八年級上冊數(shù)學(xué)-全冊全套試卷測試卷附答案

八年級上冊數(shù)學(xué)全冊全套試卷測試卷附答案一、八年級數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1．如圖，△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥DF，交AB于點E，連結(jié)EG、EF．（1）求證：BG＝CF；（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）BE+CF＞EF，證明詳見解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGDCFD，從而得出BG=CF；（2）利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得到EG=EF，兩邊之和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．【詳解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D為BC的中點，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD與△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．2．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點P在線段AB上以3cm/s的速度，由A向B運動，同時點Q在線段BD上由B向D運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)運動時間t=1（s），△ACP與△BPQ是否全等？說明理由，并直接判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變．若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能使△ACP與△BPQ全等.（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AC，BD交于點E，使C，D分別是AE，BE中點，若點Q以（2）中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABE三邊運動，求出經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或（3）9s【解析】【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點Q，即點P比點Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得．【詳解】（1）當(dāng)t=1時，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP與△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，則線段PC與線段PQ垂直.（2）設(shè)點Q的運動速度x,①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，，解得，②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，解得，綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等.（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點Q，即點P比點Q多走PB+BQ的路程，設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點；∴EB=EA=18cm.當(dāng)VQ=1時，依題意得3x=x+2×9，解得x=9；當(dāng)VQ=時，依題意得3x=x+2×9，解得x=12.故經(jīng)過9秒或12秒時P與Q第一次相遇.【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質(zhì)與運算.3．如圖，在中，，點是邊上的動點，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．（1）填空：的面積等于；（2）連接，求證：是的平分線；（3）點在邊上，且，當(dāng)從點出發(fā)運動至點停止時，求點相應(yīng)的運動路程．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計算公式直接計算可得；（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；（3）由（2）可知點E在∠ACB的平分線上，當(dāng)點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長度計算出CE的長度即可．【詳解】解：（1）∴，故答案為：（2）連接CE，過點E作EM⊥AC于點M，作EN⊥BC于點N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM與△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴點E在∠ACB的平分線上，即是的平分線（3）由（2）可知，點E在∠ACB的平分線上，∴當(dāng)點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=，當(dāng)AC=3，CD=CO=1時，CE=當(dāng)AC=3，CD=CB=7時，CE=∴點E的運動路程為：，【點睛】本題考查了全等三角形的綜合證明題，涉及角平分線的判定，幾何中動點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是綜合運用上述知識點．4．在等邊中，點是邊上一點.作射線，點關(guān)于射線的對稱點為點.連接并延長，交射線于點.（1）如圖，連接，①與的數(shù)量關(guān)系是__________；②設(shè)，用表示的大??；（2）如圖，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=；(2)AF-EF=CF，理由見詳解.【解析】【分析】（1）①根據(jù)軸對稱性，即可得到答案；②由軸對稱性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=，由是等邊三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF，易證?FCG是等邊三角形，得GF=FC，再證?ACG??BCF(SAS)，從而得AG=BF，進而可得到結(jié)論.【詳解】（1）①∵點關(guān)于射線的對稱點為點，∴AB和AE關(guān)于射線的對稱，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵點關(guān)于射線的對稱點為點，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=，∵是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2，AE=AC，∴∠ACE=，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=-60°=.