2021-2022學年上海市浦東新區(qū)建平中學高三(上)期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學年上海市浦東新區(qū)建平中學高三（上）期中數(shù)學試卷一、填空題（本大題共12題，滿分36分）只要求直接填寫結果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題毎個空格填對得5分，否則一律得零分.1．（3分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜1}，則A∩B＝．2．（3分）方程在x∈[0，π]上的解為．3．（3分）1與3的等比中項是．4．（3分）已知0＜x＜1，使得取到最大值時，x＝．5．（3分）函數(shù)y＝3x﹣1（x≥1）的反函數(shù)是．6．（3分）雙曲線x2﹣y2＝1的兩條漸近線的夾角的弧度數(shù)為．7．（3分）函數(shù)y＝lgsinx的單調(diào)遞增區(qū)間是．8．（3分）從集合A＝{﹣1，1，2}中隨機選取一個數(shù)記為k，從集合B＝{﹣2，1，2}中隨機選取一個數(shù)記為b，則直線y＝kx+b不經(jīng)過第三象限的概率為．9．（3分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，Sn表示{an}的前n項和，若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則a1的取值范圍是．10．（3分）過拋物線C：y2＝2x的焦點F，且斜率為的直線交拋物線C于點M（M在x軸的上方），l為拋物線C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為．11．（3分）我們將函數(shù)圖像繞原點逆時針旋轉θ（0≤θ≤2π）后仍為函數(shù)圖像的函數(shù)稱為JP函數(shù)，θ為其旋轉角，若函數(shù)為JP函數(shù)，則其旋轉角θ所有可取值的集合為．12．（3分）已知數(shù)列{an}、{bn}、{cn}的通項公式分別為、、，其中n+s+t＝200，s＝kn，n，s，t，k∈N*，令Mn＝max{an，bn，cn}（max{an，bn，cn}表示an、bn、cn三者中的最大值），則對于任意k∈N*，Mn的最小值為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）13．（3分）高三年級有11名同學參加男子百米競賽，預賽成績各不相同，要取前6名參加決賽，小明同學已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進入決賽，他還需要知道11名同學成績的（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差14．（3分）設函數(shù)f（x）＝asinx+cosx（a為常數(shù)），則“a＝0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件15．（3分）將函數(shù)的圖像上的各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再沿著x軸向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．16．（3分）太極圖被稱為“中華第一圖”，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美．現(xiàn)定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，設圓O：x2+y2＝1．下列說法正確的是（）①函數(shù)y＝x3是圓O的一個“太極函數(shù)”；②函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”；③函數(shù)f（x）的圖像關于原點中心對稱是f（x）為圓O的“太極函數(shù)”的充要條件；④圓O的所有非常值函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)．A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉一周形成圓柱，如圖，長為π，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側．（1）求三棱錐C﹣O1A1B1的體積；（2）求異面直線B1C與AA1所成的角的大?。?8．某市民活動中心內(nèi)有一塊以O為圓心半徑為20米的半圓形區(qū)域，為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設計方案：如圖，在半圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺，舞臺為扇形OAB區(qū)域，其中兩個端點A、B分別在圓周上，觀眾席為等腰梯形ABQP內(nèi)且在半圓O外的區(qū)域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝，且AB、PQ在點O的同側，為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)每一個觀眾到舞臺中心O處的距離都不超過60米（即要求PO≤60），設∠OAB＝α，．（1）當α＝時，求舞臺表演區(qū)域的面積及AB的長；（2）對于任意α，上述設計方案是否均能符合要求？19．設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，已知4Sn＝an2+2an+1（n∈N*）．