2024-2025學(xué)年滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：角的計(jì)算八種類型（解析版）

專題15角的計(jì)算八種類型

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................3

類型一、角的計(jì)數(shù)問題............................................................3

類型二、角的單位及其換算........................................................7

類型三、方位角..................................................................9

類型四、鐘面角.................................................................13

類型五、角的大小比較...........................................................19

類型六、角的和差...............................................................22

類型七、角的n等分線...........................................................28

類型八、余角和補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算..................................................33

壓軸能力測評...................................................................38

X解題知識必備??

1角的概念

定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

注意：

(1)兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān).

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直線時(shí)，所

形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

~。~---------------------

BOAA{B}

平角周角

圖1圖2

2角的表示

角的幾何符號用.表示，角的表示法通常有以下四種：

表不方法圖示記法適用范圍

乙405任何情況都適

(1)用三個(gè)大

或用，表示頂點(diǎn)的

寫字母表示

/ABOA字母寫在中間

OB

以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)

(2)用一個(gè)大的角只有一個(gè)

乙。

寫字母表示/時(shí)，可以用頂點(diǎn)

O表示角

(3)用阿拉

乙1任何情況都適用

伯?dāng)?shù)字表示

(4)用希臘字

任何情況都適用

母表示

備注：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字

母.

3角的分類

角可以分為銳角、直角、鈍角和平角

4方位角

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30。.這里的"北偏東60。"和"南偏西30?！北硎痉较虻慕牵徒凶龇轿唤?。

(1)正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；

(2)方位角必須以正北和正南方向作為"基準(zhǔn)"，"北偏東60。”一般不說成"東偏北30。"；

(3)在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線"，確定其觀察點(diǎn)

的正東、正西、正南、正北的方向；

（4）圖中的點(diǎn)。是觀測點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以0為端點(diǎn).

5鐘面角

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6。，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,

時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°,利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題.

由兩指針的夾角度數(shù)判斷鐘表的時(shí)刻：將鐘表中時(shí)針與分針的夾角問題可轉(zhuǎn)化為行程問題與角的問題結(jié)合

的應(yīng)用題，利用方程思想可以使復(fù)雜的問題變得直觀，易于解決。

6角的度量

角度制及其換算：角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1。的角,

1°的1為1分，記作"1'",1'的1為1秒，記作"V".這種以度、分、秒為單位的角的度量制，

6060

叫做角度制.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一

位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位.

7鐘表里的旋轉(zhuǎn)角度問題

在鐘表中每個(gè)大格的夾角是30°,每個(gè)小格的夾角是6。；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)30。+60=0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)360°

+60=6。，將這些結(jié)論與行程問題結(jié)合，便可解決鐘表里的旋轉(zhuǎn)角度的問題。

X壓軸題型講練??

類型一、角的計(jì)數(shù)問題

例.（1）觀察圖形并填寫下表:

圖形

0^--------A0^^---------A0^^~——A

射線的條數(shù)

銳角的個(gè)數(shù)

（2）進(jìn)一步思考：在一個(gè)銳角的內(nèi)部畫出〃條射線時(shí)，圖中共有條射線，共有個(gè)銳角.

【答案】（1）從左到右，第一行：2,3,4,5；第二行：1,3,6,10；（2）（〃+2）,（用”）

【分析】（1）由圖易得射線的條數(shù)，銳角的個(gè)數(shù)可由前面一個(gè)圖形銳角的個(gè)數(shù)與加上一條射線后增加的銳

角的個(gè)數(shù)的和求得；

（2）通過尋找銳角個(gè)數(shù)與射線條數(shù)的統(tǒng)一規(guī)律即可求解.

【詳解】解：（1）射線的條數(shù)自左至右分別為：2,3,4,5；

銳角的個(gè)數(shù)自左至右第一格為1,第二格為1+2=3,第三格為3+3=6,第四格為6+4=10；

故答案為：從左到右，第一行：2,3,4,5；第二行：1,3,6,10；

（2）在一個(gè)銳角的內(nèi)部畫出w條射線時(shí)，圖中共有（〃+2）條射線，

團(tuán)畫出1條射線時(shí)，共有3個(gè)銳角，3=（1+2卜+1）,

畫出2條射線時(shí)，共有6個(gè)銳角，6=（2+2；2+1）

畫出3條射線時(shí)，共有10個(gè)銳角，io=（3+2：3+l）

團(tuán)畫出w條射線時(shí)，共有S+2）?+1）個(gè)銳角.

一心生?、r/（〃+2）（〃+1）

故答案為：（〃+2）,——~.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角的定義及圖形類規(guī)律探索問題，解題的關(guān)鍵是掌握銳角的定義并能找出在一個(gè)銳

角的內(nèi)部畫出射線的條數(shù)與銳角個(gè)數(shù)的統(tǒng)一規(guī)律.

【變式訓(xùn)練1】.閱讀理解：

我們知道:一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，線段A3和線段84表示同一條線段.若在直線/上取了三個(gè)不同的點(diǎn)，則

以它們?yōu)槎它c(diǎn)的線段共有一條;若取了四個(gè)不同的點(diǎn)，則共有線段一條;"依此類推，取了〃個(gè)不同的點(diǎn)，共有

線段條.（用含〃的代數(shù)式表示）

類比探究：

以一個(gè)銳角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)向這個(gè)角的內(nèi)部引射線.