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF，∵∠BAF=∠BCF=，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴?FCG是等邊三角形，∴GF=FC，∵是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=.在?ACG和?BCF中，∵，∴?ACG??BCF(SAS)，∴AG=BF，∵點關(guān)于射線的對稱點為點，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵.5．如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，點D從點A開始在射線AB上運動，速度為1個單位/秒，點F同時從C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運動，過點D作DE⊥AC，連結(jié)DF交射線AC于點G(1)當(dāng)DF⊥AB時，求t的值；(2)當(dāng)點D在線段AB上運動時，是否始終有DG=GF?若成立，請說明理由。(3)聰明的斯揚同學(xué)通過測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點D在線段AB上時，EG的長始終等于AC的一半，他想當(dāng)點D運動到圖2的情況時，EG的長是否發(fā)生變化?若改變，說明理由；若不變，求出EG的長。【答案】（1）；（2）見詳解；（3）不變.【解析】【分析】（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當(dāng)DF⊥AB時，通過解直角△BDF求得x的值，易得t的值；（2）如圖1，過點D作DH∥BC交AC于點H，構(gòu)建全等三角形：△DHG≌△FCG，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等的性質(zhì)和圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得DG=GF；（3）過F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．【詳解】解：（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當(dāng)DF⊥AB時，∵∠B=60°，∴∠DFB=30°，∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），解得x=，故t=；（2）如圖1，過點D作DH∥BC交AC于點H，則∠DHG=∠FCG．∵△ABC是等邊三角形，∴△ADH是等邊三角形，∴AD=DH．又AD=CF，∴DH=FC．∵在△DHG與△FCG中，，∴△DHG≌△FCG（AAS），∴DG=GF；（3）如圖2，過F作FH⊥AC，在△ADE和△CFH中，，∴△ADE≌△CFH（AAS），∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，在△GDE和△GFH中，∴△GDE≌△GFH（AAS），∴EG=GH，∴EG=EH=AC．【點睛】本題考查了三角形綜合題，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△GDE≌△GFH是解題的關(guān)鍵．二、八年級數(shù)學(xué)軸對稱解答題壓軸題（難）6．知識背景：我們在第十一章《三角形》中學(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在第十三章《軸對稱》中學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)和判定.在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題.問題：如圖1，是等腰三角形，，是的中點，以為腰作等腰，且滿足，連接并延長交的延長線于點，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系.圖1發(fā)現(xiàn)：（1）與之間的數(shù)量關(guān)系為.探究：（2）如圖2，當(dāng)點是線段上任意一點（除、外）時，其他條件不變，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖2拓展：（3）當(dāng)點在線段的延長線上時，在備用圖中補全圖形，并直接寫出的形狀.備用圖【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）畫圖見解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等角對等邊即可證明；（3）作出圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易證，進而根據(jù)角度的代換，得出結(jié)論．【詳解】解：（1）.∵△ABC是等腰三角形，且，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，.（2）.證明：是等腰三角形，且，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，.（3）是等腰直角三角形.提示：如圖，是等腰三角形，，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，是等腰三角形，，是等腰直角三角形.【點睛】本題考查等腰三角形及全等三角形的性質(zhì)，熟練運用角度等量代換及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，已知中，厘米，、分別從點、點同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點的速度是1厘米/秒的速度，點的速度是2厘米/秒，當(dāng)點第一次到達點時，、同時停止運動.（1）、同時運動幾秒后，、兩點重合？（2）、同時運動幾秒后，可得等邊三角形？（3）、在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰，如果存在，請求出此時、運動的時間？【答案】（1）10；（2）點、運動秒后，可得到等邊三角形；（3）當(dāng)點、在邊上運動時，能得到以為底邊的等腰，此時、運動的時間為秒．【解析】【分析】（1）設(shè)點、運動秒后，、兩點重合,；（2）設(shè)點、運動秒后，可得到等邊三角形，如圖①，,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得；（3）如圖②，假設(shè)是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證是等邊三角形，再證≌（），得，設(shè)當(dāng)點、在邊上運動時，、運動的時間秒時，是等腰三角形，故，，由，得；【詳解】解：（1）設(shè)點、運動秒后，、兩點重合,解得：（2）設(shè)點、運動秒后，可得到等邊三角形，如圖①,∵三角形是等邊三角形∴解得∴點、運動秒后，可得到等邊三角形.