《集合區(qū)間鄰域》課件

《集合區(qū)間鄰域》課程大綱集合概念回顧集合的基本概念：元素、子集、交集、并集、差集、補(bǔ)集等鄰域概念鄰域的概念：開鄰域、閉鄰域、點(diǎn)集的鄰域、開球和閉球等集合性質(zhì)聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、閉包、極限點(diǎn)、精密性、緊集、稠密集等拓?fù)湫再|(zhì)鄰域的拓?fù)湫再|(zhì)：連通性、連通域、分離公理、拓?fù)淇臻g的定義、基本定理、同構(gòu)、子空間拓?fù)浼细拍罨仡櫦隙x集合是由一些確定的、具體的、不同的對象的總體。集合表示集合可以用列舉法、描述法和圖示法表示。集合關(guān)系集合之間存在包含、相等、并集、交集等關(guān)系。鄰域概念點(diǎn)集在數(shù)學(xué)中，鄰域是包含特定點(diǎn)的點(diǎn)集圓形鄰域以特定點(diǎn)為中心的圓形區(qū)域方形鄰域以特定點(diǎn)為中心的方形區(qū)域開集和閉集開集一個集合被稱為開集，如果它不包含任何邊界點(diǎn)。閉集一個集合被稱為閉集，如果它包含所有邊界點(diǎn)。開集與閉集的關(guān)系一個集合既是開集又是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)它是空集或整個空間。集合上的距離1距離定義在集合中，距離指的是兩個元素之間的差異大小，通常用一個非負(fù)實(shí)數(shù)來表示。2距離性質(zhì)距離滿足一些基本性質(zhì)，包括非負(fù)性、對稱性、三角不等式等。3距離度量不同的距離度量方式可以反映不同類型的差異，例如歐幾里得距離、曼哈頓距離等。開球和閉球開球在度量空間中，以某一點(diǎn)為中心，以某一正數(shù)為半徑的開球是一個集合，該集合包含了所有距離中心點(diǎn)小于該半徑的點(diǎn)。閉球在度量空間中，以某一點(diǎn)為中心，以某一正數(shù)為半徑的閉球是一個集合，該集合包含了所有距離中心點(diǎn)小于等于該半徑的點(diǎn)。開鄰域和閉鄰域1開鄰域包含點(diǎn)x的開球2閉鄰域包含點(diǎn)x的閉球3鄰域既是開鄰域也是閉鄰域聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)1聚點(diǎn)對于一個集合中的點(diǎn)，如果該點(diǎn)存在一個以其為中心的任意小的開鄰域，這個開鄰域中始終包含除該點(diǎn)本身外的其他點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為該集合的聚點(diǎn)。2孤立點(diǎn)與聚點(diǎn)相反，如果一個集合中的點(diǎn)存在一個以其為中心的開鄰域，這個開鄰域中不包含除該點(diǎn)本身外的其他點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為該集合的孤立點(diǎn)。集合的內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)x是集合S的內(nèi)點(diǎn)，如果存在一個以x為中心的鄰域，完全包含在S中。邊界點(diǎn)點(diǎn)x是集合S的邊界點(diǎn)，如果以x為中心的任意鄰域，都包含屬于S的點(diǎn)和不屬于S的點(diǎn)。集合的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義集合的導(dǎo)數(shù)由所有集合的聚點(diǎn)組成。也就是說，導(dǎo)數(shù)集合中的點(diǎn)是該集合的極限點(diǎn)。極限點(diǎn)一個點(diǎn)是集合的極限點(diǎn)，如果該點(diǎn)在集合中，或者該點(diǎn)是集合的聚點(diǎn)。閉包的概念集合的閉包一個集合的閉包是指包含該集合本身及其所有極限點(diǎn)的最小閉集。它表示該集合的“閉合”程度，即包含了所有接近該集合的點(diǎn)。閉包的意義閉包的概念在拓?fù)鋵W(xué)中非常重要，它可以幫助我們理解集合的邊界、連續(xù)性和收斂性等重要概念。閉包也可以用于定義一些重要的拓?fù)湫再|(zhì)，例如緊致性。閉包的性質(zhì)包含性閉包包含自身的所有點(diǎn)。封閉性閉包包含自身的所有極限點(diǎn)。最小性閉包是包含自身所有點(diǎn)的最小閉集。集合的極限點(diǎn)定義若點(diǎn)x不屬于集合A，但存在A中的點(diǎn)列{xn}，使得當(dāng)n趨于無窮大時，xn趨于x，則稱x為A的極限點(diǎn)。解釋極限點(diǎn)可以理解為集合A的邊界點(diǎn)，它們雖然不屬于A，但可以無限接近A。換句話說，極限點(diǎn)是A的"臨界點(diǎn)"，它們決定了A的"形狀"和"邊界"。集合的精密性集合的精密性是指一個集合中所有點(diǎn)都緊密地聚集在一起，沒有“空隙”。精密性可以用于描述集合的“緊湊程度”，即集合中所有點(diǎn)之間的距離是否足夠小。