滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：相似形知識(shí)歸納與題型突破（20類題型清單）

第二十二章相似形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

相似圖形｛形狀相同的兩形

兩個(gè)2度娟同,對(duì)應(yīng)角碼，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相

相似多邊形等的條邊形］用引以多邊形

相＜以比｛相1炫邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比口收蜘雙或相1以系數(shù)

成比例線段EE騷境豺，颼兩融酸的8^另夕隔條

愛段的比，這四條殘段叫成比例踐段

把一■成兩部分，較長(zhǎng)統(tǒng)段與金盆段3g

黃金分割于場(chǎng)朝段與較長(zhǎng)送級(jí)的比，西鈿底段分割打

6S金分割，分割點(diǎn)口微這轉(zhuǎn)段的黃金分割點(diǎn)

平行線分線段同設(shè)制｛兩條族g一組平行或所前所得的對(duì)應(yīng)鰥成比例

相似形Y

相/以三角形兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角夠，對(duì)應(yīng)由成比例，I—

兩個(gè)三角形相似

平行于三角形一3遁逢與另兩邊相交，斫截三角形

"與原三角形相似

兩?曲兩個(gè)以

福旺角形的判定?碗對(duì)應(yīng)雌例，品超第，兩個(gè)E角—以

三邊對(duì)應(yīng)神例，兩個(gè)三角形樹以

形，

兩個(gè)三角形相1以

r對(duì).役夠，對(duì)￡S^ttS￥?1妣

對(duì)應(yīng)高的比對(duì)應(yīng)中維ttS］對(duì)應(yīng)角平分維

、?科旺角形的性質(zhì)一妣

對(duì)應(yīng)局長(zhǎng)的厘F相似比

'對(duì)應(yīng)面積的比等于相似tt的平方

1

02知識(shí)速記

一、相似圖形、相似多邊形、相似比

1、相似圖形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形.

2、相似多邊形：一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那

么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3、相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù).

二、成比例線段

1、兩條線段的比：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去度量?jī)蓷l線段a、b,得到它們的長(zhǎng)度，我們把這兩條線段長(zhǎng)度

的比叫做這兩條線段的比，記作?或a:b.

2、成比例線段：在四條線段a、Ac、d中，如果其中兩條線段a、b的比，等于另外兩條線段c、d的比，

即￡=“或a：b=c:d),那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.這時(shí)，線段a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，

線段a,d叫做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

3、比例中項(xiàng)：如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條直線是相等的，即線段a、b、c之間有a：b=b：c,那么線段b

叫做線段a、b的比例中項(xiàng).

三、比例的性質(zhì)

1、合比性質(zhì)：如果?=。，那么看=審d#0)

bdbd

2、等比性質(zhì):如琮琮且瓦+歷+…+“力o,那么4

四、黃金分割

把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金

分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值等叫做黃金數(shù)L條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

五、平行線分線段成比例

1、基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

2、基本事實(shí)的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

2

六、相似三角形

1、相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所截三角形與原三角形相似;

（2）兩組對(duì)應(yīng)角相等，兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個(gè)三角形相似；

（4）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；

（5）兩直角三角形，一組斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

2、相似三角形的性質(zhì)：

（1）對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；

（2）對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

（3）對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比；

（4）對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

03題型歸納

題型一相似多邊形

例1.（23-24九年級(jí)上.上海黃浦?期末）下列命題中，真命題是（）

A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，那么這兩個(gè)梯形相似

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)梯形相似

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?山西陽(yáng)泉?期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的

邊框做成藝術(shù)墻.下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖

形不一定相似的是（）

3

2.（22-23九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）下列命題中，真命題是（）

A.有一個(gè)角為30。的兩個(gè)等腰三角形相似

B.鄰邊之比都等于2的兩個(gè)平行四邊形相似

C.底角為40。的兩個(gè)等腰梯形相似

D.有一個(gè)角為120。的兩個(gè)等腰三角形相似

3.（21-22九年級(jí)上.四川眉山.期末）下面兩個(gè)圖形中一定相似的是（）

A.兩個(gè)長(zhǎng)方形B.兩個(gè)等腰三角形

C.有一組對(duì)應(yīng)角是50。的兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)菱形

題型二兩條線段的比

例2.（23-24九年級(jí)上?安徽六安?期中）如果線段a=與皿，b=5mm＞那么?的值為

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?上海浦東新?期中）4、B兩地的實(shí)際距離=250米，畫在地圖上的距離為5厘米，則

地圖上的距離與實(shí)際距離的比是.

