2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二年級(jí)上冊(cè)冊(cè)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期七校聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題：共8小題，每小題5分.在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，直線x-底-1=0的傾斜角等于（）

7T7T27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

L'L

2.若向量"=。,—1,2）,6=（2,1,-3）,則2a+b=（）

A.V7B.2V2c.3D.3V2

3.在V4SC中，已知4（3,2,6）,5（5,4,0）,C（0,7,1），點(diǎn)。為線段48的中點(diǎn)，則48邊

上的中線8的長為（）

A.6B.4VIC.V42D.7

4.已知圓G：X?+J?—2x—4y—4=0與圓C,：x?+y2+4x—10歹+4=0相交于

兩點(diǎn)，則兩圓公共弦所在直線的方程為（）

A.3x—3y—4=0B.3x-3y+4=0c.xy—3=0

D.x+j+3=0

5.設(shè)橢圓加/+町2=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線丫2=8%的焦點(diǎn)相同，離心率為g,則此橢圓

的方程為（）

A.廿+且=1B.y2+4=ic.丘+^=1D.久2十片=1

16127316123

6.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料

等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線

型塔筒，該塔筒是由離心率為癡的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已

知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為66cm，下底直徑為9/cm，

喉部（中間最細(xì)處）的直徑為8cm,則該塔筒的高為（)

A.18cmB.18V2cm

2727后

C.D.-----cm

22

7.如圖①，在Rt448C中，48=28。=6,/48。=90°,￡,尸分別為4瓦/。上的點(diǎn),

EF//BC,

AE=2EB.如圖②，將△/￡/沿ER折起，當(dāng)四棱錐/-的體積最大時(shí)，點(diǎn)￡到平面

NCF的距離為（）

A,巫n2瓜

D.------

33

D.此

C.46

2

22

8.已知橢圓G：=+5=1（。>6>0）與圓G：/+/=〃,若在橢圓C］上存在點(diǎn)P,過尸作圓

ab

TT

的切線E4,PB,切點(diǎn)為/,3使得則橢圓￡的離心率的取值范圍是（）

A.（0,g］,,［曰［）D.（0,日］

二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.已知圓C：（x-1）2+（了-2）2=25,直線/：（2M?+l）x+（?w+l）y-7M2-4=0.則以下命題正確的

有（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（3,0）B.y軸被圓C截得的弦長為46

C.直線/與圓。恒相交D.直線/被圓C截得弦長最長時(shí)，/的方程為x+2y-5=0

10.已知片，耳為雙曲線c：片-/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為雙曲線c上任意一點(diǎn)，貝I］（）

3

A.\PF}\-\PF2\=243B.雙曲線C的離心率為竿

C.雙曲線C的漸近線方程為y=±gxD.|西+麗2卜2g

11.如圖，在棱長為1的正方體/8CD-4與。2中，M,N分別是4S，4D的中點(diǎn)，P為

線段GA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.尸河,80一定是異面直線

B.存在點(diǎn)尸，使得四V，尸拉

C.直線NP與平面3cq4所成角的正切值的最大值為行

D.過M,N,P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為地

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量2=(2,1,1),^=(0,-1,-1)，若0+4)//0-3),則4=.

13.已知點(diǎn)尸(6,%)在焦點(diǎn)為尸的拋物線。：/=2/(2>0)上，若忸-=￡,貝U

P=.

14.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨

匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)入(入>0,且入Ml),那么點(diǎn)

P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)尸到4(2,0),5(-2,0)的距離比為b，則點(diǎn)P

到直線Z：2V2x-y-V2=0的距離的最大值是.

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知兩直線4:x+歹+2=0和4：3x-2y+1=0的交點(diǎn)為p.

(1)直線/過點(diǎn)。且與直線x+3〉+1=0平行，求直線/的一般式方程；

(2)圓C過點(diǎn)(1,0)且與4相切于點(diǎn)。，求圓C的一般方程.

16.(15分)

如圖，平行六面體48co中，CB±BD,ZQCD=45°,ZQCB=60°,

CC,=CB=BD=\.