（1）證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項公式；（2）若P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、Pn（an，bn）（n∈N*）都在函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）的圖像上，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求的值．20．已知橢圓Γ：，其長軸長為短軸長的倍，且兩焦點距離為2，點P（﹣2，0）．（1）求橢圓的方程；（2）過點P的直線交橢圓Γ于M、N兩點，O為坐標原點，求△MNO面積的最大值，并求此時直線的方程；（3）已知斜率為k的直線l交橢圓Γ于A、B兩點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D，且直線CD過點，求k的值．21．已知函數(shù)y＝g（x），y＝h（x），定義函數(shù)F（x）＝．（1）設函數(shù)g（x）＝，h（x）＝log2x（x＞0），求函數(shù)y＝F（x）的值域；（2）設函數(shù)，h（x）＝e|x+t|﹣2（1≤x≤3），當1≤x≤3時，恒有F（x）＝g（x），求實常數(shù)t的取值范圍；（3）設函數(shù)g（x）＝，h（x）＝，k為正常數(shù)，若關于x的方程F（x）＝b（b為實常數(shù)）恰有三個不同的解，求k的取值范圍及這三個解的和（用k表示）．

2021-2022學年上海市浦東新區(qū)建平中學高三（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分36分）只要求直接填寫結果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題毎個空格填對得5分，否則一律得零分.1．【解答】解：∵B＝{x|x2＜1}＝（﹣1，1），A＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0}．故答案為：{0}．2．【解答】解：因為，x∈[0，π]，所以x＝arccos．故答案為：arccos．3．【解答】解：1與3的等比中項．故答案為：．4．【解答】解：根據(jù)題意，當0＜x＜1時，x（1﹣x）≤[]2＝，當且僅當（1﹣x）＝x，即x＝時等號成立；此時取到最大值，則當x＝時，取到最大值；故答案為：．5．【解答】解：y＝3x﹣1（x≥1），y∈[1，+∞），得x﹣1＝log3y，x，y對換，得y＝1+log3x，x∈[1，+∞），故答案為：y＝1+log3x，x∈[1，+∞）．6．【解答】解：雙曲線x2﹣y2＝11的兩條漸近線的方程為：y＝±x，所對應的直線的傾斜角分別為45°、135°，∴雙曲線x2﹣y2＝1的兩條漸近線的夾角為90°，故答案為：．7．【解答】解：函數(shù)y＝lgsinx的單調(diào)遞增區(qū)間，即t＝sinx在滿足t＞0時，t的增區(qū)間．由正弦函數(shù)的圖象可得，t＞0時，t的增區(qū)間為（2kπ，2kπ+]，k∈Z．故答案為：（2kπ，2kπ+]，k∈Z．8．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件k∈A＝{﹣1，1，2}，b∈B＝{﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的結果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9種結果．而當時，直線不經(jīng)過第三象限，符合條件的（k，b）有2種結果，∴直線不過第四象限的概率P＝，故答案為．9．【解答】解：若數(shù)列{sn}是遞增數(shù)列，即是說，對于任意的正整數(shù)n，都有Sn＜Sn+1成立，移向即為an+1＞0，∴a1+2n＞0，a1＞﹣2n．只需要a1大于﹣2n的最大值即可．當n＝1時，﹣2n取得最大值﹣2，所以a1＞﹣2，a1的取值范圍是（﹣2，+∞）故答案為：（﹣2，+∞）10．【解答】解：拋物線C：y2＝2x的焦點F（，0），且斜率為的直線方程為，所以，整理得12x2﹣20x+3＝0，解得，當x＝時，解得y＝，設點M（），l為拋物線C的準線，點N在l上且MN⊥l，所以N（），所以NF的直線方程，所以當M（）到直線的距離d＝．故答案為：11．【解答】解：函數(shù)的圖像為如圖所示的一段圓弧AB，其所對的圓心角為∠AOB＝，若該函數(shù)圖像繞原點逆時針旋轉θ（0≤θ≤2π）后不再是函數(shù)，則其旋轉后的圖像必存在垂直于x軸的切線，且切點異于弧AB的端點A，B，由圖像可知，若∠COD＝，則當點A自C向D運動（不包含C，D）時，圖像存在垂直于x軸的切線，此時；若∠EOF＝，則當點A自E向F運用（不包含E，F(xiàn)）時，圖像存在垂直于x軸的切線，此時；所以若函數(shù)為JP函數(shù)，其旋轉角θ（0≤θ≤2π）所有可能的取值集合為．故答案為：．12．【解答】解：當k＝2時，可得，因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當時，Mn取得最小值，此時，因為，而，，又，所以當k＝2時，Mn的最小值為，當k＝1時，，因為數(shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當時，Mn取得最小值，此時，因為，而，，此時Mn的最小值為，而，當k≥3時，，所以，令，因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以時，取得最小值，此時，因為，，，又因為，此時Mn的最小值為，綜上所述，Mn的最小值為，故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）13．