（3）當(dāng)點、在邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知10秒時、兩點重合，恰好在處，如圖②，假設(shè)是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在和中，∵，∴≌（），∴，設(shè)當(dāng)點、在邊上運動時，、運動的時間秒時，是等腰三角形，∴，，，解得：，故假設(shè)成立.∴當(dāng)點、在邊上運動時，能得到以為底邊的等腰，此時、運動的時間為秒．【點睛】考核知識點：等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì).理解等腰三角形的判定和性質(zhì),把問題轉(zhuǎn)化為方程問題是關(guān)鍵.8．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：）例2等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：或或）張老師啟發(fā)同學(xué)們進行變式，小敏編了如下兩題：變式1:等腰三角形中，∠A=100°，求的度數(shù).變式2:等腰三角形中，∠A=45°，求的度數(shù).（1）請你解答以上兩道變式題.（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)只有一個度數(shù)時，請你探索的取值范圍.【答案】（1）變式1:40°；變式2:90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分類討論，即可得到答案；(2)在等腰三角形中，當(dāng)只有一個度數(shù)時，只能作為頂角時，或∠A=60°，進而可得到答案.【詳解】變式1:∵等腰三角形中，∠A=100°，∴∠A為頂角，∠B為底角，∴∠B==40°；變式2:∵等腰三角形中，∠A=45°，∴當(dāng)AB=BC時，∠B=90°，當(dāng)AB=AC時，∠B=67.5°，當(dāng)BC=AC時∠B=45°；（2）等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)90°≤x＜180°，∠A為頂角，此時，只有一個度數(shù)，當(dāng)x=60°時，三角形是等邊三角形，此時，只有一個度數(shù)，綜上所述：90°≤x＜180°或x=60°【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵.9．如圖1，△ABD，△ACE都是等邊三角形，（1）求證：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)△ABD與△ACE的位置發(fā)生變化，使C、E、D三點在一條直線上，求證：AC∥BE．【答案】(1)見解析(2)∠AEB=15°(3)見解析【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（3）由（1）的方法可證得△ABE≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠AEB=∠ACD=60°，即可得∠AEB=∠EAC，從而得AC∥BE．試題解析：（1）證明：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可證：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．點睛：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，證得△ABE≌△ADC是解決本題的關(guān)鍵.10．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點在線段上時，求證：；（3）當(dāng)動點在直線上時，設(shè)直線與直線的交點為，試判斷是否為定值？并說明理由．【答案】（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點在線段的延長線上時，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動點在直線上時，是定值，．【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.三、八年級數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11．把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個正方形的邊長滿足a+b=10，ab=20，請求出陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解．【詳解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S陰影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．【點睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示同一圖形的面積.12．先閱讀下列材料，然后解后面的問題．材料：一個三位自然數(shù)（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c），若滿足a+c=b，則稱這個三位數(shù)為“歡喜數(shù)”，并規(guī)定F（）=ac．如374，因為它的百位上數(shù)字3與個位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7，所以374是“歡喜數(shù)”，∴F（374）=3×4=12．（1）對于“歡喜數(shù)”，若滿足b能被9整除，求證：“歡喜數(shù)”能被99整除；（2）已知有兩個十位數(shù)字相同的“歡喜數(shù)”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）詳見解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由題意可得a+c=b，將歡喜數(shù)展開，因為要證明“歡喜數(shù)”能被99整除，所以將展開式中100a拆成99a+a，這樣展開式中出現(xiàn)了a+c，將a+c用b替代，整理出最終結(jié)果即可；（2）首先設(shè)出兩個歡喜數(shù)m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，將式子變形分析得出最終結(jié)果即可.【詳解】（1）證明：∵為歡喜數(shù)，∴a+c=b．∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“歡喜數(shù)”能被99整除；（2）設(shè)m=，n=（且a1＞a2），∵F（m）﹣F（n）=a1?c1﹣a2?c2=a1?（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均為整數(shù)，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，則m﹣n的值為99或297．【點睛】做此類閱讀理解類題目首先要充分理解題目，會運用因式分解將式子變形.13．若一個正整數(shù)能表示成(是正整數(shù)，且)的形式，則稱這個數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，與是的一個平方差分解.