2024-2025學年高一年級上冊數學期末考復習：二次函數與一元二次方程、不等式（附答案解析）

題型1一元二次不等式的求解......................................4

題型2含參一元二次不等式的求解...................................6

題型3三個二次之間的關系.........................................8

題型4一元二次不等式恒成立問題..................................9

題型5二次函數的圖象............................................12

題型6其它不等式求解............................................14

團知識清單團

1.一元二次不等式的概念及解法

2.含參一元二次不等式的解法

3.簡單分式不等式的解法

4.二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用

5.一元二次不等式的實際應用

如識歸納

1.零點

一般地，對于二次函數y=ax2-\-bx+c,我們把使ax2-\-bx+c=Q的實數x叫

做二次函數y=a^+bx+c的零點.

2.三個“二次”的關系

A=b2-4acJ>0J=0J<0

二次函數y=ax2+II二乂

bx+c(〃>0)的圖象修修出攵

aX

2

一元二次方程ax有兩個相等的實數

有兩個不相等的實

Q沒有實數根

bxc—0(>0)根

數1艮XI,X2(X1<X2)X1=X2=—e

的根

ax1+bx~\~c>0(<7>0)[%存音｝

{X\X<X1或X>X2}R

的解集

ax1-\~bx~\-c<0(<7>0)

{X\X1<X<X2}00

的解集

3.分式不等式

⑴公>0(<。)=漱)g(x)>0(<0)?

(2)然沙&0)=危)g(x)知仁0)且g(x)和.

4.簡單的絕對值不等式

(1)|%|>Q(Q>0)的解集為(一00,~a)U(a,+oo).

(2)|X|<〃(Q>0)的解集為(一〃，a).

技巧總結

____________________________J

1.零點不是點，而是函數的圖象與X軸交點的橫坐標.

2.若二次項系數為正數的不等式對應的一元二次不等式能因式分解，可直接

利用“大于取兩邊，小于取中間”的方法得到不等式的解集.

3.不等式的解集必須寫成集合的形式，若不等式無解，則應說解集為空集.

4.解不含參的一元二次不等式的步驟

（1）化標準.通過對不等式變形，使不等式的右側為0,使二次項系數為

正.

（2）判別式.對不等式的左側進行因式分解，若不能分解，則計算對應方

程的判別式.

（3）求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程無實數

根.

（4）畫草圖.根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖.

（5）寫解集.結合圖象寫出不等式的解集.

5.解含參的一元二次不等式

（1）不等式類型的討論：二次項系數a>0,a<Q,a=Q.

（2）不等式對應的方程根的討論：兩不同實根（/>0）,兩相同實根（4=0）,

無根（/<0）.

（3）不等式對應的方程根的大小的討論：X1>X2,X1=X2,X1<X2.

拓展修伸

二分法

(1)確定區(qū)間[a,b],驗證/(a)*/(。)<0,給定精確度.

(2)求區(qū)間(a,b)的中點xi.

(3)計算/(xi).

(4)若/(xi)=0,則xi就是函數的零點.

(5)若/(a)/(xi)V0,則令。=尤1(此時零點xoC(a,xi)).

(6)若/(xi)/。)<0,則令a=xi.(此時零點(xi,b).

(7)判斷是否滿足條件，否則重復(2)?(4).

題型1一元二次不等式的求解

【典例1】(2023秋?敘州區(qū)校級期末)不等式加+兄-1V0的解集為()

1-1

A.——VYVI}B.{%|%<一］或x>l}

C.{x\—1<xD.{x\x<-1^x>-}

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【解答】解：由2r+廠1<0,

即(2x-1)(x+1)<0,得一1<￥<$

所以不等式2f+x-1<0的解集為｛久|

故選：C.

【典例2】(2023秋?長寧區(qū)期末)不等式/-2x-3<0的解集為

【答案】｛x|-l<x<3｝

【分析】先求對應方程—-2X-3=0的實數根，再寫出不等式的解集

【解答】解：?.?方程f-2》-3=0的實數根是xi=-1,&=3；

...不等式/-2x-3<0的解集為｛無卜1<尤<3｝,

故答案為：｛x|-l<x<3｝

【典例3】(2024?濟寧開學)解下列不等式：

(1)3X2-6x+l>0；

2

(2)-2-x+2x+2>0；

(3)x2-6x+9<0；

(4)-^+2%-3>0.

【答案】⑴｛久阿〉日+1或％V—當+1｝.

(2)｛x|2-2V2<%<2+2V2｝.

(3)｛小=3｝.

(4)0.

【分析】根據一元二次不等式的解法求解即可.