（1）若引出兩條射線，則所得圖形中共有一個(gè)銳角；

⑵若引出?條射線，則所得圖形中共有一個(gè)銳角.（用含”的代數(shù)式表示）

拓展應(yīng)用：

一條鐵路上共有8個(gè)火車站，若一列火車往返過程中必須?？棵總€(gè)車站，則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備多少

種車票？

【答案】3,6,，々；（1）6;⑵（〃+1）,+2）；拓展應(yīng)用：鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備56種車票.

【分析】對于“閱讀理解"，假如I上取三點(diǎn)A,B,C,則線段有AB,AC,BC,自己試著總結(jié)出規(guī)律，再根

據(jù)線段的定義解答；

類比探究：根據(jù)角的定義解答；

拓展應(yīng)用：先計(jì)算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答.

【詳解】解答：

閱讀理三個(gè)不同的點(diǎn)，以它們?yōu)槎它c(diǎn)的線段共有3條，

若取了四個(gè)不同的點(diǎn)，則共有線段6條，…，

依此類推，取了n個(gè)不同的點(diǎn)，共有線段?（n-l）2條；

類比探究：

⑴引出兩條射線，共有4條射線，銳角的個(gè)數(shù)為6；

(〃+1)(加+2)

⑵引出n條射線，共有幾十2條射線，銳角的個(gè)數(shù):

拓展應(yīng)用：8個(gè)火車站共有線段條數(shù)"1

需要車票的種數(shù)：28x2=56.

故答案為3,6,

【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段，角的概念，探究規(guī)律，有特殊情況再推廣得到一般規(guī)律.

【變式訓(xùn)練2].（1）數(shù)一數(shù)圖①中共有一個(gè)角，圖②中共有一個(gè)角；圖③中共有一個(gè)角.

（2）從（1）中你能找到一種數(shù)圖④中角的個(gè)數(shù)的規(guī)律嗎？

【答案】（1）3,6,10；（2）第〃個(gè)圖形共有角的個(gè)數(shù)：嗎3

【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出角的個(gè)數(shù)即可;

（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可.

【詳解】解：（1）即+2=3,則圖①中共有3個(gè)角，

1+2+3=6,則圖②中共有6個(gè)角，

1+2+3+4=10,則圖③中共有10個(gè)角.

(2)01+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,

國第"個(gè)圖形共有：

1+2+3+…+(“-2)+("-1)

(n—l)(l+?z—1)

一

―2--

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字是連續(xù)整數(shù)的和是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3工回答下列問題：

(1)如圖①所示，當(dāng)以點(diǎn)。為端點(diǎn)的射線有3條時(shí)，圖中共有個(gè)角，它們分別是

①

⑵如圖②所示，當(dāng)以點(diǎn)。為端點(diǎn)的射線有4條時(shí)，圖中共有個(gè)角，它們分別是

②

⑶如圖③所示，當(dāng)以點(diǎn)。為端點(diǎn)的射線有5條時(shí)，圖中共有個(gè)角，它們分別是

⑷當(dāng)以點(diǎn)。為端點(diǎn)的射線有為大于或等于3的正整數(shù))條時(shí)，請你猜想共有個(gè)角,

并簡述理由.

(2)6,ZAOC,ZAOD,ZAOB,ZCOD,ZCOB,Z.DOB

(3)10,ZAOC,ZAOD,ZAOE,ZAOB,ZCOD,ZCOE,/COB,NDOE,ZDOB,ZEOB

⑷3"(〃-1),見解析

【分析】(1)把每個(gè)角都寫出來即可；

(2)把每個(gè)角都寫出來即可；

(3)把每個(gè)角都寫出來即可；

(4)由(1)(2)(3)所得的角出發(fā)，總結(jié)歸納角的數(shù)量規(guī)律，從而可得答案.

【詳解】(1)解：圖中共有3個(gè)角，分別為NAOC,ZAOB,ZCOB

(2)圖中共有6個(gè)角，分別為/AOGZAOD,ZAOB,ZCOD,ZCOB,ZDOB

(3)圖中共有10個(gè)角，分別為

ZAOC,ZAOD,ZAOE,ZAOB,ZCOD,ZCOE,ZCOB,Z.DOE,Z.DOB,Z.EOB

(4)理由如下：

觀察(1)(2)(3)的結(jié)論，

可知3=1X3X(3-1),6=1X4X(4-1),10=1X5X(5-1).

由此猜想當(dāng)以點(diǎn)。為端點(diǎn)的射線有為大于或等于3的正整數(shù))條時(shí)，共有個(gè)角.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義與計(jì)數(shù)，熟練掌握角的定義與計(jì)數(shù)的方法以及規(guī)律探究的方法是解決本題

的關(guān)鍵.

類型二、角的單位及其換算

例.計(jì)算：

⑴89。35，+20。2(y(結(jié)果用度、分、秒表示).

(2)123。24'-60。36’(結(jié)果用度表示).

【答案】⑴答9°55'

(2)62.8°

【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】(1)89。35'+20。20'

=109055,；

(2)123°24,-60°36,

=123.4°-60.6°

=62.8°.