例如：因為，所以5是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：(是正整數(shù))，所以也是“明禮崇德數(shù)”，與是的一個平方差分解.(1)判斷：9_______“明禮崇德數(shù)”(填“是”或“不是”)；(2)已知(是正整數(shù)，是常數(shù)，且)，要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個值，并說明理由；(3)對于一個三位數(shù)，如果滿足十位數(shù)字是7，且個位數(shù)字比百位數(shù)字大7，稱這個三位數(shù)為“七喜數(shù)”.若既是“七喜數(shù)”，又是“明禮崇德數(shù)”，請求出的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.【解析】【分析】(1)根據(jù)9=52-42，確定9是“明禮崇德數(shù)”；(2)根據(jù)題意分析N應(yīng)是兩個完全平方式的差，得到k=-5，將k=-5代入計算即可將N平方差分解，得到答案；(3)確定“七喜數(shù)”m的值，分別將其平方差分解即可.【詳解】(1)∵9=52-42，∴9是“明禮崇德數(shù)”，故答案為：是；(2)當(dāng)k=-5時，是“明禮崇德數(shù)”，∵當(dāng)k=-5時，，=，=，=，==.∵是正整數(shù)，且，∴N是正整數(shù)，符合題意，∴當(dāng)k=-5時，是“明禮崇德數(shù)”；(3)由題意得：“七喜數(shù)”m=178或279，設(shè)m==（a+b）（a-b），當(dāng)m=178時，∵178=289，∴，得（不合題意，舍去）；當(dāng)m=279時，∵279=393=931，∴①，得，∴，②，得，∴，∴既是“七喜數(shù)”又是“明禮崇德數(shù)”的m是279，，.【點睛】此題考查因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解此題的前提，(3)是此題的難點，解題時需根據(jù)百位與個位數(shù)字的關(guān)系確定具體的數(shù)據(jù)，再根據(jù)“明禮崇德數(shù)”的要求進行平方差分解.14．觀察以下等式：（x+1)(x2-x+1)=x3＋1（x+3）（x2-3x+9）=x3+27（x+6）（x2-6x+36）=x3+216．．．．．．．．．．．．(1)按以上等式的規(guī)律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3(2)利用多項式的乘法法則，證明（1）中的等式成立.(3)利用（1）中的公式化簡：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）【答案】（1）a2-ab+b2；（2）詳見解析；（3）2y3．【解析】【分析】（1）根據(jù)所給等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加進行計算即可得到答案；（3）結(jié)合題目本身的特征，利用（1）中的公式直接運用即可．【詳解】（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3；（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）=x3+y3-（x3-y3）=2y3．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，關(guān)鍵是掌握多項式乘法法則，注意觀察所給例題，找出其中的規(guī)律是解決本題的基本思路．15．（觀察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（發(fā)現(xiàn)）根據(jù)你的閱讀回答問題：（1）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為；（2）設(shè)參與上述運算的第一個因數(shù)為a，第二個因數(shù)為b，用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系是．（類比）觀察下列兩數(shù)的積：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值為，并用你學(xué)過的知識加以證明．【答案】（1）625；（2）a+b=50；900；證明見解析.【解析】【分析】發(fā)現(xiàn)：（1）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)兩數(shù)相乘，積的最大值為625；（2）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)a與b的數(shù)量關(guān)系是a＋b＝50；類比：由于m＋n＝60，將n＝60?m代入mn，得mn＝?m2＋60m＝?（m?30）2＋900，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出m＝30時，mn的最大值為900．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：（1）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為625．故答案為625；（2）設(shè)參與上述運算的第一個因數(shù)為a，第二個因數(shù)為b，用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系是a+b=50．故答案為a+b=50；類比：由題意，可得m+n=60，將n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30時，mn的最大值為900．故答案為900．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，配方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．四、八年級數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．為響應(yīng)“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點，他乘坐公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程的倍還多.他從家出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的.（1）小王用自駕車上班平均每小時行駛多少千米？（2）上周五，小王上班時先步行了，然后乘公交車前往，共用小時到達.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自駕車上班平均每小時行駛；（2）小王步行的速度為每小時.【解析】【分析】（1））設(shè)小王用自駕車上班平均每小時行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時行駛.