【解答】解：(1)由3f-6x+l>0,得3(%-1)2>2,

所以％—1>日或％-1〈_曰，即%>,+1或％〈—白+1,

所以不等式3r-6x+l>0的解集為｛久阿〉曰+1或％V—夸+1｝；

(2)由一］久2+2為+2>0,Mx2-4x-4<0,

則（x-2）2<8,所以——2<2/，所以2—2魚4<2+2班,

所以不等式一品2+2%+2〉0的解集為｛久|2-2V2<%<2+2V2］；

(3)由f-6x+9W0,得(%-3)2<0,

因為(%-3)2>0,所以x=3,

所以不等式--6x+9<0的解集為｛x|x=3｝；

(4)由-r+Zx-BX),得--Zx+BVO,

因為x?-2x+3—(x-1)2+2>2,

所以不等式--+2x-3>O的解集為。.

題型2含參一元二次不等式的求解

【典例4】(2023秋?建鄴區(qū)期末)設。為實數，則關于x的不等式(g-2)(2%

-4)<0的解集不可能是()

A.(.2)B.(-oo,2)U(:,+8)

C.(2,+00)D.(2,：)

【答案】B

【分析】由已知結合二次不等式的求法對a進行分類討論，結合選項即可判

斷.

【解答】解：當。=0時，不等式可化為-2(2x-4)<0,即x>2,C符合；

當a<0時，不等式可為(%--)(x-2)>0,解得x>2或

aa

當a>0時，不等式可化為(x--a)(x-2)<0,

若〃>1,解得2<k<2,A符合；

a

當。=1時，解集為0；

當0<。<1時，解集為2<xV4。符合.

a

故選：B.

【典例5】(多選)(2024?金寨縣校級開學)對于給定實數跖關于x的一元二次

不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是()

A.{x\[x\x^-1}C.{x\-<x<-1]D.R

【答案】AB

【分析】先求出關于x的一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的兩根為士-1,

a

再對。進行討論，解不等式即可.

【解答】解：關于x的一元二次方程(?X-1)(x+1)=0的兩根為匕-1,

a

當。>0時，->-1,故不等式的解集為(-1,-),

aa

當a<0時，

①。=-1,貝嚀=—1,...不等式解集為{x|#-1},

②若則工〈一1,.?.不等式的解集為(-1,+oo)U(-00,與，

aa

③若oV-l,則工〉—1,?,.不等式的解集為(-00,-1)U(士+oo),

aa

故選：AB.

【典例6】(2024春?臨汾期末)(1)判斷命題"Vx?[-2,1],Vy￡[l,3],-8<x

-2yW-l”的真假,并說明理由;

(2)求關于x的不等式(3o+l)x-2/-2a的解集.

【答案】(1)真命題；

(2)①(-oo,。+1)U(2a,+oo),

②(-co,1)U(1,+oo),

③(-co,2a)U(tz+l,+oo).

【分析】(1)利用不等式的性質即可判斷；

(2)分類解不等式.

【解答】解：(1)-2<x<l,l<y<3,：.-6<-2y<-2,

:.-8<x-2y<-1,是真命題;

(2)%2-(3a+l)x+2屋+。>0=(x-2a)[x-(a+1)]>0>

①當a>l時，a+l<2a,此時不等式的解集為(-oo,tz+1)U(2a,+oo),

②當o=l時，2a=a+l,此時不等式的解集為(-oo,1)U(1,+oo),

③當aVl時，a+l>2a,此時不等式的解集為(-s,2a)U(a+1,+oo).

題型3三個二次之間的關系

【典例7]（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期末）若關于x的不等式％2+依+。>0的解集

是{小<-2或x>3},則a+>=（）

A.-7B.-6C.-5D.1

【答案】A

【分析】利用根與系數關系求得a,b,進而求得a+4

【解答】解：關于龍的不等式的解集是{x|x<-2或x>3},

所以關于x的方程x2+ax+b=Q的根為x=-2或x=3,

—2+3=-CL（CL=-1

—2X3=b（匕=—6’

所以a+b=~7.

故選：A.

【典例8】（多選）（2023秋?清遠期末）已知函數y=x2+m+〃（m>0）有且只有

一個零點，則下列結論正確的是（）

A.m2-n2<4

2

B.0<m+n-<4

C.不等式^+如汁幾VO的解集為0

D.若不等式—+陰光+幾<4的解集為（xi,及），則|%1-12]=4

【答案】ACD

【分析】由y=x1+mx+n（m>0）有且只有一個零點，得A=m2-4n=0,即

m2=4n>0,可判斷AC利用基本不等式和根與系數關系可判斷BD

【解答】解：因為丁=%2+加4+”（m>0）有且只有一個零點，

所以A=m2-4n=0,即m2=4n>0.