【變式訓(xùn)練1工計(jì)算(結(jié)果用度、分、秒表示).

(1)58°49'+67°31‘；

⑵47.6°-25°12'36〃；

⑶38°45'+72.5°；

(4)180°-(58°35,+70.3°).

【答案】(1)126。20’

(2)22°23'24〃

⑶

⑷51°7'

【分析】本題考查度，分，秒的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握1。=60',1'=60"進(jìn)行計(jì)算，即可.

(1)根據(jù)1。=60',進(jìn)行計(jì)算，即可；

(2)根據(jù)1。=60',1'=60",進(jìn)行計(jì)算，即可；

(3)根據(jù)1。=60',r=60\進(jìn)行計(jì)算,即可；

(4)根據(jù)1。=60',1=60",進(jìn)行計(jì)算，即可.

【詳解】(1)解：58。49'+67。31'

=125°+80'

=126°20'.

(2)解:47.6°-25°1236〃

=47°36'—25°12'36"

=47°35'60"-25°12'36"

=22°23'24".

(3)解:38°45'+72.5°

=38°45'+72°30'

=110°75,

(4)解：180°-(58°35'+70.3°)

=180°-(58°35,+70018,)

=180°-128°35,

=51。7'.

【變式訓(xùn)練2】.(1)98°45'36"+71°22'34"；

(2)180°-78°32,-51°47,.

【答案】(1)170。8'10"；(2)49。4r

【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是牢記角的化簡，注意角的書寫形式，根據(jù)1。=60',1'=60〃

求解即可.

(1)將度、分、秒分別計(jì)算再相加即可；

(2)按照分不足則取1。化為60'再計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)98°45'36"+71°22'34"

=(98°+71。)+(45'+22')+(36"+34”)

=169°+67'+70〃

=170。8'10〃；

(2)180°-78°32,-51°47,

=179°60,-78°32,-51°47,

=101°28,-51°47,

=100°88,-51°47,

=49°41\

【變式訓(xùn)練3】.計(jì)算:

(1)47。53'43"+53。4742"；

⑵92°56'3"-46°57'54".

【答案】⑴101°41'25"

(2)45°58'9〃

【分析】本題考查了度分秒之間的換算的應(yīng)用，注意1。=60',1'=60，

(1)先度分秒分別相加，再根據(jù)滿60進(jìn)1的原則求出即可；

(2)先進(jìn)行單位的換算，再度分秒分別相減即可.

【詳解】(1)解：47°53'43"+53°47'42"=100°100'85"=101°41'25"；

(2)解：92。56'3"—46。57'54"=91。+115'+63"—46。一57'—54H=45。+58'+9"=45。58'9〃.

類型三、方位角

例.根據(jù)下列語句，畫出圖形(用鉛筆作圖).

⑴已知四點(diǎn)A、B、C、D.

①畫直線射線4。，線段。C；

②在圖中確定一個(gè)。使得點(diǎn)。到四個(gè)點(diǎn)A,B,C,。的距離之和最短.

A*

D

⑵如圖，一艘貨輪B在沿某小島。北偏東60。方向航行中，發(fā)現(xiàn)了一座燈塔A.某一時(shí)刻，燈塔A與貨輪8

分別到小島。的距離恰好相等，作圖確定B點(diǎn)位置，用量角器度量得到此時(shí)的度數(shù)是。（精確

到度）.

北

南

【答案】（1）見解析

（2）圖見解析，53°

【分析】本題考查了作直線、射線、線段，方向角，兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)題目的已知畫出圖形，并結(jié)

合圖形去分析是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)直線4B,射線4D,線段OC概念作出圖形即可；

②連接AC、8D相交于O,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)。到A、B、C、￡＞的距離之和最短.

（2）先畫出表示北偏東60。方向的射線08,再以。為圓心，為半徑作弧，交OB于B,得到等腰VAOB,

OA=OB,再用量角器量出/ABO的度數(shù)即可解答.

【詳解】（1）解：①如圖所示，直線4B,射線4D,線段。C即為所求；

②點(diǎn)。即這所求.

（2）解：如圖：點(diǎn)8即是所求,

北

南

量得4403。53。.

【變式訓(xùn)練11李叔叔坐船從甲港出發(fā)沿北偏東30。方向行駛15萬九到達(dá)乙港辦事.

▼0510km

⑴在圖中畫出李叔叔坐船從甲港到乙港的路線圖；

⑵辦完事后，他坐船按原路線返回，他沿一方向行駛一協(xié)，到達(dá)甲港.

【答案】(1)圖見解析

(2)南偏西30。；15.

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的方位角問題，熟悉掌握方位是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意作圖即可；

(2)根據(jù)方位推出甲港在乙港的南偏西30。方向15km處即可解答.

【詳解】(1)解：圖即為所求：

北

(2)解：根據(jù)圖象可得：甲港在乙港的南偏西30。方向15km處，

回辦完事后，他坐船按原路線返回，他沿南偏西30。方向行駛15km到達(dá)甲港;

故答案為：南偏西30。；15.