(1)以向量｛而，而，無;｝為基底表示向量兩，求對(duì)角線的長度；

(2)求異面直線CA］與D4所成角的余弦值.

17.(15分)

己知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1),長軸長為2夜.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，求弦長

(3)若直線/與橢圓相交于兩點(diǎn)，且弦CD的中點(diǎn)為尸［gg］,求直線/的方程.

18.(17分)

在三棱錐尸。中，平面尸/C_L平面4BC,AP/C為等腰直角三角形，PALPC,ACLBC,

BC=2AC=4,M為4s的中點(diǎn).

⑴求證：ACLPM-,

(2)求平面CPA與平面PAB所成角的余弦值;

(3)在線段展上是否存在點(diǎn)N使得平面平面尸/5?若存在，求出簧的值，若

不存在，說明理由.

19.（17分）

22

已知/,3分別是雙曲線C:1—4=l(a>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(20,n)是雙曲線

ab

C上的一點(diǎn)，直線PN,PB的斜率分別為k[,k『且桃2=|48|=4.

(1)求雙曲線c的方程；

(2)已知過點(diǎn)(4,0)的直線/：%=叼+4,交C的左，右兩支于。，￡兩點(diǎn)(異于4B1

(i)求機(jī)的取值范圍；

(ii)設(shè)直線與直線BE交于點(diǎn)°,求證：點(diǎn)。在定直線上.

高二數(shù)學(xué)答案

選擇題:

題號(hào)1234567891011

答案ADABCDBCCDBDAD

填空題:

12.-113.314.3V2+2V3

15（1）直線/與直線x+3y+l=0平行，故設(shè)直線/為x+3y+G=0,（1分）

x+y+2=0x--l

聯(lián)立方程組（2分）解得（3分）

3尤一2了+1=0，=-1

直線（：x+y+2=0和/2：3x-2y+l=0的交點(diǎn)2（—1,一1）.

又直線/過點(diǎn)P,貝卜l-3+G=0,解得C|=4,（4分）

即直線/的方程為x+3y+4=0.（5分）

（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4+8-方"，"分）

4：x+y+2=O的斜率為一1,故直線CP的斜率為1,（7分）

1

a=——

（-l-a）2+（-l-&）2=r26

（9分）解得6=-1，

由題意可得<（l-a）2+（0-^）2=r2,（11分）

0

二125

、。+1

18

故所求圓的方程為卜+/+'+￡）=!|-（12分）

114

化為一般式：^2+y2+jx+-y-j=0.（13分）

16（1）以向量｛方,而，風(fēng)｝為基底，則有國=方+瓦?+標(biāo)M區(qū)+而+西，（2分）

因?yàn)镃B=3D=1,CBLBD,以三角形BCD為等腰直角三角形，所以。0=逝，（3分）

又因?yàn)镃G=C3=1,NGCS=60。，所以三角形GC5為邊長為1的等邊三角形，（4分）

鬲2=（CB+CD+cc^y^CB2+CD2+~CC^+2CB-CD+2CB-~CC1+2CQ-CD（5分）

=l+l+2+2xlxV?x^-+2xlxlx—+2xlx>/2x^-=9,（6分）

222

所以|鬲|=3,（7分）所以Ic4r3,即對(duì)角線C4的長度為3.（8分）

（2）因?yàn)镋=^+而+可，

\CAX\=3,

DA=CB，\DA\=\CB\=1，（9分）

所以兩■DA=兩-CB^（CB+CD+CC\）-CB^'CB2+CD-CB+CCl-CB（11分）

B]5

=1+V2xlx——+lxlx—=—,（12分）

222

所以cos<E,萬彳>=上i也=g（14分）

1'\CA^\DA\6

即異面直線C4與D4所成角的余弦值為（15分）

6

22

17（1）由題意設(shè)橢圓。的方程為4+3=1伍>6>0）,

因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0,1）所以b=l（1分）

又因?yàn)殚L軸長為2血，a=V2（3分）

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+/=1.（4分）

2

（2）由已知設(shè)直線/的方程為y=x-l,設(shè)/（X3/3），*與乂）.