2.（21-22九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）在比例尺是1:20000的地圖上，若某條道路長(zhǎng)約為3cm，則它的實(shí)

際長(zhǎng)度約為knv

AR

3-33九年級(jí)上上海徐匯?期中）已知點(diǎn)C在線段如上，滿足法=就，如果放=2/，那么=

4

cm.

題型三判斷成比例線段

例3.（22-23八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）下面四組線段中不能成比例線段的是（）

A.3、6、2、4B.4、6、5、10

C.1、2、3、6D.25、20、4、5

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）下列四組長(zhǎng)度的線段中，是成比例線段的是（）

，，

AFAem'Jem'Auem'7'emRRJcm,4^cm,Jem'A°cm

,

C.3cm，5cm，9cm，15cmD.lcm，^cm8cm

2.（22-23九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.。=1,〃=2,c=3,d=4B.a=l,b=^2,c=V3,d=A/6

C.a=5,b=6,c=7,d=8D.a=A,b=6,c=6,d=8

3.（23-24九年級(jí)上.上海.階段練習(xí)）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.4em、2cm、1cm、3cm2dm、6cm

C.25加、35cm、55cm1cm、2cm>20cm、40cm

題型四利用成比例線段求線段長(zhǎng)度

例4.（23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）線段〃、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，

鞏固訓(xùn)練

5

1.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知三條線段的長(zhǎng)分別是與皿，6cm,2cm，若再添加一條線段，使

這四條線段是比例線段，則這條線段的長(zhǎng)為.

2.（2024九年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）已知線段a=4,b=16,如果線段c是服6的比例中項(xiàng)，那么c的值

是.

3.（23-24九年級(jí)上?陜西渭南?階段練習(xí)）線段a、b、c、d是成比例線段，a=8cm，b=6cm*c=12cmJ

則d的長(zhǎng)為cm.

題型五利用比例的性質(zhì)求值

例5.（23-24九年級(jí)上.全國(guó)?課后作業(yè)）已知?=4,求出，上的值.

yyx+y

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）已知：a:b:c=2:3:5.

（1）求代數(shù)式式二二”的值;

2a+3b—c

(2)如果3a—b+c=48,求〃，b,c的值.

2.⑵3九年級(jí)上?河南駐馬店?階段練習(xí)）（1）如果言=一1，求*

a-b+c—a+b+c1

（2）如果"二------=k,求女的值

a

3.（23-24九年級(jí)上.河北石家莊?期中）已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且々=[=上

abc

（i）求W弛的值；

3c

（2）若△力BC的周長(zhǎng)為81,求三邊a,b,c的長(zhǎng).

題型六黃金分割

6

例6.（23-24九年級(jí)上.河北保定?期末）如圖，已知點(diǎn)C,。都是線段4B的黃金分割點(diǎn)，如果CD=4,那么

48的長(zhǎng)度是（）

IIII

ACDB

A.2V5-2B.6-2V5C.8+4V5D.2+V5

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）寬與長(zhǎng)之比為好匚:1的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形

2

里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

2.（23-24七年級(jí)上?福建龍巖?開學(xué)考試）黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美

學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感，被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.人體上半身長(zhǎng)和下半身長(zhǎng)

的黃金比為0.618:1,這時(shí)人的身長(zhǎng)比例看上去更美觀.樂樂的媽媽上半身長(zhǎng)68厘米，下半身長(zhǎng)104厘米,

她想通過(guò)穿高跟鞋，使身長(zhǎng)的比例更美觀，于是她購(gòu)買了一雙6厘米高的高跟鞋.依據(jù)黃金比，這雙高跟

鞋的高度合適嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2024?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè)）20世紀(jì)70年代初，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)

選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框4BCD分為上下兩部分，BE>AE.已知4B

為2米，則線段BE的長(zhǎng)為一米.

題型七由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值

7

例7.（2024?山西朔州?三模）如圖，在.-ABCD中，點(diǎn)E為力B的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為4D上一點(diǎn)，EF與AC相交于

點(diǎn)、H.若FH=3,EH=6,AH=4,貝UCH的長(zhǎng)為.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，力。是AABC的中線，E是4。上一點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于

F,AABE的面積與ADBE的面積之比是1:3,且2F=2,則FC=.