【變式訓(xùn)練2].如圖，貨輪航行在。處發(fā)現(xiàn)燈塔A在南偏東60。方向（即燈塔A的方位角，記為射線。4）,

同時(shí)發(fā)現(xiàn)客輪B和海島C分別在北偏東30。方向、西北（即北偏西45。）方向.

（1）在圖中分別畫出表示客輪8和海島C方向的射線02,OC；（要在圖中標(biāo)記度數(shù)，不寫作法）

（2）貨輪在。處發(fā)現(xiàn)一艘漁船。，己知NAOD的補(bǔ)角是NAOD余角的6倍，通過計(jì)算寫出漁船。的方位角.

【答案】（1）見解析

⑵南偏西12?；虮逼珫|48°

【分析】本題考查方位角以及余角補(bǔ)角的計(jì)算，

（1）根據(jù)方向角的意義畫出表示客輪3和海島C方向的射線08,OC；

（2）根據(jù)題意列出方程180。-NA8=6（90。-NAOD）,解方程求得NAOD,進(jìn)而根據(jù)方向角的定義，即

可求解.

【詳解】（1）解：如圖.OB,OC即為所求；

（2）由題意可得180?！?400=6（90。一/400）.

解得4400=72。.

72°-60°=12°,

或180°-60°-72°=48°.

所以漁船D的方位角是南偏西12°或北偏東48°.

【變式訓(xùn)練31.如圖，在觀測站。測得漁船A在它的東北方向上，為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效

益，漁船8與漁船A位于不同的捕漁區(qū)，在觀測站。觀看兩艘漁船的視角=110。，求漁船B相對觀

測站。的方向.

【答案】漁船2在觀測站。的北偏西65。的方向上

【分析】本題主要考查了方向角的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方向角的表示方法.

【詳解】解：團(tuán)在觀測站。測得漁船A在它的東北方向上，

I3NAON=45°,

回ZBON=ZAOB-ZAON=110°-45°=65°,

回漁船B在觀測站。的北偏西65。的方向上.

類型四、鐘面角

例.用方程研究鐘表中的數(shù)學(xué)問題：

⑴求時(shí)鐘在12點(diǎn)25分時(shí)分針與時(shí)針之間的夾角的度數(shù)；

⑵從0時(shí)至1時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針經(jīng)過多少分鐘成60。的角？

⑶從0時(shí)至12時(shí)，鐘表上的秒針與時(shí)針共有幾次成60。的角？

【答案】（1）時(shí)鐘在12點(diǎn)25分時(shí)分針與時(shí)針之間的夾角的度數(shù)為137.5°；

⑵從0時(shí)至1時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針經(jīng)過*分鐘或答分鐘成60。的角；

⑶從0時(shí)至12時(shí)，鐘表上的秒針與時(shí)針共有1438次成60。的角.

【分析】（1）因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30。，找出時(shí)針和分針之間相差

的大格數(shù)，用大格數(shù)乘30。即可；

（2）分①當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，②當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)兩種情況列出方程解答即可；

（2）在12個(gè)小時(shí)內(nèi)，秒針相對于時(shí)針走了60x12-1=719圈，所以秒針與時(shí)針共有719x2=1438次成60。的

角；

本題考查了鐘表分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度計(jì)算和一元一次方程，在鐘表問題中，理解時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系，

分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是時(shí)針的12倍，分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）回時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，

團(tuán)鐘表上12時(shí)25分鐘時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)0.5。乂25=12.5。，分針在數(shù)字5上，

團(tuán)鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30。，

回12時(shí)25分鐘時(shí)分針與時(shí)針的夾角5x30°-12.5°=137.5°,

答：時(shí)鐘在12點(diǎn)25分時(shí)分針與時(shí)針之間的夾角的度數(shù)為137.5°；

（2）設(shè)從0時(shí)至1時(shí)，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針與分針成60。角，

①當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，6°x-0.5°x=60o,

解得：天=詈；

②當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)，6°x-0.5°x=360o-60o，

團(tuán)從0時(shí)至1時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針經(jīng)過針分鐘或：:分鐘成60。的角；

（3）在12個(gè)小時(shí)內(nèi)，秒針相對于時(shí)針走了60x12-1=719（圈），

回秒針與時(shí)針共有719x2=1438次成60°的角，

答：從0時(shí)至12時(shí)，鐘表上的秒針與時(shí)針共有1438次成60。的角.

【變式訓(xùn)練1】.探究實(shí)驗(yàn)：《鐘面上的數(shù)學(xué)》

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r(shí)針與分針在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學(xué)問題，

體會數(shù)學(xué)建模思想.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：

（一）觀察與思考：

⑴時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°,分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng).

⑵從3點(diǎn)整到3點(diǎn)20分，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

（二）操作與探究：

⑶若時(shí)間為2:30,則鐘面角為。（鐘面角是時(shí)針與分針?biāo)傻膴A角）.

（4）1點(diǎn)整到3點(diǎn)整之間，鐘面角為90。的情況有種.

