高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第11講1022復(fù)數(shù)的乘法與除法

10.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法TOC\o"13"\h\u題型1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 ②?<0時(shí)，x=?b±?（b（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.【例題5】對(duì)于一元二次方程（其中，）下列命題不正確的是（）A.兩根滿足，；B.兩根滿足；C.若判別式時(shí)，則方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；D.若判別式時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；【答案】B【解析】若一元二次方程，則方程有兩個(gè)相異實(shí)根由韋達(dá)定理得：，，則正確；當(dāng)為虛根時(shí)，，則錯(cuò)誤；若一元二次方程，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，正確.故選：【變式51】1.（多選）（2023·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)z1,zA．z1=z2 B．z1z2∈【答案】ACD【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得z1【詳解】Δ=b2?4<0，∴x=?z1z1z1z2=1，∴z1b=1時(shí)，z1=?12z22=z1故選：ACD．【變式51】2．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)z是方程x2(1)求z；(2)若Imz>0，且az?z=b【答案】(1)z(2)17【分析】（1）解出方程即可求解；（2）由Imz>0，可得z=?1+i，再結(jié)合條件求出a【詳解】（1）由x2+2x可得x+1=±i，解得x即z（2）由（1）知，z=?1±i因?yàn)镮mz>0，所以z=?1+i所以az所以1?a2=b1?所以a+【變式51】3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)ω=?(1)證明：(ω(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，利用公式x3?1=x【答案】(1)見(jiàn)解析(2)方程的根為1或?1+3i2【分析】（1）直接計(jì)算(ω（2）z3?1=0因式分解為【詳解】（1）(ω故(ω（2）z3=1，即z則z?1=0或z當(dāng)z?1=0，z當(dāng)z2+z+1=0故方程的根為1或?1+3i2【變式51】4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2?2ax+a(1)若該方程沒(méi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；并在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)x2(2)若|α【答案】(1)a<1，(2)a=1【分析】（1）若該方程沒(méi)有實(shí)根，則Δ<0，解之即可，由x2?2ax+a（2）分Δ≥0和Δ<0兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理從而可得出答案.(1)解：若該方程沒(méi)有實(shí)根，則Δ=4a2?4由x2?2ax所以x?a2所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)x2?2ax(2)解：當(dāng)Δ=4a2?4則α,由韋達(dá)定理可知α+故α,所以|α|+|β當(dāng)Δ<0，即a<1時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根，設(shè)為m則α+故|α|+|β|=2m綜上所述，a=12【變式51】5.（2023·高一單元測(cè)試）已知關(guān)于x得二次方程：x2(1)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，求點(diǎn)(a(2)求方程實(shí)數(shù)根的取值范圍.【答案】(1)(2a(2)?4，0.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等結(jié)合條件可列出關(guān)于a,b的方程，整理即可求得點(diǎn)（2）由題可得8a【詳解】（1）設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x0x0即(x所以x0兩式消去x0可得(整理可得(2a即點(diǎn)(a,b（2）由x02+2整理得8a∵a∴Δ=16x解得?4≤x∴方程的實(shí)數(shù)根的取值范圍是?4，0.【變式51】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=1(1)若復(fù)數(shù)z1?z(2)若虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2【答案】(1)?2<(2)m【分析】（1）求出z1（2）z1也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得a，再求得m【詳解】（1）由已知得到z1?z解得?2<a<?（2）因?yàn)樘摂?shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2?4x+m所以z1所以z1?z【變式51】7.設(shè)，關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別是和.（1）當(dāng)時(shí)，求與的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1），，；（2）4【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，.（2）依題意，，其得，所以.（或，由，所以）【變式51】8.是關(guān)于的方程的一個(gè)根.(1)若且求實(shí)數(shù)的值；(2)若且為虛數(shù),求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或2【解析】(1)當(dāng)時(shí)，則有，無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，則有，解得，故實(shí)數(shù)的值為.(2)根據(jù)題意設(shè)，代入方程可得，所以，又所以，解得或2，故實(shí)數(shù)的值為或2.【變式51】9.已知復(fù)數(shù)，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)與的值.【答案】（1）（2），或【解析】（1）于是又，所以，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知，.因?yàn)椋ǎ┦欠匠痰囊粋€(gè)根，（）也是此方程的一個(gè)根，于是解得或，且滿足所以，或題型6含參問(wèn)題【例題6】（2023·高一單元測(cè)試）已知a?i1+i=3+2A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的結(jié)論列方程求a,b，由此可求【詳解】由a?i1+i=3+2則3?2b=a2b故選：C.【變式61】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z2(1)若z1?z(2)若z2=z1，復(fù)數(shù)【答案】(1)?1；(2)m=2【分析】（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法及若z=a+（2）運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)除法及若z=a+【詳解】（1）∵z1∴x+又∵x,y為非零實(shí)數(shù)，∴xy（2）∵z2∴z1∴z=∴m∴m的值為2.【變式61】2．（2023·高一單元測(cè)試）已知m∈R，關(guān)于z的方程z2【答案】1【分析】先判斷判別式中至少有一個(gè)為負(fù)，若判別式一正一負(fù)，則可根據(jù)z1?z【詳解】設(shè)z2+z+m由題意Δ1=1?4m≠0,Δ①當(dāng)m<18②當(dāng)18<m<14時(shí)，所以1?4m此時(shí)z2+z+1且z3=?2+這四個(gè)點(diǎn)為以?13,0為中心，且對(duì)角線的方程分別為x=?1③當(dāng)m>14因?yàn)閙為實(shí)數(shù)，故z1,z2為共軛復(fù)數(shù)且z1同理z3,z4的實(shí)部為綜上：m=故答案為：m=【變式61】3．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程x2?(m?4)x+1【答案】72##3.5【分析】由題意得Δ<0求出m的范圍，再設(shè)α=a+bi(【詳解】因?yàn)榉匠蘹2?(m所以Δ=(m?4)設(shè)α=a+所以αβ=因?yàn)閨α所以2a所以a2所以m=故答案為：72