滬教版九年級數學核心知識點與常見題型通關講解練重難點07解直角三角形之“背靠背”模型(原卷版+解析)

重難點07解直角三角形之“背靠背”模型【知識梳理】【模型展示】【考點剖析】1．（2022秋·上海浦東新·九年級校考期中）如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果精確到0.1km）（參考數據：≈1.4，≈1.7）2．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長．（結果保留整數）參考數據：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）3．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點A到邊的距離）（結果精確到0.1米）．（參考數據：，，，）4．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時內到達漁船C處？（參考數據：，，，，，）【過關檢測】1．（2020·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測得底部B的俯角是60°，此時無人機與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為__________米（結果保留根號）．2．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達B處，這時測得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當輪船到達燈塔P的正南方，此時輪船與燈塔P的距離是________．（結果保留一位小數，）3．（2020·四川樂山·中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動扶梯的垂直高度=_________．（結果保留根號）三、解答題4．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準備在園內一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．5．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點，測得乙棟樓房頂部D點的仰角是，底部C點的俯角是，求乙棟樓房的高度（結果保留根號）．6．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平涼韓王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應，被譽為平涼古塔“雙璧”．某數學興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設計：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數（在同一條直線上）．數據收集：通過實地測量：地面上兩點的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結果保留一位小數）．參考數據：，．根據上述方案及數據，請你完成求解過程．7．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內有暗礁．（參考數據：）（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險？請說明理由．（2）漁船航行3小時后到達C處，求A，C之間的距離．8．（2020·內蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．9．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時后輪船到達處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時船與小島的距離（結果保留整數，參考數據：，）．10．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數據：，，結果精確到1千米）．11．（2020·山東濰坊·中考真題）某?！熬C合與實踐”小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋的上方120米的點C處懸停，此時測得橋兩端A，B兩點的俯角分別為60°和45°，求橋的長度．12．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺漢墓，1983年10月被國家旅游局確定為中國旅游標志，在很多旅游城市的廣場上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學習小組把測量本城市廣場的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點離地面的高度作為一次課題活動，同學們制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點到地面的高度為，在測點用儀器測得點的仰角為，前進一段距離到達測點，再用該儀器測得點的仰角為，且點，，，，，均在同一豎直平面內，點，，在同一條直線上．測量數據的度數的度數的長度儀器（）的高度5米米請你根據上表中的測量數據，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度（結果保留一位小數）．（參考數據：，，，，，）13．（2020·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）共抓長江大保護，建設水墨丹青新岳陽，推進市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現測得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長度．（結果精確到，，，，）14．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標性建筑之一，現已成為外地游客到成都旅游打卡的網紅地．如圖，為測量電視塔觀景臺處的高度，某數學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請計算觀景臺的高的值．（結果精確到1米；參考數據：，，）15．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度．（結果精確到1米，參考數據：）16．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點，，．求證：．問題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點，，．求的值．17．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區(qū)的1、2號樓進行測高實踐，如圖為實踐時繪制的截面圖．無人機從地面點B垂直起飛到達點A處，測得1號樓頂部E的俯角為67°，測得2號樓頂部F的俯角為40°，此時航拍無人機的高度為60米，已知1號樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點C和D，點B為CD的中點，求2號樓的高度．（結果精確到0.1）（參考數據sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