（三）拓展延伸：

⑸晚上七點(diǎn)剛過，小強(qiáng)開始做數(shù)學(xué)作業(yè)，一看時(shí)鐘，發(fā)現(xiàn)此時(shí)時(shí)針和分針在同一直線上，他做完作業(yè)，八

點(diǎn)不到，此時(shí)，時(shí)針和分針又在同一直線上，則小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了多少時(shí)間？（直接寫出答案）

【答案】⑴0.5,6°

（2）120

（3）105

（4）4

⑸小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了答分鐘

【分析】本題主要考查了鐘面角、一元一次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)時(shí)針與分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和時(shí)

針與分針?biāo)纬傻膴A角列方程求解成為解題的關(guān)鍵

(1)鐘面總度數(shù)為360°，鐘面分為12個(gè)大格，每個(gè)大格分為5個(gè)小格,則時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)：30。+60=0.5°,

分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360。+60=6。；

(2)從3點(diǎn)整到3點(diǎn)20分走了20分鐘，根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6。，得出分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為120。；

(3)以時(shí)間2：00為起點(diǎn)，先計(jì)算時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)，再計(jì)算分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)減去時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

的度數(shù)求得鐘面角；

(4)設(shè)1點(diǎn)整到3點(diǎn)整之間經(jīng)過尤小時(shí)時(shí)針與分針的夾角為90。，列出方程式求得x的值，那么尤的個(gè)數(shù)為

幾，鐘面角為90。的情況就有幾種；

(5)小強(qiáng)做完作業(yè)時(shí)第二次時(shí)針和分針在同一直線上，求出此時(shí)的時(shí)間，即可求得小強(qiáng)做作業(yè)花的時(shí)間，

設(shè)每經(jīng)過y分鐘時(shí)針與分針在同一條直線，列出方程式求得y的值.

【詳解】(1)解：時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)3展0°=0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)3嗎60°-=6。.

6060

故答案為：0.5,6°.

(2)解：20x6°=120°.

故答案為：120.

(3)解：時(shí)間為2:30,則鐘面角為30x6°—2x30°-30x0.5°=105°.

故答案為：105.

(4)解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)鐘面角為90。，

當(dāng)時(shí)間在1點(diǎn)整到2點(diǎn)整之間，鐘面角為90。的情況：

①360x=30x+90,解得：x

②360x=30x+270+30,解得：尤=予，

所以時(shí)間分別為54+1=三15，子10+1=日21；

當(dāng)時(shí)間在2點(diǎn)整到3點(diǎn)整之間，鐘面角為90。的情況：

①360x=30x+90+60,解得：彳=/

(2)360%=30%+270+60,解得：%=1,

所以時(shí)間分別為：5+2=.27,1+2=3；

綜上所述，當(dāng)時(shí)間為?、鼻、彳、3點(diǎn)整時(shí)，鐘面角為90。；

故1點(diǎn)整到3點(diǎn)整之間，鐘面角為90。的情況有4種.

故答案為：4.

(5)解：設(shè)每經(jīng)過y分鐘時(shí)針與分針在同一條直線，

第一次時(shí)針與分針在同一條直線，小強(qiáng)開始做作業(yè)：6y=0.5y+180,解得了=*，

第二次時(shí)針與分針在同一條直線，小強(qiáng)結(jié)束做作業(yè)：6j=0.5y+360,解得：>=音，

所以友-迎360....

=—(分鐘),

1111

所以故小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了于分鐘.

【變式訓(xùn)練21.如圖1,已知點(diǎn)A,3在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-20和10,若有一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A出

發(fā)，以每秒1.5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

A,B

0~10

圖1圖2

⑴解決問題：

若點(diǎn)”為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長度是否發(fā)生變

化？請說明理由；

(2)探索問題：

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng).

①在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)。表示的數(shù)為.

②求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。相距3個(gè)單位長度？

⑶知識遷移：

如圖2,若線段與03分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，ZAOB=60°,在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過程

中，經(jīng)過分鐘后，的度數(shù)第一次等于126。

【答案】⑴線段的長度不發(fā)生變化，理由見解析

2?

⑵①L5f-20,10-3?；②6秒，或不秒

(3)12

【分析】(1)先求出AB的長，根據(jù)中點(diǎn)定義得到=NP=；BP,再根據(jù)=即得；

⑵①根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為-20,點(diǎn)尸從點(diǎn)A以每秒1.5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)P

表示的數(shù)為：1.5/20,根據(jù)點(diǎn)8表示的數(shù)為10,點(diǎn)。從點(diǎn)8以每秒3個(gè)單位長度的速度沿著數(shù)軸向左勻

速運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)。表示的數(shù)為：10-3/；②點(diǎn)尸與點(diǎn)。相距3個(gè)單位長度，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)

。左側(cè)時(shí)，10-37-(1.57—20)=3,解得，=6,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，1.5?-20-(10-3?)=3,解得/=?,；

⑶設(shè)經(jīng)過尤分鐘后，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角—493從60。第一次轉(zhuǎn)到126。，得到6x+60-30x二=126,

60

解得尤=12.

本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，鐘面角.解題的關(guān)鍵是熟練掌握動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，兩點(diǎn)間的距離公式，時(shí)針

與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和轉(zhuǎn)過的角度，列方程解答.