2.（2024?四川成都?一模）如圖，已知△4BC為等腰三角形，且4B=AC,延長(zhǎng)4B至Q,使得4B：BD=m：n,

連接CD,E是BC邊上的中點(diǎn)，連接4E,并延長(zhǎng)4E交CD與點(diǎn)尸，連接FB,貝悟/：FD=

3.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末）如圖，點(diǎn)￡>,E,歹分別在△ABC的邊上，線=；,DE||BC,EF||AB,

DU3

MN

點(diǎn)〃是。尸的中點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交ZB于點(diǎn)N,求不"的值.

CM

8

題型八利用相似三角形定義求邊長(zhǎng)或角度

例8.（22-23九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，AABCs^CBD,CD=2,AC=3,BC=4,那么4B的值

等于（）

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）已知△￡>￡1/sAABC,且乙4=50。，ZB=40°,貝此尸的度數(shù)是（）

A.50°B.20°C.70°D.90°

2.（24-25九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?開學(xué)考試）兩個(gè)相似三角形的面積比是4:9,其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為36,則

另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.54B.16或81C.54或81D.24或54

3.（22-23九年級(jí)上?云南紅河?期末）如圖，AABC若S-BC：S.B1cl=4：LAB=4,則&&的

長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.4D.8

9

題型九證兩個(gè)三角形相似

例9.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。,。為邊力B上一點(diǎn)，且CD=CA,

過(guò)點(diǎn)D作。ElAB.交8c于點(diǎn)E.求證：4CDEFCBD.

鞏固訓(xùn)練

1.（2022?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AABCWAEBD,連接4E、CD,且點(diǎn)力、E、D在同一條直線上，求

證：AABECBD.

2.（23-24九年級(jí)上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求證:

△ABD-'AACE.

3.（22-23七年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在AaEC中，B為EC上一點(diǎn)、,且滿足NASD=NC=NE.

10

A

D

EBC

⑴求證：4AEB?ABCD；

(2)當(dāng)AE//3D時(shí)，zC=30°,CD=10,求AD的長(zhǎng).

題型十利用相似三角形的判定解實(shí)際問(wèn)題

例10.（23-24九年級(jí)上.河南洛陽(yáng)?期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，

臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的。EF）.小南

利用“矩”可測(cè)量大樹48的高度.如圖，通過(guò)不斷調(diào)整自己的姿勢(shì)和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，

并且邊OE與點(diǎn)B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長(zhǎng)分別為EF=0.2m,DE=0.3根，小南的眼睛到地面的距

離DM為1.6m,測(cè)得AM=21m,求樹高AB.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?河南鶴壁?開學(xué)考試）如圖1,平直的公路旁有一燈桿AB,在燈光下，小麗從燈桿的底

部B處沿直線前進(jìn)4nl到達(dá)。點(diǎn)，在。處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DE=1m.小麗身高CD=1.2m.

⑴求燈桿4B的長(zhǎng);

（2）若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進(jìn)47n到達(dá)G處（如圖2）,求此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng).

11

2.（23-24九年級(jí)上?安徽六安?期末）如圖，AaBC是一塊銳角三角形余料，邊8c=120mm,高AT>=80mm,

要把它加工成矩形零件PQMN,使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、2C上，PQ交AD于8點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)P恰好為4B中點(diǎn)時(shí)，PQ=,

（2）若矩形PNMQ的周長(zhǎng)為220mm，求出PN的長(zhǎng)度.

2.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽(yáng)日月島上“生態(tài)守護(hù)者——徐秀娟”雕像的高度

于是，他們帶著測(cè)量工具來(lái)到雕像前進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，

他從點(diǎn)C沿BC后退,當(dāng)退行0.9米到E處時(shí)，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時(shí)測(cè)得蘇海眼睛到地

面的距離DE為1.2米;然后,蘇海沿BC的延長(zhǎng)線繼續(xù)后退到點(diǎn)G,用測(cè)傾器測(cè)得雕像的頂端A的仰角為45。，

此時(shí)，測(cè)得EG=2.1米，測(cè)傾器的高度FG=1.2米.己知點(diǎn)3、C、E、G在同一水平直線上，且48、DE、

FG均垂直于BG,求雕像的高度AB.