重難點07解直角三角形之“背靠背”模型【知識梳理】【模型展示】【考點剖析】1．（2022秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果精確到0.1km）（參考數據：≈1.4，≈1.7）【答案】14.0千米【分析】首先過點C作CD⊥AB，垂足為D，設CD＝x，即可表示出AC，BC的長，進而求出x的值，再利用銳角三角函數關系得出AD，BD的長，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，設CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68，∴x＝，在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走14.0千米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，準確分析計算是解題的關鍵．2．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長．（結果保留整數）參考數據：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）【答案】地到地之間高鐵線路的長約為．【分析】過點B作BD⊥AC于點D，利用銳角三角函數的定義求出AD及CD的長，進而可得出結論．【詳解】解：如解圖，過點作于點，∵地位于地北偏東方向，距離地，∴，∴，．∵地位于地南偏東方向，∴，∴，∴．答：地到地之間高鐵線路的長約為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，解題關鍵是添加常用輔助線，構造直角三角形．3．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點A到邊的距離）（結果精確到0.1米）．（參考數據：，，，）【答案】河寬約為33.6米【分析】過A作AD⊥BC于D，并設AD=x米，則由已知條件可以得到關于x的方程，解方程即可得到河的寬度．【詳解】解：如圖，過A作AD⊥BC于D，并設AD=x米，∵∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，∵∠B=64°，∴BD=，∵BC=50米，∴，解之得：x≈33.6，答：河寬約33.6米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義并結合方程思想求解是解題關鍵．4．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時內到達漁船C處？（參考數據：，，，，，）【答案】巡邏艇能在1小時內到達漁船C處【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的長，可以過A作AD⊥BC于D，分別求出CD和BD的長，就可轉化為運用三角函數解直角三角形．【詳解】解答：過點A作AH⊥BC，垂足為點H．由題意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵，，∴，，在Rt△ACH中，∵，∴，∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡邏艇能在1小時內到達漁船C處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是將一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．【過關檢測】1．（2020·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測得底部B的俯角是60°，此時無人機與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為__________米（結果保留根號）．【答案】【分析】由題意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分別解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD和BD的長，進一步即可求得結果．【詳解】解：由題意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，則在Rt△ADC中，米，在Rt△ADB中，米，∴米．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握解直角三角形的知識是解題關鍵．2．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達B處，這時測得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當輪船到達燈塔P的正南方，此時輪船與燈塔P的距離是________．（結果保留一位小數，）【答案】20.8【分析】證明△ABP是等腰三角形，過P作PD⊥AB，從而求得PD的長即可．【詳解】解：過P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案為：20.8.【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確作出垂線，轉化為直角三角形的計算是解決本題的關鍵．3．（2020·四川樂山·中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動扶梯的垂直高度=_________．（結果保留根號）【答案】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角函數，得出BC=AB=4是解題關鍵．三、解答題4．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準備在園內一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）過C作于點D，解直角三角形即可；（2）由已知條件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的長【詳解】（1）如圖，過C作于點D,即（2），，,在中，設，則在中，即:解得：（不符題意，舍）【點睛】本題考查解直角三角形應用，掌握銳角三角函數的定義是解題關鍵．5．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點，測得乙棟樓房頂部D點的仰角是，底部C點的俯角是，求乙棟樓房的高度（結果保留根號）．【答案】18(+1)m【分析】根據仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據三角函數的定義即可求解．【詳解】如圖，依題意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴的高度為CE+ED=18(+1)m．【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知三角函數的定義．6．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平涼韓王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應，被譽為平涼古塔“雙璧”．某數學興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設計：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數（在同一條直線上）．數據收集：通過實地測量：地面上兩點的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結果保留一位小數）．參考數據：，．根據上述方案及數據，請你完成求解過程．【答案】【分析】設，再利用銳角三角函數用含的代數式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設，在中，，