【詳解】(1)如圖，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長度不發(fā)生變化，理由如下：

AMPNB

I1II1.1Il.lIIl.lIII1|>

-22-20-18-16-14^12-10-8-6-4-2024681012

回點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-20和10,

回46=10-(-20)=10+20=30,

回點(diǎn)M為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，

11

SMP^-AP,NP=-BP,

22

0MN=MP+NP=g(AP+BP)=；AB=l5,

回點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長度不發(fā)生變化；

(2)①回點(diǎn)A、8在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-20和10,

團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)尸表示的數(shù)為：1.57-20,點(diǎn)。表示的數(shù)為：10-3r,

故答案為：1.5^-20,10-3/；

②點(diǎn)尸與點(diǎn)。相距3個(gè)單位長度，分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。左側(cè)時(shí)，如圖，

10-3/1(1.51—20)=3,

解得f=6,

APQB

IIJIl[l?II??I11A

-22-20-18-16-1^12-10-8-6-4-2024681012

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，如圖，

1.57-20-(10-3/)=3,

解得小年22,

AQPB

IJIIJIIJIIIIIII111A

-22-20-18-16-1^12-10-8-6-4-2024681012

綜上所述，運(yùn)動(dòng)6秒或2告2秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。相距3個(gè)單位長度；

(3)時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)36曹00=30。，分針每分鐘轉(zhuǎn)魯360°=6。，

設(shè)經(jīng)過x分鐘后，/4O3的度數(shù)第一次等于126。，

X

貝IJ6X+60—30x±二126,

解得x=12,

團(tuán)經(jīng)過12分鐘后，—493的度數(shù)第一次等于126。.

故答案為：12.

【變式訓(xùn)練3】.鐘面上的數(shù)學(xué)

【基礎(chǔ)知識】

鐘表上，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是30。.

（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是0.5。，0.5。等于多少分？等于多少秒？

【問題初探】

（2）在某一天的5點(diǎn)到6點(diǎn)之間（包括5點(diǎn)整和6點(diǎn)整），假設(shè)這一時(shí)刻是5點(diǎn)x分.

①求時(shí)針和分針重合時(shí)尤的值；

②求用含有x的代數(shù)式表示時(shí)針與分針的夾角.

【類比分析】

（3）小明17點(diǎn)多鐘開始做作業(yè)，他家墻上時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是90。，他做完作業(yè)后還是當(dāng)天17點(diǎn)

多鐘，且時(shí)針和分針的夾角還是90。，求小明做作業(yè)用了多少分鐘.

【學(xué)以致用】

（4）在某一天5點(diǎn)15分到5點(diǎn)16分之間，當(dāng)秒針是時(shí)針和分針的角平分線時(shí)，請求出此時(shí)的時(shí)間.

【答案】（1）30分，1800秒；（2）x=*,（150-5.5力?；颍?.5X-150）。；（3）答分；（4）5點(diǎn)15分三翳

秒

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，鐘表時(shí)針與分針的夾角以及列代數(shù)式表示式.

（1）根據(jù)分秒的轉(zhuǎn)化進(jìn)率求解即可.

（2）①根據(jù)題意，列出關(guān)于x的一元一次方程即可求解.②分兩種情況，當(dāng)分針沒有超過時(shí)針時(shí)和當(dāng)分

針超過了時(shí)針時(shí)求解即可.

（3）設(shè)小明開始寫作業(yè)的時(shí)間是17點(diǎn)。分，設(shè)小明寫完作業(yè)的時(shí)間是17點(diǎn)6分，分別計(jì)算出a,b的值，

然后相減即可.

（4）設(shè)當(dāng)秒針是時(shí)針和分針的角平分線時(shí)時(shí)間為5點(diǎn)15分y秒，列出關(guān)于V的一元一次方程解題即可.

【詳解】（1）0.5。=（0.5x60）=30分，0.5°=（0.5x3600）'=1800秒；

（2）①6x=0.5x+150

w300

解得：x=幣-;

②當(dāng)分針沒有超過時(shí)針時(shí)，

夾角為（0.5X+150—6尤）。=（150—5.5尤）。

當(dāng)分針超過了時(shí)針時(shí)，

夾角為(6x-150—0.5x)。=(5.5x-150)°

綜上所述，時(shí)針和分針的夾角為。50-5.5力?；颍?.5x-150）°

（3）設(shè)小明開始寫作業(yè)的時(shí)間是17點(diǎn)。分，

根據(jù)題意得：150-5.5。=90,

解得：.=用

設(shè)小明寫完作業(yè)的時(shí)間是17點(diǎn)b分,

根據(jù)題意得：5.56-150=90,

解得：匕=答

480120360八

???完成作業(yè)的時(shí)間為不———=—分;

（4）設(shè)當(dāng)秒針是時(shí)針和分針的角平分線時(shí)時(shí)間為5點(diǎn)15分'秒,

根據(jù)題意得：0.5x^+30x5+15x--6^=6y-3x30-6x^,

60260

包汨29700

解,…=E

故此刻的時(shí)間是：5點(diǎn)15分2三97箸00秒?

類型五、角的大小比較

例.對于如圖所示的各個(gè)角，用"填空:

(1)ZAOBZAOC；

(2)ZDOBNBOC；

⑶NBOCZAOD；

(4)ZAODNBOD.