精密性與集合的邊界密切相關(guān)，一個精密集合的邊界可能很小或不存在。緊集與非緊集緊集在拓?fù)淇臻g中，如果集合中的任意一個無窮序列都存在收斂子序列，那么這個集合就叫做緊集。非緊集反之，如果集合中存在一個無窮序列，它沒有收斂子序列，那么這個集合就叫做非緊集。稠密集與非稠密集稠密集在拓?fù)淇臻g中，如果一個集合的閉包等于整個空間，則該集合稱為稠密集。非稠密集在拓?fù)淇臻g中，如果一個集合的閉包不是整個空間，則該集合稱為非稠密集。鄰域的拓?fù)湫再|(zhì)1開放性任何一個點(diǎn)的鄰域都是一個開集。2包含性如果一個集合是另一個集合的鄰域，那么它一定包含這個集合。3有限覆蓋性任何一個點(diǎn)的鄰域都可以被有限個開集覆蓋。鄰域的基本結(jié)構(gòu)點(diǎn)集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)鄰域是點(diǎn)集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，定義了拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的“附近”區(qū)域。開集和閉集鄰域用于定義開集和閉集，它們構(gòu)成拓?fù)淇臻g的基本元素。聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)鄰域幫助區(qū)分聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）和孤立點(diǎn)，它們對理解集合的性質(zhì)至關(guān)重要。連通性與連通域連通性一個拓?fù)淇臻g，如果不能被分成兩個互不相交的非空開集，則稱為連通的。連通域一個連通的拓?fù)淇臻g中的一個最大連通子集稱為連通域。分離公理T0公理對于任意兩個不同的點(diǎn)x和y，存在一個開集包含x但不包含y，或存在一個開集包含y但不包含x。T1公理對于任意兩個不同的點(diǎn)x和y，存在兩個開集分別包含x和y，且這兩個開集沒有交集。T2公理(Hausdorff公理)對于任意兩個不同的點(diǎn)x和y，存在兩個不相交的開集，分別包含x和y。T3公理(正則性)對于任意一點(diǎn)x和包含x的閉集F，存在兩個不相交的開集，分別包含x和F。拓?fù)淇臻g的定義1集合拓?fù)淇臻g是一個集合X，它包含所有點(diǎn)。2拓?fù)渫負(fù)涫且粋€集合τ，它包含X的子集，稱為開集。開集必須滿足以下條件：3條件空集和X本身都屬于τ。4條件τ中任何有限個開集的交集也屬于τ。5條件τ中任何開集的并集也屬于τ。拓?fù)淇臻g的一些例子拓?fù)淇臻g的例子有很多，下面列舉幾個常見的例子：離散拓?fù)淇臻g：任何子集都是開的，因此是閉的。所有子集都是開集和閉集。平凡拓?fù)淇臻g：只有空集和整個空間是開的，因此是閉的。只有空集和整個空間是開集和閉集。歐氏空間：歐氏空間是帶有一個度量（距離函數(shù)）的拓?fù)淇臻g。對于一個集合，它包含所有包含它的開球的并集。子空間拓?fù)洌和負(fù)淇臻g的一個子集可以誘導(dǎo)一個子空間拓?fù)洹３朔e拓?fù)洌簝蓚€拓?fù)淇臻g的乘積可以誘導(dǎo)出一個乘積拓?fù)?。拓?fù)淇臻g基本定理連續(xù)性拓?fù)淇臻g上的連續(xù)函數(shù)在同胚映射下保持連續(xù)性。開集拓?fù)淇臻g的開集在同胚映射下保持開集的性質(zhì)。閉集拓?fù)淇臻g的閉集在同胚映射下保持閉集的性質(zhì)。拓?fù)淇臻g的同構(gòu)1定義兩個拓?fù)淇臻g之間的雙射映射，如果它和它的逆映射都是連續(xù)的，那么這兩個拓?fù)淇臻g稱為同構(gòu)。2意義同構(gòu)是拓?fù)淇臻g之間的等價關(guān)系，這意味著兩個同構(gòu)的拓?fù)淇臻g在拓?fù)湫再|(zhì)上是相同的。3例子實(shí)數(shù)軸上的開區(qū)間(0,1)和開區(qū)間(1,2)是同構(gòu)的。子空間拓?fù)渥涌臻g拓?fù)涠x設(shè)\(X\)是一個拓?fù)淇臻g，\(Y\)是\(X\)的一個子集，\(Y\)上的子空間拓?fù)涫侵赣蒤(X\)上的開集與\(Y\)的交集生成的拓?fù)?。子空間拓?fù)湫再|(zhì)子空間拓?fù)淅^承了\(X\)上的拓?fù)湫再|(zhì)，例如開集、閉集、連續(xù)性等。函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有許多重要的性質(zhì)，例如：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上取得最大值和最小值。應(yīng)用連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。連續(xù)映射的性質(zhì)保連通性連續(xù)映射保持集合的連通性。如果一個集合是連通的