對于A,相2一〃244等價于〃2一4〃+4）0,顯然（〃-2）2》0,A正確.

對于8，m2+-=4n+->24n--=4,當且僅當n=LTH=四時，等號

nnyjn2

成立，B錯誤.

對于C,因為-4〃=o,所以不等式爐+根什幾vo的解集為0,C正確.

對于。，因為不等式f+znx+ziVd的解集為（xi,12）,所以方程丫+加計〃-4

=0的兩根為xi,xi,且xi+%2=-m,xixi=n-4,所以%—&I=

+%2)2—4Kl久2—Jm2_4(n_4)—V16=4,D正確.

故選：ACD.

【典例9](2023秋?三門峽期末)已知不等式ax2-3x+2>0的解集為｛x|x<l或

x>b｝

(1)求a,b的值；

(2)當cW2時，解關于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.

【答案】(1)a=l,b=2；(2)當c>2時，不等式的解集為｛x|2Vx〈c｝,當

c<2時，不等式的解集為｛x[c<x<2｝.

【分析】(1)由一元二次不等式與一元二次方程的關系，可得1和b是相應

方程的兩個實數根，由根與系數的關系建立關于。、6的方程組，解之即可得

到實數a、6的值.

(2)由(1)的結論，所求不等式即x2-(c+2)x+2c<0,再討論實數c與2

的大小關系，即可得到不等式在各種情況下的解集，得到本題答案.

【解答】解：(1)根據題意，不等式ar-Bx+ZX)的解集為｛x|xVl或x>。｝,

(lxb=-

即1、人是方程加-3X+2=0的兩根，則有，：，

1+b=-

Va

解得1=1?

(2)由(1)的結論，ci—1,b=2；

原不等式即%之-(c+2)x+2c<0；即(％-2)(x-c)<0,

方程％2-(c+2)%+2c=0有兩根，2和c,

當c>2時，不等式的解集為｛x|2VxVc｝,

當cV2時，不等式的解集為｛x|cV%<2｝,

綜合可得：當。>2時，不等式的解集為｛x|2V%Vc｝,

當c<2時，不等式的解集為｛x|cVxV2｝.

題型4一元二次不等式恒成立問題

【典例10](2024?吉林開學)“關于x的不等式(2a-3)--⑵-3)x+4N0

的解集為R"是VaV9"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由題意可得，①寸，不等式即為420恒成立；

②a行時，由AWO且2。-3>0求得。的范圍.再根據充分必要條件的定義

判斷即可.

【解答】解：當a=|時，不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4》0即為4三0,

恒成立，所以解集為R；

當a豐|時，由T（猊3）j（穌3）X4）得34

AP?K3.19

綜上，~<a<T，

即“關于x的不等式(2a-3)--(2a-3)x+4》0的解集為R"是“|VaV9

的必要不充分條件.

故選：B.

【典例11](2023秋?蕪湖期末)設函數/(x)=a^+bx+3,關于x的一元二次

不等式/(x)>0的解集為(-3,1).

(1)求不等式x2+ax+0>0的解集；

(2)若VxC[-l,3],f(x)Nmx2,求實數用的取值范圍.

【答案】(1){木<-1或x>2}；

(2){m\m<—1}.

【分析】(1)由已知，結合二次方程與二次不等式的轉化關系及方程的根與

系數關系可求a,b,代入到所求不等式，解二次不等式即可求解；

(2)由已知結合二次不等式恒成立與最值關系的轉化即可求解.

【解答】解：(1)因為一元二次不等式/(x)>0的解集為(-3,1),

所以-3和1是方程a^+bx+3=Q的兩個實根，

f-3+1=--

則《3a,解得。=T，b=-2,

-3x1=-

Ia

因此所求不等式即為：^-x-2>0,解集為｛x|x<-1或x>2｝；

(2)f(x)三mx2可化為(m+1)fW-2x+3,

當x=0時顯然成立；

當xWO時，m+l<-2^+3(》2對撫[-1,3]恒成立，

令「二qC(―8,-1]U[|/+00),貝!J"2+1W-2/+3產，

2

t=：即x=3時，(-2t+3t)min———所以Tn+1<-

即m的范圍為｛詞m<—1｝.

【典例12](2024春?綏化期末)已知函數丁=。%2+依+2.

(1)若對于任意xCR,不等式y(tǒng)>-l恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)當a<0時，解關于x的不等式y(tǒng)V(1-a)x+4.

【答案】(1)[0,12).

(2)—jvaVO時，解集為｛久或r>—2｝；

a=—3時，解集為｛x|xW-2｝；

aV—凱寸，解集為｛%[%<-2或r>.