BCEG

題型十一利用相似三角形的判定解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例11.（23-24九年級(jí)上?浙江寧波?期末）如圖，在矩形4BCD中，BC=5cm,AB=12cm，點(diǎn)「從C點(diǎn)出

12

發(fā)沿對(duì)角線4C以lcm/s的速度向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)沿4B以2,cm/s的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng),

若假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,貝U當(dāng)“PB=2NCBP時(shí)，f的值為（）

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?安徽宿州?期中）如圖,在矩形A8CD中，=9,=15,P,。分別是BC,CD上的點(diǎn),CQ=4,

若A4BP與APCQ相似，則BP的長(zhǎng)為（）

A.3或/B.3或12C.3、12或居D.3、12或詈

2.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，NB=90。，AB=8cm，BC=12^^點(diǎn)P從

點(diǎn)4開始沿2B向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P,Q分別

從A3兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，3秒后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0<tW3）秒.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，APBQ的面積為12cm2?

（2）是否存在某一時(shí)間3使得AP8Q和A/IBC相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（23-24九年級(jí)上.湖南衡陽(yáng)?期末）如圖，在ATIBC中，AB=6cm，BC=12cm，ZB=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)4開

13

始沿4B邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從4、

B同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)t=2時(shí)，求APBQ的面積；

(2)當(dāng)t為多少時(shí)，APB。的面積是8cm2?

(3)當(dāng)t為多少時(shí)，APBQ與△ABC是相似三角形?

題型十二利用相似三角形的判定證線段數(shù)量關(guān)系

例12.(2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))正方形ABCD中，以48為邊作等邊三角形4BE,連接OE交力C于尸,

交4B于G,連接BF.求證:

(l)XF+BF=EF-,

⑵親+表=》

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)在△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上,E是線段4。的中點(diǎn)，過(guò)A作4F||BC,

交線段CE的延長(zhǎng)線于凡連接BF,且BFII4D.

14

⑴如圖1,求證：BD=CD

(2)如圖2,設(shè)AB、CF交于點(diǎn)G,H是線段BG的中點(diǎn)，連接若4B=4C,在不添加任何輔助線和字母

的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四個(gè)面積等于^AFG面積3倍的三角形.

2.(2024.安徽宣城.三模)如圖1,在AABC中，點(diǎn)。為4C的中點(diǎn)，點(diǎn)P為射線C4上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,A

重合)，分別過(guò)點(diǎn)A,C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,連接DE,DF,ADFE=30°.

(1)當(dāng)PD=P4時(shí)，CF=kAE,則k的值為

(2)當(dāng)點(diǎn)P在4。邊上時(shí)，求證：DE+AE=CF；

(3)如圖2,當(dāng)乙48c為鈍角，且點(diǎn)P在C4延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想DE,AE,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.(2024?貴州黔東南.二模)如圖，已知矩形48CD中，E是4。上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作E7FEC交邊4B于點(diǎn)F,

交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且EF=EC.

(1)求證：CD=4E；

(2)若DE=4cm，矩形力BCD的周長(zhǎng)為32cm，求CG的長(zhǎng).

題型十三利用相似三角形的判定求比值

例13.(23-24九年級(jí)上.上海.階段練習(xí))如圖，過(guò)△力8c頂點(diǎn)C作直線與4B與及中線4。交于尸、E,過(guò)。

15

作DM||FC交力B于M.

(\)若S^AEF；S四邊形MDEF=2:3,求AE：ED的值;

(2)求證：AE-FB=2AF?ED.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?貴州黔南?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC,ABDE都是等腰直角三角形，^ABC=^DBE=90°,AB=BC,

BE=BD.

圖3

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B,C,E在同一條直線上時(shí)，2E與CD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

【問(wèn)題探究】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)4,C,E在同一條直線上時(shí)，BE,CD交于點(diǎn)F,若AB=BC=&,BE=BD=3A/2,

求案的值；

BF

【拓展延伸】

(3)如圖3,連接CE,AD,G是線段CE的中點(diǎn)，連接BG,求學(xué)的值.

AD

16

2.(23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))在Rt^aBC中,Z.BAC=90°,AC=點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn),

連接2D,過(guò)2作BE1力。于點(diǎn)E.

(2)如圖2,當(dāng)。是8c中點(diǎn)，n=2時(shí).求:的值;

(3)如圖3,若H=32BD=3CD,求〃.

3.(2024?貴州遵義?二模)圖①，在正方形2BCD中，點(diǎn)E是邊上一4B動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿DE折疊，點(diǎn)4落在

正方形內(nèi)部的點(diǎn)F處,連接AF并延長(zhǎng)，交8c于點(diǎn)G.