【答案】(1)<

⑵〉

(4)>

【分析】本題主要考查了角的大小比較，根據(jù)圖形和角之間的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】（1）解：由題意得，ZAOB<ZAOC,

故答案為：<;

（2）由題意得，ADOB>ZBOC,

故答案為：>;

（3）由題意得，ZBOC<ZAOD,

故答案為：<；

（4）由題意得，ZAOD>ZBOD,

故答案為：>.

【變式訓(xùn)練11如圖所示，寫出圖中符合下列條件的角.

⑴能用一個(gè)大寫字母表示的角.

⑵以8為頂點(diǎn)的角.

⑶圖中所有小于平角的角.

（4）若Nl=20.32。，Z2=20°30,20\請比較N1與N2的大小.

【答案】（1），A，NC

（2）Z1（或ZABD）,Z2（或/￡>3C）ZABC.

⑶NA,ZC,Zl,N2,ZABC,Z3,Z4

⑷N1<Z2

【分析】（1）根據(jù)角的表示即可得解；

（2）根據(jù)角的表示即可得解；

（3）根據(jù)平角定義及角的表示即可得解；

（4）將一1、N2的大小化為同單位后比較即可.

【詳解】（1）解：因?yàn)橛皥D中以A,C為頂點(diǎn)的角各只有一個(gè)，

所以能用一個(gè)大寫字母表示的角有-4，NC.

（2）解：以8為頂點(diǎn)的角有3個(gè).分別為N1（或Z2（或SBC）^ABC.

（3）解：題圖中所有小于平角的角有-4,NC,Zl,Z2,ZABC,N3,Z4.

（4）解：20.32。=20。19'12"<20。30'20",

所以Nl</2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的表示方法，熟知角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示.其

中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分

不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角.角還可以用一個(gè)希臘字母（如/a,4,々、…?）表示，或用阿拉伯

數(shù)字（N1,N2...）表示?

【變式訓(xùn)練21.如圖，平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)A,B.應(yīng)用量角器、圓規(guī)和帶刻度的直尺完成下列畫圖或測量：

*

B

A

（1）經(jīng)過A,B兩點(diǎn)畫直線，寫出你發(fā)現(xiàn)的基本事實(shí)；

（2）利用量角器在直線A2一側(cè)畫NABC=40。；

（3）在射線BC上用圓規(guī)截?。ūＡ糇鲌D痕跡）；

（4）連接AD,取中點(diǎn)E,連接BE；

（5）通過作圖我們知道.AB=BD,AE=DE,觀察并測量圖形中的角，寫出一組你發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)角之間可

能存在的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）畫圖見解析，基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線；（2）畫圖見解析；（3）畫圖見解析；（4）畫圖

見解析；（5）ZBDA=ZBAD

【分析】（1）直接過AB兩點(diǎn)畫直線即可；

（2）用量角器直接畫圖即可；

（3）以B為圓心，BA長度為半徑畫圓即可；

（4）用帶刻度的直尺量出AD長度取中點(diǎn)即可；

（5）用量角器測量各個(gè)角度大小即可；

【詳解】（1）畫圖如下，基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線

（2）畫圖如下；

（3）畫圖如下；

（4）畫圖如下；

（5）不唯一，正確即可.

【點(diǎn)睛】本題考查線段和角度作圖，熟練使用量角器、圓規(guī)和帶刻度的直尺是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3].(1)35。等于多少分？等于多少秒？

(2)38。15,和38.15。相等嗎？如不相等，哪一個(gè)大？

【答案】U)2100分，126000秒;(2)不相等,38。15'大.

【分析】(1)利用1。=60，=3600"即可得出答案；

(2)將38.15°,轉(zhuǎn)化為38。9、進(jìn)而比較得出答案.

【詳解】解：(1)35°=(35x60)分=2100分

35°=(35x3600)秒=126000秒；

(2)回0.15°=(0.15x60)'=9'

回38.15°=38°9、

回38°15'>38°9'.

團(tuán)不相等，38。15'大.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了度分秒的轉(zhuǎn)換，正確轉(zhuǎn)化度分秒是解題關(guān)鍵.

類型六、角的和差

例.將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，兩直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,已知NC4D=22。.

(1)求ZBAE的度數(shù).

(2)現(xiàn)將三角尺ABC固定不動(dòng)，把三角尺ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。度(0°<。<60°),當(dāng)ZCAD=JZBAE時(shí),

4

求。的值.

【答案】(1)44￡=158。

(2)a=36°

【分析】本題考查了角度之間的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出角度之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)先求出NC4E=NZME—NG4T)=68。，再根據(jù)=即可解答；

(2)根據(jù)/04￡>+/^40=90。，ZBAE=ZBAD+ZZME^,得出/CW+Z&4￡1=180。，結(jié)合NCA。=L/3AE,

4

即可解答.

【詳解】(1)解：fflZG4￡>=22°,

團(tuán)ZCAE=ZDAE-ZCAD=90°-22°=68°,

團(tuán)2R4石=NB4C+NC4E=900+680=158。；

(2)解：團(tuán)NC4D+NBAZ)=90。，ZBAE=ZBAD+ZDAE,

ZCAD^-ZBAE=ZCAD^ZBAD^-ZDAE=180°9

^\ZCAD=-ZBAE,

4

0ZBAE=4ZC4￡>,

團(tuán)ACAD+/BAE=ACAD+4ZG4Z)=180°,

解得：ACAD=36°,

團(tuán)a=36°.

