或“玉積率”，創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”，其中D為直徑.類似地，對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式，其中，在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長．假設運用此“會玉術”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為，那么，()A．B．C．D．總結解題策略：幾何體表面積與體積的的計算是現實生活中經常遇到的問題，特別是特殊的柱、錐、臺，在計算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對于圓柱、圓錐、圓臺，要重視旋轉軸所在軸截面、底面圓的作用．特別注意旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用，求較復雜幾何體的體積常用割補法、等積法求解.類型2：空間角的計算問題例題3如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)直線AO與A′C′所成的角的度數；(2)直線AO與平面ABCD所成的角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成的角的度數．總結三類不同空間角的一般求法和求解步驟：求空間各種角的大小一般都可以轉化為平面角來計算，空間角的計算步驟：一作，二證，三計算．(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角)，平移時經常利用某些特殊點（如中點）或特殊線（如中位線）來實現；(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影)，當直線為平面的斜線時，它是斜線與斜線在平面內的射影所成的角，通常在斜線上取一特殊點向平面作垂線找到這個銳角，然后通過解直角三角形求出結果；(3)求解二面角的平面角的步驟：一找(根據定義尋找現成的二面角的平面角)，二作(若沒有找到現成的，需要引出輔助線作出二面角的平面角)，三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角的度數或該角相應的某個三角函數值)．例題4如圖在三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(3)，SC＝1.(1)畫出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度數；(2)求三棱錐S-ABC的體積．引導學生通過全章知識體系構建站在更高的角度認識立體幾何圖形及相關的知識間聯(lián)系.系統(tǒng)梳理多面體的幾何結構特征，了解這些圖形的分類及其特殊性，認識它們的區(qū)別和聯(lián)系（穿插用圖形呈現）.類似地，系統(tǒng)梳理多面體的幾何結構特征，了解這些圖形的分類及其特殊性，認識它們的區(qū)別和聯(lián)系（穿插用圖形呈現）.從度量角度認識空間幾何體，就需要結合基本立體圖形的結構特征了解空間幾何體的表面積和體積公式，能夠使用公式計算簡單幾何體以及它們的組合體的表面積和體積．通過對空間中的角的認識和計算體現由簡單到復雜、由易到難的一般研究思路，同時也體現由空間向平面的轉化思想.二面角的大小由它的平面角的大小來度量，定量地反映了兩個平面相交的位置關系，顯然這里體現了“平面化”的思想，同時也保證了用二面角的平面角的大小來度量二面角的大小是存在并且唯一的．通過本例考查三棱錐的表面積和體積公式的運用，同時能指導學生熟練運用換底法解決與三棱錐的體積有關的問題.通過該問題的探討，進一步指導學生運用球、圓柱、正方體等不同幾何體的體積公式解決實際問題的能力.使學生明確解題后的及時總結會更好地提升邏輯推理、數學運算、空間想象等能力.通過本例的探究使學生認識到在遇到具體的空間角的確定和計算時，要緊扣每類空間角的定義，想辦法轉化為平面角，提升轉化能力.使學生明確解題后的及時總結會更深刻地理解空間角的概念，提升邏輯推理、數學運算、空間想象等能力.通過本例探究，使學生進一步掌握求解立體幾何初步中體積的計算、空間角的確定及計算，提升分析問題、解決問題的能力.總結五、課堂小結回顧本節(jié)課所學內容1.梳理《立體幾何初步》全章內容，了解全章知識體系構建及知識結構；2.柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算；3.理解三類空間角的概念，會進行簡單的角的計算.4.基本思想方法：空間問題轉化為平面問題5.學習立體幾何的途徑是：直觀感知（識圖）→操作確認（畫圖）→思辨論證（證圖）→度量計算（算圖）.回顧本節(jié)課知識，并建