將直線歹=x-l代入土+/=1,（5分）得3%2—44=0,（6分）

2

所以％3+%4=g，X3X4=0，（7分）

222

\AB\=Jl+kyl（x}+x4）-4X3X4=Vl+1—4x0=殍.（9分）

或解出交點(diǎn)坐標(biāo)

（3）法一:設(shè)C（X]，M）,Z）（X2，%）,則CD中點(diǎn)是尸仁,司，

于是七^=?2=9（10分）即玉+%=弘+%=1,（11分）

22

由于"在橢圓上，故5+盧=吟+貨=1,（12分）

兩式相減得到上三+,一/=0,即，*-+%）（必一力）=o,a?分）

22

故±上2+（）=0,顯然毛+超W0,于是以2匹=_；=魚》,（14分）

2Xj-x22

故直線CD的方程是=整理得2x+4y-3=0（15分）

2

經(jīng)檢驗(yàn)，直線2x+4y-3=0與雙曲線、+r=1有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.（未檢驗(yàn)，不扣

分）

法二：①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，CA的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意.（10分）

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-；=k（x-；）,（11分）

設(shè)C5,必則CD中點(diǎn)是于是五爭=4，即再+%=1，（12分）

卜2

彳+y=i13

聯(lián)立彳2，化簡得（2/+i）f—（2左2—2后）x+（—左2—左——）=0,（13分）

了-；=場-：）22

、乙乙

由于△＞（）,根據(jù)韋達(dá)定理，M+”2k：20=］解得k=-《（14分）

122k2+12

故直線CD的方程是=1-￡|,整理得2x+4y-3=0（15分）

18（1）若。為ZC中點(diǎn)，連接M。、PD,又M為AB的中點(diǎn)MD//3C,（1分）

由/C_L8C,則A?_L/C,（2分）

又△尸/C為等腰直角三角形，

PALPC,有PDL/C,（3分）

由A?cPD=D,則/C_L面尸MD,（4分）

:加匚面戶皿，AACLPM.（5分）

（2）由（1）可構(gòu)建以。為原點(diǎn)，152,15面歷為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,

A(l,0,0),5(-1,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),(6分)

則。=(1,0,1),Z?=(-1,0,1),第=(1,-4,1),(7分)

若〃=（x,y,z）為面尸48的一個(gè)法向量，

AP?力=-x+z=0-1

則一，令z=l,即拉=（1,不1）,

BP-n=x-4y+z=02

若〃i二區(qū),%，4）為面尸4C的一個(gè)法向量，

AP?a=一匹+4=0_

則〈一.，令％=1，即々=(0,1,0),(9分)

CP?%=玉+4=0

（10分）

則平面C7〃與平面尸42所成角的余弦值為L（11分）

3

-PN

（3）若存在N使得平面CNM1平面PAB，目---=4,0W4W1,

PB

則N(—44尢1—㈤，M(0,2,0),(12分)CN=(1—444,1—㈤，CM=(1,2,0),(13分)

若m=（a,b,c）是面CNM的一個(gè)法向量,

貝函.方=（）（；）

[Jl_4a+446+l_lc=0—2-62

,令6=1,則加=（—2,1,—-）,（14分）

CM?玩=〃+2b=01-A

-----12-621

???冽7=-2+—+--------=0,（15分）可得力=—.（16分）

21-A9

PN1

???存在N使得平面CNM_L平面尸此時(shí)——二一.（17分）

PB9

19（1）由題意可知4-0）,5（〃,0）,因?yàn)閨45|=2。=4,所以L=2.（1分）

,2

nnn2n

因?yàn)镻（2后,〃），桃=----------------------------------------—=4,（2分）得“2=16,

20+2272-2（2A/2）2-44

又因?yàn)槭?0,〃）在雙曲線上，則

所以〃=16.（4分）

22

所以雙曲線C的方程為土-匕=1.（5分）

416

（2）（i）由題意知直線/的方程為工=叩+4,

x2

聯(lián)立:416,（6分）化簡得（4m2-1）/+32叼+48=0,