再利用乘公交車的方式平均每小時行駛的路程比他自用駕SS式平均每小時行駛的路程的2倍還多9千米和乘公交車所用時間是自駕車方式所用時間的，列方程求解即可；（2）設(shè)小王步行的速度為每小時，然后根據(jù)“步行時間+乘公交時間=小時”列方程解答即可.【詳解】解（1）設(shè)小王用自駕車上班平均每小時行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時行駛.根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意.所以小王用自駕車上班平均每小時行駛；（2）由（1）知：小王乘坐公交車上班平均每小時行駛（）；設(shè)小王步行的速度為每小時，根據(jù)題意得：解得：.經(jīng)檢驗：是原方程的解且符合題意所以小王步行的速度為每小時.【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于弄清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程并解答.17．某商場購進甲、乙兩種空調(diào)共50臺．已知購進一臺甲種空調(diào)比購進一臺乙種空調(diào)進價少0.3萬元；用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請解答下列問題：（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺進價各是多少萬元？（2）若商場預(yù)計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，商場有哪幾種購進方案？（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺售價1100元，乙種空調(diào)每臺售價4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺樣機按八折出售，其余全部標價售出，商場從銷售這50臺空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤恰好又可以購進以上空調(diào)共2臺．請直接寫出該商場購進這50臺空調(diào)各幾臺．【答案】（1）0.1，0.4；（2）商場有3種購進方案：①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺；②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺；③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺；（3）購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺【解析】【分析】（1）可設(shè)甲種空調(diào)每臺進價是x萬元，則乙種空調(diào)每臺進價是（x+0.3）萬元，根據(jù)等量關(guān)系用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量＝用40萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量×2，列出方程求解即可；（2）設(shè)購買甲種空調(diào)n臺，則購買乙種空調(diào)（50﹣n）臺，根據(jù)商場預(yù)計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，求出n的范圍，即可確定出購買方案；（3）找到（2）中3種購進方案符合條件的即為所求．【詳解】解：（1）設(shè)甲種空調(diào)每臺進價是x萬元，則乙種空調(diào)每臺進價是（x+0.3）萬元，依題意有＝×2，解得x＝0.1，x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．答：甲種空調(diào)每臺進價是0.1萬元，乙種空調(diào)每臺進價是0.4萬元；（2）設(shè)購買甲種空調(diào)n臺，則購買乙種空調(diào)（50﹣n）臺，依題意有，解得31≤n≤33，∵n為整數(shù)，∴n取31，32，33，∴商場有3種購進方案：①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺；②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺；③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺；（3）①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺，（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520＝7720﹣2520＝5200（元），不符合題意，舍去；②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺，（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520＝7520﹣2520＝5000（元），符合題意；③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺，（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520＝7320﹣2520＝4800（元），不符合題意，舍去．綜上所述，購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺．【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．18．甲、乙、丙三個登山愛好者經(jīng)常相約去登山，今年1月甲參加了兩次登山活動．（1）1月1日甲與乙同時開始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早15分鐘到達頂峰．求甲的平均攀登速度是每分鐘多少米？（2）1月6日甲與丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）問中的速度不變，比丙晚出發(fā)0.5小時，結(jié)果兩人同時到達頂峰，問甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代數(shù)式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分鐘；（2）倍.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根據(jù)（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本題．【詳解】（1）設(shè)乙的速度為x米/分鐘，，解得，x=10，經(jīng)檢驗，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分鐘；（2）設(shè)丙的平均攀登速度是y米/分，+0.5×60＝，化簡，得y=，∴甲的平均攀登速度是丙的：倍，即甲的平均攀登速度是丙的倍．19．符號稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為：，請根據(jù)這一法則解答下列問題：（1）計算：；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義列出代數(shù)式，再進行減法計算；（2）根據(jù)定義列式后得到關(guān)于x的分式方程，正確求解即可.