圖②備用圖

⑴判斷4E與BG的數(shù)量關(guān)系為二

(2)【應(yīng)用】如圖①，延長(zhǎng)OF交BC于點(diǎn)

①證明：乙HFG=AFGH；

②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的長(zhǎng)度;

(3)【拓展】如圖②，將正方形改成矩形，其中AD=2CD,將矩形沿DE折疊，使點(diǎn)2落在點(diǎn)F處(矩形內(nèi)部),

連接AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)DF交直線BC于點(diǎn)若HB=3a,HF=5a,直接寫出工的值.

題型十四利用相似三角形的判定證等積式

17

例14.（2021.浙江杭州.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AB^AC,AD1BC^D,作DE1AC于E,尸是力B中

點(diǎn)，連EF交4。于點(diǎn)G.

⑴求證：AD2=AB-AE；

(2)若4B=5,AE=4,求DG的值.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)下.浙江溫州.開學(xué)考試）如圖，四邊形2BC0是平行四邊形，點(diǎn)E是B4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連

結(jié)DE,BD,CE,CE分另1J與AD,BD交于點(diǎn)F,G.

(1)若BE=3CD,BC=12,求AF的長(zhǎng).

(2)求證：GC2=GF-GE.

2.（23-24九年級(jí)上?上海?期中）如圖，在△力BC中，。是BC上的點(diǎn)，E是4D上一點(diǎn)，且

18

(1)求證:"2=BC?CD；

⑵若E是A4BC的重心,求4c2：AU的值.

3.(23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí))如圖，在菱形4BCD中，點(diǎn)尸在邊CD上，連接題并延長(zhǎng)，交對(duì)角線BD于

點(diǎn)E、BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G.

(1)求證：2E是EG、EF的比例中項(xiàng);

(2)若BC=6,DF=4,求箓的值.

題型十五利用相似三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

例15.(2024?安徽?一模)如圖，在中，ZACB=90°,AB=2,若點(diǎn)D為直線AC左側(cè)一點(diǎn)，^i^ABC-

△C4D時(shí)，則BC+CD的最大值為()

A.|B.|C.君D.當(dāng)

鞏固訓(xùn)練

19

1.（23-24九年級(jí)上.內(nèi)蒙古包頭.期中）如圖，在Rt"4BC紙片中，乙4c8=90。,/。=4,8。=3,RE分別

在A民AC上，連結(jié)。E,將△ZDE沿。E翻折，使點(diǎn)Z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在的延長(zhǎng)線上，若FO平分4貝加。=

()

25251520

A.B.C.D.

9877

2.（2023?福建南平?二模）在等邊三角形/BC中，點(diǎn)D,E分別是邊48,AC的中點(diǎn)，若△4BC的周長(zhǎng)為12,

則△ZDE的周長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.6D.9

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在中，。為BC上一點(diǎn)，ZBAD=/C.

A

⑴求證：LABD-^CBA；

(2)若AB=6,BD=3,求CD的長(zhǎng).

題型十六利用相似三角形的性質(zhì)求面積

例16.（2024.四川廣元.一模）如圖，在內(nèi)"48。中，^ACB=90°,根據(jù)步驟作圖：①分別以點(diǎn)A,。為圓

心，大于稱AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N；②作直線MN,交于點(diǎn)。，交4C于點(diǎn)E.若S-BC=9,

則S-OE=（）

20

927

A.2B.-C.3D.-

44

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.甘肅武威.一模）如圖，在平行四邊形/BCO中，如果點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，若已知S“MN=3,那么

S—ON等于（）

D.3

9

2.（23-24九年級(jí)上?福建漳州?期末）如圖，矩形。ZBC的對(duì)角線。B與反比例函數(shù)y=—（%>0）相交于點(diǎn)D,

x

().

2

-1

3.（23-24九年級(jí)上.吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖△4BC的兩條中線A。、BE交于點(diǎn)。，連結(jié)M。并

延長(zhǎng)M。交4?于點(diǎn)N,若SAOMD=1，則又MCN=（）

21

A

題型十七網(wǎng)格中的位似變換

例17.(24-25七年級(jí)上?山東臨沂?開學(xué)考試)把三角形A向右平移5格，得到三角形&將三角形A按1：2

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè))如圖，AABC在方格紙中.

(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使4(2,3),C(6,2),并求出8點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以原點(diǎn)為位。似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將A/IBC放大，畫出放大后的圖形△4'B'C'；

(3)計(jì)算△A'B'C'的面積S.