【分析】(1)由已知結合二次函數的性質對。的范圍進行分類討論即可求解;

(2)由已知結合二次不等式的求法對。的范圍進行分類討論即可求.

【解答】解：(1)由題意可得，af+ax+3>0對于任意xCR恒成立，

當。=0時，得3>0,顯然符合題意；

當aWO時，得,解得0Va<12,

14=a2-12a<0

綜上，實數。的取值范圍是[0,12).

(2)原不等式轉化為。(2(2-1)%-2<0,即(ax-1)(x+2)<0.

又aVO,不等式可化為(％-：)(%+2)〉0,

若:<—2,即一^VaVO時，得或x>-2,即解集為｛%阿V：或久>—2｝；

若;=—2,即a=—機寸，得W,即解集為｛?。?2｝；

若亍>一2,即a<—機寸，得xV-2或％>,即解集為｛幻％V—2或％>1｝.

題型5二次函數的圖象

【典例13］（2024?天元區(qū)校級開學）函數丁=近2-2與y=3（/cA0）在同一平面

直角坐標系中的圖象大致是（）

【答案】C

【分析】根據左>0,k<0,結合兩個函數的圖象及其性質分類討論.

【解答】解：分兩種情況討論：

①當上>0時，反比例函數y=：,在一、三象限，

而二次函數丁=技-2開口向上，與y軸交點為（0,-2）,都不符；

②當上<0時，反比例函數y=§,在二、四象限，

而二次函數y=/-2開口向下，與y軸交點為（0,-1）,C符合.

故選：C.

【典例14］（多選）8.（2024?東坡區(qū)校級開學）如圖，二次函數丁=辦2+陵+0（。

W0）的圖象與x軸交于A、3兩點，與y軸交于點C,且。。=2。3,則下列

結論正確的為（）

C.ac-26+4=0D.OA'OB^--a

【答案】CD

【分析】由已知結合二次函數與二次方程的轉化關系及二次函數性質檢驗各

選項即可判斷.

【解答】解：根據圖象知。>0,又對稱軸％=vo,則b>o,又￡vo,

2aa

則c〈0,則abcVO,故A不正確；

當元=1時，y=a+b+c,不能說明y的值是否大于0,故3錯誤;

設A(%1,0)(%1<0),5(X2,0),(%2>0),OC=2OB,/.-2X2=C,.*.X2=一工的

乙2

AB(--c,0),將點3代入函數，得Ze2一工兒+c=o,故-26+4=0,

242

故C正確；

當y=0時，〃/+/+^二。,方程的兩個根％1,必則xix2=-<0,即。4?0B=-

aa

則。正確.

故選：CD.

【典例15】(多選)(2024?涼州區(qū)校級開學)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(?^0)

的對稱軸是直線x=l,且與x軸、y軸分別交于兩點，其中點A在點(3,

0)的右側，直線產-|x+c經過A、3兩點.下列選項正確的是()

B.拋物線與x軸的另一個交點在0與-1之間

1

C.—Vb<0

2

D.3。+26+。>0

【答案】ACD

【分析】根據二次函數的性質逐一判斷即可.

【解答】解：?.?拋物線開口向下，；；直

...aVO,2a.?.b=-2a>0

線產—夕+c經過點A,點A在點（3,0）的右側，??.—卜3+?！?,.曾〉1，

故A正確；

:拋物線yna/+fec+cQWO）的對稱軸是直線x=l,且與x軸交點A在點（3,

0）的右側，...與x軸另一個交點在點（-1,0）的左側，故3錯誤；

由圖象可知，當尤=3時，9a+30+c>—1+c,；.9a+3?！怠猆a>—

a>—,—<2z<0,故C正確；

22

c>0,b——2〃，3〃+2Z?+c=3〃-4〃+c=-〃+c>0,故。正確.

故選：ACD.

題型6其它不等式求解

【典例16]（2024春?嶗山區(qū)校級期中）若不等式ar+foc+c》。的解集為[1,3],

則不等式片20解集為（）

cx+b

A.（-8,-3]U+°°）B.（-8,-3]U（^,+°°）

44

C.[-3,D.[-3,I）

【答案】B

【分析】由題意可知1和3是方程ax2+bx+c=Q的兩個根，且a<0,再利用

韋達定理可得6=-4a,c=3a,代入所求不等式求解即可.

【解答】解：???不等式以2+云+°>0的解集為“，3],

A1和3是方程ajc+bx+c=Q的兩個根，且a<0,

b

仁，即｛，。

由韋達定理可得,——4

=3a

ax+3a、八%+3、八

不等式翳2?？苫癁?瓦R0,即nnR0,

轉化為(x+3)(3%-4)20且3%-4力0,解得xW