在中，，

，解得，．

答：寶塔的高度約為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數建立邊與邊之間的關系是解題的關鍵．7．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內有暗礁．（參考數據：）（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險？請說明理由．（2）漁船航行3小時后到達C處，求A，C之間的距離．【答案】（1）沒有危險，理由見解析；（2）79.50海里【分析】（1）過A點作于點D，在中求出AD與50海里比較即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根據勾股定理求出AC.【詳解】解：（1）過A點作于點D，∴，由題意可得，∴在中，，∴漁船在航行過程中沒有觸礁的危險；（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之間的距離為79.50海里.【點睛】此題考查解直角三角形的實際應用，正確理解題意，構建直角三角形，將已知的線段和角度放在直角三角形中，利用銳角三角函數解決問題是解題的關鍵.8．（2020·內蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．【答案】270米【分析】根據正切的定義分別求出BD、DC的長，求和即可.【詳解】解：在Rt△ABD中，tanα=，則BD=AD?tanα=90×0.27=24.3，在Rt△ACD中，tanβ=，則CD=AD?tanβ=90×2.73=245.7，∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：這棟樓高約為270米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，正切理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．9．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時后輪船到達處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時船與小島的距離（結果保留整數，參考數據：，）．【答案】此時船與小島的距離約為44海里【分析】過P作PH⊥AB，設PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據銳角三角函數求出x值即可求解【詳解】如圖，過P作PH⊥AB，設PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時船與小島的距離約為44海里．【點睛】本題考查了直角三角形的應用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關鍵．10．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數據：，，結果精確到1千米）．【答案】、兩點間的距離約為11千米．【分析】如圖（見解析），先根據直角三角形的性質、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據等腰直角三角形的判定與性質可得BD的長，然后根據線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點C作于點D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點間的距離約為11千米．【點睛】本題考查了直角三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識點，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．11．（2020·山東濰坊·中考真題）某?！熬C合與實踐”小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋的上方120米的點C處懸停，此時測得橋兩端A，B兩點的俯角分別為60°和45°，求橋的長度．【答案】【分析】過C地點作交AB于D點，根據橋兩端A，B兩點的俯角分別為60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函數求解即可．【詳解】解：如圖示：過C地點作交AB于D點，則有：，，∴，，∴．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數的運算，熟悉特殊角的三角函數值是解題的關鍵．12．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺漢墓，1983年10月被國家旅游局確定為中國旅游標志，在很多旅游城市的廣場上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學習小組把測量本城市廣場的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點離地面的高度作為一次課題活動，同學們制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點到地面的高度為，在測點用儀器測得點的仰角為，前進一段距離到達測點，再用該儀器測得點的仰角為，且點，，，，，均在同一豎直平面內，點，，在同一條直線上．測量數據的度數的度數的長度儀器（）的高度5米米請你根據上表中的測量數據，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度（結果保留一位小數）．（參考數據：，，，，，）【答案】【分析】如圖，延長交于，設利用銳角三角函數表示，再表示，再利用銳角三角函數列方程求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長交于，由題意得：設由由經檢驗：符合題意，“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度為【點睛】本題考查的是解直角三角形所的應用，掌握銳角三角函數的應用是解題的關鍵．13．（2020·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）共抓長江大保護，建設水墨丹青新岳陽，推進市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現測得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長度．（結果精確到，，，，）【答案】新建管道的總長度約為．【分析】如圖（見解析），先根據方位角的定義求出，設，則，再在中，根據等腰直角三角形的判定與性質可得AC、CD的長，然后在中，解直角三角形可得x的值，從而可得AC、BC的長，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點C作于點D由題意得：，設，則是等腰直角三角形在中，，即解得經檢驗，是所列分式方程的解，在中，，即解得則答：新建管道的總長度約為．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、方位角的定義、解直角三角形等知識點，掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．14．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標性建筑之一，現已成為外地游客到成都旅游打卡的網紅地．如圖，為測量電視塔觀景臺處的高度，某數學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請計算觀景臺的高的值．（結果精確到1米；參考數據：，，）【答案】觀景臺的高約為214米．【分析】過點D作DM⊥AB于點M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，由矩形的性質可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再證明△ADM為等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得觀景臺的高的長．【詳解】過點D作DM⊥AB于點M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，∴BM=CD=61米，在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，tan∠BDM=，∴tan22°=，解得，DM=152.5米；∵∠ADM=45°，DM⊥AB，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=AM=152.5米，∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．答：觀景臺的高約為214米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線，構建直角三角形是解決問題的關鍵．15．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部