山東省名?？荚嚶?lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省名校考試聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)?姓名?考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分；共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，.故選：B2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，解得：或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.函數(shù)在上的最小值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD；而，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)C符合題意.故選：C5.已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則所有可能的取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，是正整數(shù)，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，無解；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，解得，顯然不可能為奇數(shù)，否則為偶數(shù)，因此為偶數(shù)，，解得；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，解得，若為奇數(shù)，則，無解，若為偶數(shù)，則，解得，所以所有可能的取值的集合為.故選：C6.已知，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故選：D7.已知，若函數(shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，解得，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由題意可得，，，，解得.故選：A.8.祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出了祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知雙曲線，若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線在第一、三象限的漸近線，過點(diǎn)作軸于，交直線于點(diǎn)，在線段上任取點(diǎn)，作軸于，交雙曲線及直線分別于點(diǎn)，依題意，點(diǎn)，令點(diǎn)，，則，點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得同心圓面積分別為，對(duì)應(yīng)圓環(huán)面積為定值，由祖暅原理知，平面封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面半徑為1，高為3的圓柱的體積，則，所求體積的幾何體可視為矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱體積減去，再減去繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積，而，，所以所求的體積為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由，可得，對(duì)于A，由于，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，所以，B正確；對(duì)于C，由于，所以，則，C正確；對(duì)于D，由于，所以，,故D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)B.C.若，則的最大值為D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，所以，，所以，所以B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)對(duì)應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由奇函數(shù)，得，則，由的圖象關(guān)于對(duì)稱，，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，由的圖象關(guān)于對(duì)稱，得點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，C正確；對(duì)于B，由為奇函數(shù)，得，則，于是，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，因此，即，B正確；對(duì)于D，由，得，而，則，因此，D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】##【解析】由，得.故答案為：13.在等腰直角中，已知，若滿足與交于點(diǎn)，則在上的投影向量的模為__________.【答案】3【解析】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，由，得，由點(diǎn)在上，設(shè)，則點(diǎn)，于是，而，由點(diǎn)在上，得，因此，解得，點(diǎn)，，又所以在上的投影向量的模為.故答案為：314.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，且，都有成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，求導(dǎo)可得，令，令，求導(dǎo)可得，令，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.所以，即，由題意可得函數(shù)單調(diào)遞增，則，由，則，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.證明：（1）由題意得，，因?yàn)椋?，又，因此，?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；則，所以，.（2）由（1）得：，所以.16.記的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）是上的點(diǎn)，平分，且，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，，因?yàn)?、，所以，，，?（2）由題意可得，所以，，即，所以，，因?yàn)?，由余弦定理可得，即，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，的面積為.17.如圖，已知等腰梯形分別為的中點(diǎn)，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且滿足.（1）證明：平面；（2）設(shè)二面角的平面角為，在四邊形翻折過程中，是否存在，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）證明：在線段取一點(diǎn)，使得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面?）存在，理由如下：因?yàn)榈妊菪畏謩e是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，所以，，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，解得，因?yàn)?，所?18.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處切線與軸平行，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；（3）證明：.解：（1）因?yàn)?，則，由題意可知，，解得.（2），對(duì)于函數(shù)，有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，可得，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，故該定義域關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，故函?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以曲線是軸對(duì)稱圖形.（3）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，取，可得，于是，即，所以，，故.19.對(duì)于一個(gè)元正整數(shù)集，如果它能劃分成個(gè)不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，則稱這個(gè)偶數(shù)為可分?jǐn)?shù).例如，由于二元子集滿足，則稱2為可分?jǐn)?shù).（1）判斷4和6是否為可分?jǐn)?shù)，并說明理由；（2）求小于81的最大可分?jǐn)?shù)；（3）記小于的可分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為，令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.解：（1）令，①，；②，；③，，綜上所述，不是可分?jǐn)?shù)，令，，由，，則是可分?jǐn)?shù).（2）由，且，則令，由，且，則是小于最大的可分?jǐn)?shù).（3）證明：設(shè)偶數(shù)為可分?jǐn)?shù)，則存在使得，由可知二元子集中兩元素和的最大值為，于是集合中所有大于等于的整數(shù)所在二元子集中兩元素之和均為，于是必定與在同一個(gè)二元子集中，必定與在同一個(gè)二元子集中，必定與在同一個(gè)二元