【解答】解：11個不同的成績按照從小到大的順序排序后，中位數(shù)就是第六名的成績，小明即可判斷自己是否進入決賽．故選：C．14．【解答】解：若a＝0，則f（x）＝cosx，是偶函數(shù)，充分性成立；若f（x）為偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x），即﹣asinx+cosx＝asinx+cosx，即2asinx＝0，解得a＝0，必要性成立，故“a＝0”是“f（x）為偶函數(shù)”的充要條件．故選：C．15．【解答】解：將函數(shù)的圖像上的各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y＝sin（2x+）的圖像，再沿著x軸向右平移個單位，可得y＝sin2x的圖像．令2x＝kπ，k∈Z，求得x＝，故y＝sin2x的圖像的對稱中心為（，0），k∈Z，則得到的函數(shù)的圖像一個對稱中心可以（，0），故選：D．16．【解答】解：對于①函數(shù)y＝x3是經(jīng)過原點的奇函數(shù)，故函數(shù)y＝x3圓O的一個“太極函數(shù)”，故①正確；對于②函數(shù)是經(jīng)過原點的奇函數(shù)，故函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”，故②正確；對于③函數(shù)f（x）的圖像關于原點中心對稱是f（x）為圓O的“太極函數(shù)”的充分非必要條件，故③錯誤；④如圖所示：圓O的所有非常值函數(shù)的太極函數(shù)為偶函數(shù)，故④錯誤．故選：A．三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．【解答】解：（1）連結O1B1，則∠O1A1B1＝∠A1O1B1＝，∴△O1A1B1為正三角形，∴＝，＝＝．（2）設點B1在下底面圓周的射影為B，連結BB1，則BB1∥AA1，∴∠BB1C為直線B1C與AA1所成角（或補角），BB1＝AA1＝1，連結BC、BO、OC，∠AOB＝∠A1O1B1＝，，∴∠BOC＝，∴△BOC為正三角形，∴BC＝BO＝1，∴tan∠BB1C＝1，∴直線B1C與AA1所成角大小為45°．18．【解答】解：（1）當α＝時，，故舞臺表演區(qū)域的面積＝平方米，＝．（2）作OH⊥AB于H，如圖所示，則AB＝2AH＝2OA?cosα＝40cosα，在△OAP中，OP2＝OA2+AP2﹣2OA?AP＝＝400（3cos2α+）＝+1600，∵，∴當時，＜60，故對于任意α，上述設計方案均能符合要求．19．【解答】解：（1）當n＝1時，，即，解得：a1＝1；當n≥2時，，即，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），又an＞0，∴an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2；∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）得：，∴，b1＝a，∴數(shù)列{bn}是以a為首項，a2（a2≠1）為公比的等比數(shù)列，∴，∴；當0＜a＜1時，，，∴；當a＞1時，，∴；綜上所述：．20．【解答】解：（1）由題知，其長軸長為短軸長的倍，且兩焦點距離為2，則，又a2＝b2+c2，解得：a2＝2，b2＝1，∴橢圓的方程為：；（2）由橢圓的方程知，當過點P的直線斜率不存在時，直線與橢圓無交點，所以直線的紏率存在，設過點P的直線的斜率為k，則直線的方程為：y＝k（x+2），設M（x3，y3），N（x4，y4），由（1）可得橢圓的方程為：，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得：，（1+2k）x2+8k2x+8k2﹣2＝0，Δ＝（8k2）2﹣4×（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得，即，∴，設點O到直線的距離為d，則，＝＝，∴＝＝＝＝＝＝，令6k2+1＝t，且，得，∴＝＝，當且僅當，即t＝2時取等號，此時，，即，所以△MNO面積的最大值為，直線的方程為：或，（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知，直線PA的斜率不為0，則直線PA的方程為：，由（1）知橢圓方程為，聯(lián)立直線PA橢圓的方程：，得，所以，即，所以，同理可得：，設，則kCH＝kDH，即，化簡得：2y1﹣4x1＝2y2﹣4x2即，所以直線的鈄率為k＝2．21．【解答】解：（1）因為g（2）＝＝1，h（2）＝log22＝1，所以g（2）＝h（2）＝1，而g（x）＝在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）＝log2x（x＞0）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當0＜x≤2時，g（x）≥h（x），F(xiàn)（x）＝g（x）＝∈[1，+∞），當x＞2時，h（x）＞g（x），F(xiàn)（x）＝h（x）＝log2x∈[1，+∞），所以函數(shù)y＝F（x）的值域為[1，+∞）；（2）因為當1≤x≤3時，恒有F（x）＝g（x），所以g（x）＝≥＝h（x）在1≤x≤3恒成立，所以≥在1≤x≤3恒成立，即≤+2在1≤x≤3恒成立，所以﹣﹣2≤x+t≤+2，即得在1≤x≤3上恒成立，令f1（x）＝﹣x﹣﹣2，f2（x）＝﹣x+2，又x+≥＝2，當且僅當x＝即x＝∈[1，3]時取等號，所以f1（x）＝﹣x﹣﹣2≤﹣2﹣2，因為f2（x）＝﹣x+2在[1，3]上單調(diào)遞減，所以f2（x）＝﹣x+2≥