2.(23-24八年級(jí)下.江蘇?期末)如下圖所示，在10x10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,三角

22

形均為格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

（1）如圖1,△ABC繞某一點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到△A'B'C',則點(diǎn)P,Q,M,N四個(gè)點(diǎn)中為旋轉(zhuǎn)中

心是點(diǎn);

（2）如圖2,以點(diǎn)。為位似中心，把△ABC按相似比2:1放大，得到（其中點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

點(diǎn)。，E,F）.

①在圖2中畫出ADEF；

@ADEF的面積為.

3.（2023?安徽淮北?二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)線段42和格

點(diǎn)O（格點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

⑴以點(diǎn)。為位似中心，利用網(wǎng)格將線段AB放大2倍得到線段畫出線段&Bi；

⑵以線段2/1為邊畫格點(diǎn)平行四邊形

題型十八位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的位似變化

23

例18.(23-24九年級(jí)上?四川宜賓.期末)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(1,-1)、

B(4,—3)、C(4,-l).

(1)畫出△ABC關(guān)于無(wú)軸成軸對(duì)稱的△4/16；

(2)在第一象限內(nèi)，畫出以點(diǎn)。為位似中心并擴(kuò)大到原來(lái)的3倍的△兒外6；

(3)寫出點(diǎn)4、品的坐標(biāo).

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級(jí)上.江蘇徐州?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AaBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(-2,2),B(-4,0),C(-4,-4).

(1)在〉軸右側(cè)，以。為位似中心，畫出夕「，使它與△ABC的相似比為1:2；

(2)寫出△力BC面積=_；△4B'C'面積=_.

24

2.(23-24九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為2(-2,4),B(4,4),

C(6,0).

(1)以原點(diǎn)。為位似中心，畫夕。，使它與AABC的相似比為1:2,變換后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4、

8',點(diǎn)B'在第一象限;

(2)若P(a,b)為線段BC上的任一點(diǎn)，則變換后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為

3.(24-25九年級(jí)上?山東聊城?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△4BC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為力(-2,1)、

B(-3,2)、C(-l,4).

⑴以原點(diǎn)。為位似中心，在第二象限內(nèi)畫出將△2BC放大為原來(lái)的2倍后的△A/Ci.

⑵畫出△ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的4A2B2C.

題型十九位似中心不是坐標(biāo)原點(diǎn)的位似變化

例19.(23-24九年級(jí)上?湖南郴州?期中)已知：A4BC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(0,3),

25

B(3,4),C(2,2).(正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位).

(1)畫出△A8C向下平移4個(gè)單位得到△&B1Q；

(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△/I2BC2,使AAzBCz與A4BC位似，且位似比為2:1,并寫出Q點(diǎn)的坐

標(biāo)及△4BC2的面積.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級(jí)上.湖南郴州?期末)將△ABC作下列變化，請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形.

(1)向上平移4個(gè)單位；

(2)以4點(diǎn)為位似中心，相似比為2.

2.(23-24九年級(jí)上.湖南衡陽(yáng).期末)將圖中的△4BC作下列變換，畫出相應(yīng)的圖形:

26

（1）關(guān)于y軸對(duì)稱圖形；

⑵以B點(diǎn)為位似中心，將4A8C放大到2倍.

3.（23-24八年級(jí)下?山東淄博?期末）如圖，已知點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，小方格的邊長(zhǎng)為1,A,B,C都在格點(diǎn)

上，邊BC與y軸交于點(diǎn)M.

⑴以點(diǎn)M為位似中心，在無(wú)軸的上方將△ABC放大到原圖的2倍，（即新圖與原圖的相似比為2）,畫出對(duì)

應(yīng)的（頂點(diǎn)用實(shí)心黑點(diǎn)標(biāo)記一下）；

（2）直接寫出四邊形力B'A'C'的面積：.

題型二十利用位似圖形的性質(zhì)求相似比、周長(zhǎng)或面積

27

例20.(23-24八年級(jí)下.江蘇蘇州?階段練習(xí))已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示:

⑴在圖中畫出AABC沿x軸翻折后的AaiBiCi；

⑵以點(diǎn)M(l,2)為位似中心，在第一象限畫出與AABiG位似的三角形A4B2c2，使△482C2與△4/IG的

相似比為2:1；

(3)點(diǎn)4的坐標(biāo)；△ABC與△482C2的周長(zhǎng)比是，△48C與△a2%。2的面積比是

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(-1,2),B(-4,3),

C(-3,l).

⑴以點(diǎn)8為位似中心，在點(diǎn)2的下方畫出△&BG，使△&1BQ與ANBC位似，且位似比為2:1；

⑵求四邊形CCi&A的面積.

2.(23-24九年級(jí)上?陜西榆林?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△力BC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(-2,2),

28

B(-2,0),C(-l,2).

⑴以原點(diǎn)。為位似中心，在第四象限畫一個(gè)△A/iQ,使△&B1Q與AABC的相似比為2:1；點(diǎn)的的坐標(biāo)為

(2)若44BC的周長(zhǎng)是(3+V5)cm，則△ABiG的周長(zhǎng)為,

3.(23-24九年級(jí)下?湖南郴州?開學(xué)考試)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A/IBC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上.

⑴以。點(diǎn)為位似中心，位似比為2,將AABC放大為△力iBiG，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫出△4/16；

(2)若ANBC,AaiBiCi的面積為S、S],寫出S,S]的數(shù)量關(guān)系.

29

第二十二章相似形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

相似圖形｛形狀相同的兩形

兩個(gè)2度娟同,對(duì)應(yīng)角碼，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相

相似多邊形等的條邊形］用引以多邊形

相＜以比｛相1炫邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比口收蜘雙或相1以系數(shù)

成比例線段EE騷境豺，颼兩融酸的8^另夕隔條

愛段的比，這四條殘段叫成比例踐段

把一■成兩部分，較長(zhǎng)統(tǒng)段與金盆段3g

黃金分割于場(chǎng)朝段與較長(zhǎng)送級(jí)的比，西鈿底段分割打

6S金分割，分割點(diǎn)口微這轉(zhuǎn)段的黃金分割點(diǎn)

平行線分線段同設(shè)制｛兩條族g一組平行或所前所得的對(duì)應(yīng)鰥成比例

相似形Y

相/以三角形兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角夠，對(duì)應(yīng)由成比例，I—

兩個(gè)三角形相似

平行于三角形一3遁逢與另兩邊相交，斫截三角形

"與原三角形相似

兩?曲兩個(gè)以

福旺角形的判定?碗對(duì)應(yīng)雌例，品超第，兩個(gè)E角—以

三邊對(duì)應(yīng)神例，兩個(gè)三角形樹以

形，

兩個(gè)三角形相1以

r對(duì).役夠，對(duì)￡S^ttS￥?1妣

對(duì)應(yīng)高的比對(duì)應(yīng)中維ttS］對(duì)應(yīng)角平分維

、?科旺角形的性質(zhì)一妣

對(duì)應(yīng)局長(zhǎng)的厘F相似比

'對(duì)應(yīng)面積的比等于相似tt的平方

30

02知識(shí)速記

一、相似圖形、相似多邊形、相似比

1、相似圖形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形.

2、相似多邊形：一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那

么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3、相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù).

二、成比例線段

1、兩條線段的比：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去度量?jī)蓷l線段a、b,得到它們的長(zhǎng)度，我們把這兩條線段長(zhǎng)度

的比叫做這兩條線段的比，記作?或a:b.

2、成比例線段：在四條線段a、Ac、d中，如果其中兩條線段a、b的比，等于另外兩條線段c、d的比，

即￡=“或a：b=c:d),那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.這時(shí)，線段a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，

線段a,d叫做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

3、比例中項(xiàng)：如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條直線是相等的，即線段a、b、c之間有a：b=b：c,那么線段b

叫做線段a、b的比例中項(xiàng).

三、比例的性質(zhì)

1、合比性質(zhì)：如果?=。，那么看=審d#0)

bdbd

2、等比性質(zhì):如琮琮且瓦+歷+…+“力o,那么4

四、黃金分割

把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金

分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值等叫做黃金數(shù)L條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

五、平行線分線段成比例

1、基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

2、基本事實(shí)的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

31

六、相似三角形

1、相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所截三角形與原三角形相似;

(2)兩組對(duì)應(yīng)角相等，兩個(gè)三角形相似；

(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個(gè)三角形相似；

(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；

(5)兩直角三角形，一組斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

2、相似三角形的性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；

(2)對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

(3)對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比；

(4)對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

03題型歸納

題型一相似多邊形

例1.(23-24九年級(jí)上.上海黃浦?期末)下列命題中，真命題是()

A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)