甘肅省高臺(tái)一中2024屆學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬卷(七)

甘肅省高臺(tái)一中2023屆學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬卷(七)注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，，分別是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或52．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．4．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿(mǎn)足M∪X＝N的集合X的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．46．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位7．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．8．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則=（）A． B．C． D．10．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線(xiàn)BF交直線(xiàn)AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．11．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交12．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是第二象限角，且，，則____.14．在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為矩形，，.若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)____．15．實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)____．16．根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸出的的值為，則輸入的的值為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類(lèi)慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和銷(xiāo)量（萬(wàn)盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361013151821銷(xiāo)量（萬(wàn)盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線(xiàn)性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線(xiàn)性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類(lèi)不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè)．第一次檢測(cè)時(shí)，三類(lèi)劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類(lèi)劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后，，三類(lèi)劑型合格的種類(lèi)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．18．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線(xiàn)交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.19．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓與角終邊的交點(diǎn)為，過(guò)作平行于軸的直線(xiàn)，設(shè)與終邊所在直線(xiàn)的交點(diǎn)為，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20．（12分）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，證明：直線(xiàn)．21．（12分）若不等式在時(shí)恒成立，則的取值范圍是__________.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為4sin.（1）求曲線(xiàn)C的普通方程；（2）求曲線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)漸近線(xiàn)方程求得，再利用雙曲線(xiàn)定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)方程，涉及雙曲線(xiàn)的定義，屬基礎(chǔ)題.2．B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.4．D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤，，當(dāng)時(shí)，不妨取，，故時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.5．D【解析】可以是共4個(gè)，選D.6．D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7．C【解析】

解對(duì)數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.9．B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

連接，為的中位線(xiàn)，從而，且，進(jìn)而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，不妨設(shè)B在第二象限，直線(xiàn)BF交直線(xiàn)AC于M，且M為AC的中點(diǎn)為的中位線(xiàn)，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．12．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由是第二象限角，且，可得，由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.14．【解析】

做中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由已知條件可求出，運(yùn)用余弦定理可求，從而在平面中建立坐標(biāo)系，則以及的外接圓圓心為和長(zhǎng)方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過(guò)球心滿(mǎn)足，即可求出的坐標(biāo)，從而可求球的半徑，進(jìn)而能求出球的表面積.【詳解】解：如圖做中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由題意知，則設(shè)的外接圓圓心為，則在直線(xiàn)上且設(shè)長(zhǎng)方形的外接圓圓心為，則在上且.設(shè)外接球的球心為在中，由余弦定理可知，.在平面中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)為軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，在平面中且設(shè)，則，因?yàn)椋越獾?則所以球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的問(wèn)題，考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過(guò)將幾何體補(bǔ)充到長(zhǎng)方體中，將幾何體的外接球等同于長(zhǎng)方體的外接球，求出體對(duì)角線(xiàn)即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過(guò)球的球心與各面外接圓圓心的連線(xiàn)與該平面垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過(guò)空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.15．．【解析】

畫(huà)出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題.線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來(lái)求最值.16．【解析】

算法的功能是求的值，根據(jù)輸出的值，分別求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的值即可得解．【詳解】解：由程序語(yǔ)句知：算法的功能是求的值，當(dāng)時(shí)，，可得：，或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，可得：（舍去）．綜上的值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語(yǔ)句，根據(jù)語(yǔ)句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）0.98;可用線(xiàn)性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來(lái)確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類(lèi)劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后，，三類(lèi)劑型合格的種類(lèi)數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關(guān)系可用線(xiàn)性回歸模型擬合；（2）藥品的每類(lèi)劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解，考查二項(xiàng)分布的期望，是中檔題.18．（1），；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)的方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可化為，即，將代入曲線(xiàn)的方程得，所以，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點(diǎn)、，因此，線(xiàn)段的中點(diǎn)為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線(xiàn)參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得，，因而得出，利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，所以函?shù)的最小正周期為.（2）因?yàn)椋?，所以，故函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域，運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算、降冪公式和二倍角的正弦公式，考查化簡(jiǎn)和計(jì)算能力.20．（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值，從而得，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程整理，設(shè)，由韋達(dá)定理得，設(shè)，利用三點(diǎn)共線(xiàn)，求得，然后驗(yàn)證即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，值最小，所以，解得，（舍負(fù)）所以，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，又所以，解得．而所以直線(xiàn)軸，即．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題．直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，采取設(shè)而不求思想，設(shè)，設(shè)直線(xiàn)方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，得出，再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡(jiǎn)變形．21．【解析】

原不等式等價(jià)于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數(shù)，故.故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查