【變式訓(xùn)練1】.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生進(jìn)行操作探究，用一副三角板(其中NABC=NACB=45。，

NBAC=NEDF=90°,NDFE=30°,"EF=60。)按如圖1所示擺放，邊BC與EP在同一條直線"N上

(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合).如圖2,將三角板ABC從圖1的位置開始繞點(diǎn)C以每秒5。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊BC

與邊跖重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角板ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

⑴當(dāng)，為何值時(shí)，C4平分/Db?

⑵當(dāng)f為何值時(shí)，ZACF=3ZBCD?

【答案】⑴f為22

⑵7為22.5秒或24.75秒

【分析】本題考查了三角板有關(guān)的角度計(jì)算，角平分線的定義，

(1)根據(jù)角平分線的定義可得=從而得到三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度，再結(jié)合三角板A5c運(yùn)

動(dòng)的速度即可解題；

(2)根據(jù)NACF=3/3CD出現(xiàn)的情況分類討論，再根據(jù)NACF=3N3CD將/BCD與"CF-NACB的結(jié)

果關(guān)聯(lián)即可求解.

【詳解】⑴解：如圖1,

B

ZACF=-ZDCF=-x60°=30°,

22

，旋轉(zhuǎn)的角度為180。-45。-30。=105。，

.?1=105+5=21(秒)，

答：當(dāng)/為21時(shí)，C4平分/OCF.

(2)解：由題可知：當(dāng)NACF=3/8CD時(shí)會出現(xiàn)以下兩種情況:

①如圖2,

由圖可得：

ZACF-Z.BCD=(ZDCF-ZACO)-(ZACB-ZACD)=ZDCF-ZACB=60°-45°=15°,

又：ZACF=3ZBCD,

3ZBCD-/BCD=15°,NBCD=7.5°,

二旋轉(zhuǎn)的角度為180。-60。-7.5°=112.5°,

.,"=112.5+5=22.5(秒)，

②如圖3,

由圖可得：

ZACF+ZBCD=(NDCF-ZACD)+(ZACD-ZAC5)=NDCF-ZACB=60°-45°=15°,

又：ZACF=3NBCD,

3ZBCD+Z.BCD=15°,ZBCD=3.75°,

旋轉(zhuǎn)的角度為180°-60。+3.75。=123.75°,

.1=123.75+5=24.75（秒），

答：當(dāng)才為22.5秒或24.75秒時(shí)，ZACF=3ZBCD.

【變式訓(xùn)練2】.閱讀理解

線段類多解問題：已知，點(diǎn)4、B、C在同一直線上，且鉆=7,BC=3,求AC的長.

解：①如圖1當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)AC=AB+3C=7+3=10

②如圖2當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)AC=AB-BC=1-3=4

綜上所述AC=10或4.

⑴類比上述過程解決類多解問題：同一平面內(nèi)，ZAOB=70°,ZBOC=30°,求NZOC的度數(shù).

⑵在（1）的條件下，若是—AOC角平分線，ON是—BOC角平分線，求NMON的度數(shù).

⑶若同一平面內(nèi)NAO3=尤，ZBOC<ZAOB,是4OC角平分線，ON是23OC角平分線，直接用含

x的式子表示出ZMON.

【答案】（1）35。

⑵100°或40。

【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)OC在—AO3的外部時(shí)，ZAOC=ZAOB+ZBOC；當(dāng)OC在NAQB的內(nèi)

部時(shí)，ZAOC=ZAOB-ZBOC,進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)OC在的外部時(shí)，ZMON=ZMOC-ZNOC■,當(dāng)OC在—AOB的內(nèi)部時(shí),

ZMON=ZMOC+ZNOC,進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）同第（2）問，分兩種情況討論，分別進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查了角的計(jì)算、角的大小比較、角平分線的定義等有關(guān)內(nèi)容，關(guān)鍵在于要分兩種情況討論，不要遺

漏.

【詳解】（1）解：當(dāng)OC在—405的外部時(shí)，如圖1,

&78

ZAOC=ZAOB+Z.BOC=70°+30°=100°；

當(dāng)OC在的內(nèi)部時(shí)，如圖2,

ZAOC=ZAOB-NBOC=70°-30°=40°,

綜上所述，—49。的度數(shù)為100?；?0。；

(2)解：如圖1,

QOM是4OC角平分線，QV是230。角平分線,

ZMOC=-ZAOC=50°,ZNOC=-ZBOC=15°,

22

ZMON=ZMOC-ZNOC=35°；

如圖2,

QOM是/AOC角平分線，QV是/3OC角平分線,

ZMOC=-ZAOC=20°,ZNOC=-NBOC=15°,

22

ZMON=ZMOC+ZNOC=35°；

綜上所述，/MON的度數(shù)為35。；

(3)解：如圖1,

BNqB

QOM是NAOC角平分線，ON是N3OC角平分線,

:.ZMOC=-ZAOC,ZNOC=-ZBOC,

22

AMON=ZMOC-ZNOC=-ZAOC--ZBOC=-ZAOB=-x-