【詳解】（1）原式；（2）根據(jù)題意得：解之得：經(jīng)檢驗：是原分式方程的解所以的值為5.【點睛】此題考察分式的計算，分式方程的求解，依據(jù)題意正確列式是解此題的關(guān)鍵.20．水蜜桃是無錫市陽山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元購進一批水密桃，很快售完；老板又用3300元購進第二批水蜜桃，所購件數(shù)是第一批的倍，但進價比第一批每件多了5元．（1）第一批水蜜桃每件進價是多少元？（2）老板以每件65元的價格銷售第二批水蜜桃，售出80％后，為了盡快售完，剩下的決定打折促銷．要使得第二批水密桃的銷售利潤不少于288元，剩余的仙桃每件售價最多打幾折？(利潤=售價-進價)【答案】（1）50；（2）6折．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)第一批水蜜桃每件進價是x元，利用第二批水密桃進價建立方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)剩余的仙桃每件售價最多打m折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售價最多打幾折.【詳解】解：（1）設(shè)第一批水蜜桃每件進價是x元，則有：，解得，所以第一批水蜜桃每件進價是50元.（2）由（1）得出第二批水密桃的進價為：55元，數(shù)量為：件，設(shè)剩余的仙桃每件售價最多打m折，則有：，解得，即最多打6折.【點睛】本題考查分式方程的實際應(yīng)用以及不等式的實際應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立方程和不等式是解題的關(guān)鍵.五、八年級數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分線AG交BC于點G．（1）求證：∠BAG=∠BGA；（2）如圖2，∠BCD的平分線CE交AD于點E，與射線GA相交于點F，∠B=50°．①若點E在線段AD上，求∠AFC的度數(shù)；②若點E在DA的延長線上，直接寫出∠AFC的度數(shù)；（3）如圖3，點P在線段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直線AG上取一點M，使∠PBM=∠DCH，請直接寫出∠ABM：∠PBM的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①20°；②160°；（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根據(jù)CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度數(shù)，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠AFC的度數(shù)即可；②根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；（3）根據(jù)M點在BP的上面和下面兩種情況討論，分別求出∠PBM和∠ABM的值即可.【詳解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如圖：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有兩種情況：①當(dāng)M在BC的下方時，如圖：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（+25）°=（）°，∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；②當(dāng)M在BC的上方時，如圖：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（﹣25）°=（）°，∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；綜上，∠ABM：∠PBM的值是或．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.22．已知：如圖①，BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線．（1）當(dāng)∠BAC=40°時，∠BPC=，∠BQC=；（2）當(dāng)BM∥CN時，求∠BAC的度數(shù)；（3）如圖②，當(dāng)∠BAC=120°時，BM、CN所在直線交于點O，直接寫出∠BOC的度數(shù)．【答案】(1)70°，125°；(2)∠BAC=60°(3)45°【解析】分析：（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠DBC與∠BCE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBP+∠BCP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；根據(jù)角平分線的定義得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根據(jù)題意得到∠MBC+∠NCB，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC的度數(shù).詳解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．點睛：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．23．如圖1：中，是高，是的平分線，．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)，請用表示，并寫出推導(dǎo)過程（3）當(dāng)是的外角的平分線，如圖2則此時的度數(shù)是多少，用表示，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）15o;(2);(3)【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分線的定義得∠EAC=∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通過∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到結(jié)果．（2）猜想∠DAE=（β-α），重復(fù)（1）的過程找出∠BAD和∠BAE的度數(shù)，二者做差即可得出結(jié)論；（3）作∠BAC的內(nèi)角平分線AE′，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=∠CAB+∠CAF=90°，進而求出∠DAE的度數(shù).【詳解】解:（1）,是的平分線，,在中，,.（2）,是的平分線，,在△ACD中，，.（3）.如圖，作∠CAB的內(nèi)角平分線AE′，則∠DAE′=．因為AE是∠ACB的外角平分線，所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE