第四章離散傅里葉變換講義資料

第4章離散傅里葉變換（DFT）DiscreteFourierTransform引言對一個序列長度未加以任何限制，則一個序列可分為：（1）無限長序列：

n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~0（2）有限長序列：

0≤n≤N-1有限長序列在數(shù)字信號處理是很重要的一種序列。由于計算機容量的限制，只能對過程進(jìn)行逐段分析。一、序列分類由于有限長序列，引入DFT(離散傅里葉變換)。DFT它是反映了“有限長”這一特點的一種有用工具。DFT變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示，在理論上重要之外，而且由于存在著計算機DFT的有效快速算法--FFT,因而使離散傅里葉變換(DFT)得以實現(xiàn)，它使DFT在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用。二、DFT引入

4.1傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換：

建立以時間t為自變量的“信號”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”(頻譜)之間的某種變換關(guān)系.所以“時間”或“頻率”取連續(xù)還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。在深入討論離散傅里葉變換DFT之前,先概述四種不同形式的傅里葉變換對.一、非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換非周期連續(xù)時間信號通過連續(xù)傅里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。正變換：逆變換：條件：以下變換對可以看出（1）時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,（2）時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜.二、周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換

周期連續(xù)時間信號

非周期離散頻譜密度函數(shù)。周期為Tp的周期性連續(xù)時間函數(shù)xa(t)可展成傅里葉級數(shù)X(mΩ),是離散非周期性頻譜,表示為:FS正變換：反變換：條件：通過以下變換對可以看出（1）時域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)（2）頻域的離散頻譜與時域的周期時間函數(shù)對應(yīng)(頻域采樣，時域周期延拓)三、非周期離散信號的傅里葉變換非周期離散的時間信號得到周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。正變換：反變換：其中是數(shù)字頻率ω，它和模擬角頻率的關(guān)系為ω=T取樣頻率fs與取樣周期T的關(guān)系：fs=1/T取樣的數(shù)字頻率為ω=2π（1）時域的離散造成頻域的周期延拓,（2）時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù).四、周期離散信號的傅里葉變換上面討論的三種傅里葉變換對,都不適用在計算機上運算,因為至少在一個域(時域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的。因為從數(shù)字計算角度,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換.周期性離散時間信號從上可以推斷：（1）周期性時間信號可以產(chǎn)生頻譜是離散的（2）離散時間信號可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。得出其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的。四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFTx(nT)=x(n)t0T2T12Nn00123kNT一個域的離散必然造成另一個域的周期延拓。其中正變換：反變換：四種付里葉變換形式的歸納4.2.離散付里葉級數(shù)(DFS)4.2.1DFS的導(dǎo)出周期性序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)有限長序列的離散傅里葉變換(DFT).由DFS引出DFT的定義有限長序列的傅里葉變換稱為離散傅里葉變換，簡寫為DFT。DFT可以按3個步驟由DFS推導(dǎo)出來：①將有限長序列延拓成周期序列；②求周期序列的DFS；③從DFS中取出一個周期便得到有限長序列的DFT。一、DFS定義設(shè)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對為:正變換反變換其中:

二、DFS離散付里級數(shù)的推導(dǎo)意義用數(shù)字計算機對信號進(jìn)行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而且上面討論可知：只有第四種形式(DFS)對數(shù)字信號處理有實用價值。但如果將前三種形式要么在時域上采樣，要么在頻域上采樣，變成離散函數(shù)，就可以在計算機上應(yīng)用。所以我們要先了解如何從以上三種形式推出DFS.1.由非周期連續(xù)時間信號推出DFSX(t)經(jīng)過抽樣為x(nT),對離散的時間信號進(jìn)行DTFT得到周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。再經(jīng)過抽樣，得到周期性離散頻譜密度函數(shù)即為DFS.x(t)t取樣x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采樣X(ejw)w2.周期性連續(xù)時間信號函數(shù)周期性連續(xù)時間信號函數(shù)經(jīng)采樣后，得到周期性的離散時間函數(shù)(DFS)。x(t)X(ejw)tw采樣3.非周期離散時間信號非周期離散時間信號經(jīng)過序列付里葉變換(即單位圓上的Z變換)DTFT,得到周期連續(xù)譜密度函數(shù)，再經(jīng)采樣為周期離散頻譜密度函數(shù)(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采樣推導(dǎo)DFS正變換

由第三種傅里葉級數(shù)形式為例推導(dǎo)出離散付里葉級數(shù)變換。非周期信號x(n),其DTFT(單位圓上Z變換)為其為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對其頻域進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。設(shè)在一周期內(nèi)采樣N個點，則兩采樣點間距為即得出DFS的正變換：得到各抽樣頻點頻率為：代入DTFT式子中，這時由于抽樣，信號變成周期離散信號，得DFS的反變換解：已知兩邊同乘以,并對一個周期求和根據(jù)正交定理用n替換r,可得：即得：回顧DFS設(shè)x(n)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對為:正變換反變換

其中:其中，a,b為任意常數(shù)。 4.2.2DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二.序列的移位則有：如果證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時，i=m;n=N-1時，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調(diào)制特性

如果

則有證明：時域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。四.周期卷積和1.如果則：證明：代入：則：05…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345…-4-3-2-110

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同樣，利用對稱性若則４．3.離散傅里葉變換周期序列實際上只有有限個序列值才有意義,因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列,這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT).時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓;頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓要把DFS的定義式兩邊（時域、頻域）各取主值區(qū)間,就得到關(guān)于有限長序列的時頻域的對應(yīng)變換對.這就是數(shù)字信號處理課程里最重要的變換-------離散傅里葉變換(DFT).

DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預(yù)備知識1.余數(shù)運算表達(dá)式如果，m為整數(shù)；則有：此運算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取模值,或簡稱為取模值,n模N。例如：(1)(2)先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運作;而 視作將周期延拓。2.二.有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。如：N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0kN-1,0nN-1或者：五、DFT定義正變換反變換X(k)、x(n)為有限長序列的離散付里葉變換對，已知其中一個序列就能確定另一個序列。在離散傅里葉變換關(guān)系中,有限長序列都作為周期序列的一個周期來表示,都隱含有周期性意義.六、DFT涉及的基本概念1.主值(主值區(qū)間、主值序列)2.移位(線性移位、圓周移位)3.卷積(線性卷積、圓周卷積)4.對稱(序列的對稱性、序列的對稱分量)5.相關(guān)(線性相關(guān)、圓周相關(guān))1.主值(主值區(qū)間、主值序列)主值區(qū)間：設(shè)有限長序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期序列長度為N,則的第一個周期n=0到n=N-1的區(qū)間稱為主值區(qū)間.主值序列:設(shè)有限長序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期為N,則主值區(qū)間內(nèi)的序列x(n)=,0≤n≤N-1,即為主值序列。2.移位線性移位：序列沿坐標(biāo)軸的平移.圓周移位：將有限長序列x(n)以長度N為周期,延拓為周期序列,并加以線性移位后,再取它的主值區(qū)間上的序列值,m點圓周移位記作:其中((...))N表示N點周期延拓.(1)有限長序列圓周移位的實現(xiàn)步驟

從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出，當(dāng)主值序列左移m個樣本時，從右邊會同時移進(jìn)m個樣本，而且好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來。因此取名“循環(huán)移位”。顯然，循環(huán)移位不同于線性移位循環(huán)移位等同于圓周位移由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:。12345n=0N=6(2)例子121310.5(1)周期延拓：N=5時nx(n)2131x(n)0.521310.51120.5n(2)周期延拓：N=6時，補零加長2131x(n)0.521310.51123n3(2)例子21310.5nx(n)(3)M=1時，左移(取主值)131x(n)0.52(4)M=-2時，右移(取主值)2131nx(n)0.5n3.卷積卷積在此我們主要介紹：(1)線性卷積(2)圓周卷積(3)圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對比(1)線性卷積線性卷積定義：有限長序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1則線性卷積為

注意:線性卷積結(jié)果長度變?yōu)镹1+N2-1.(2)圓周卷積令則圓周卷積結(jié)果長度不變,為N.圓周卷積的實現(xiàn)步驟例子線性卷積與圓周卷積步驟比較1231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3線性卷積：圓周卷積：(N=7)補零加長231x(k)54k0N1=5231x(k)540N=7k例子線性卷積與圓周卷積步驟比較2231h(k)0k(2)線卷積無需周期延拓，而圓周卷積需進(jìn)行周期延拓：線卷積的反折：圓卷積的反折(并取主值區(qū)間）：231231231h(-k)k0231h(-k)k0例子線性卷積與圓周卷積步驟比較3(3)平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0（4）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)54k0231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3例子線性卷積與圓周卷積步驟比較4(5)相加得到線性卷積的示意圖相加得到圓周卷積的示意圖14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可見,線性卷積與圓周卷積相同(當(dāng)N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7時)用圖表求解圓卷積

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7點的圓卷積。解：（1）將x(n)補零加長為x(k)={5,4,3,2,1,0,0},（2）將h(n)補零加長至N=7，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2}（4）作圖表結(jié)果同上。若圓周卷積取長度為N=5,則求圓周卷積231x(k)540N=5k231h(-k)k0求得圓周卷積x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圓卷積與線卷積不同.171326y(n)n02014用圖表求解圓卷積

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=5點的圓卷積。解：（1）x(n)無需補零加長x(k)={5,4,3,2,1},（2）將h(n)補零加長至N=5，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,3,2}（4）作圖表1713262014y(n)n0(3)圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對比4.對稱性質(zhì)對稱分為：(1)序列的對稱性(2)序列的對稱分量(1)序列的對稱性奇對稱(序列)和偶對稱(序列)圓周奇對稱(序列)和圓周偶對稱(序列)共軛對稱(序列)和共軛反對稱(序列)圓周共軛對稱(序列)和圓周共軛反對稱(序列)a)奇對稱(序列)和偶對稱(序列)稱x(n)與-x(-n)互為奇對稱。滿足xo(n)=-xo(-n)的序列xo(n)稱為奇對稱序列。稱x(n)與x(-n)互為偶對稱;滿足xe(n)=xe(-n)的序列xe(n)稱為偶對稱序列例子0xe(n)n0x(n)n0x(-n)n互為偶對稱為偶對稱序列0x(n)n0x(-n)n互為奇對稱0xo(n)n為奇對稱序列(b)圓周奇對稱(序列)

和圓周偶對稱(序列)長度為N的有限長序列x(n)與-x((-n))NRN(n)互為圓周奇對稱.長度為N的有限長序列xo(n),若滿足xo(n)=-xo((-n))NRN(n),則xo(n)是圓周奇對稱序列.長度為N的有限長序列x(n)與x((-n))NRN(n)互為圓周偶對稱.長度為N的有限長序列xe(n),若滿足xe(n)=xe((-n))NRN(n)則是圓周偶對稱序列.圓周偶對稱(序列)周期延拓圓周奇對稱(序列)周期延拓(c)共軛對稱(序列)和共軛反對稱(序列)序列x(n)與x*(-n)互為共軛對稱.共軛對稱序列是滿足xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n),對于實序列來說,這一條件變成xe(n)=xe(-n),即為偶對稱序列.序列x(n)與-x*(-n)互為共軛反對稱.共軛反對稱序列是滿足xo(n)=-x*o(-n)的序列,對于實序列來說,即為xo(n)=-xo(-n)奇對稱序列.(d)圓周共軛對稱(序列)和圓周共軛反對稱(序列)N點有限長序列x(n)與x*((-n))NRN(n)互為圓周共軛對稱.圓周共軛對稱序列是滿足xep(n)=xep*((-n))NRN(n)的序列即xep(n)的模是圓周偶對稱,相角是圓周奇對稱(或說實部圓周偶對稱,虛部圓周奇對稱).即把xep(n)看成分布在N等分的圓上,在n=0的左半圓與右半圓上,序列是共軛對稱的。圓周共軛對稱(序列)的例子虛部實部實部圓周偶對稱,虛部圓周奇對稱圓周共軛反對稱(序列)圓周共軛反對稱序列是滿足xop(n)=-xop*((-n))NRN(n)的序列即xop(n)的模是圓周奇對稱,相角是圓周偶對稱(或說實部圓周奇對稱,虛部圓周偶對稱).即把xop(n)看成分布在N等分的圓上,在n=0的左半圓與右半圓上,序列是共軛反對稱的。圓周共軛反對稱(序列)例子實部虛部實部圓周偶對稱,虛部圓周奇對稱(2)序列的對稱分量奇對稱分量和偶對稱分量圓周奇對稱分量和圓周偶對稱分量共軛對稱分量和共軛反對稱分量圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量a)奇對稱分量和偶對稱分量x(n)為任一序列(實或純虛序列),x(n)總能表示成一個奇對稱序列xo(n)和一個偶對稱序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)奇對稱序列稱為x(n)的奇對稱分量;xe(n)偶對稱序列稱為x(n)的偶對稱分量.看出這樣得到的xo(n)和xe(n)分別滿足奇對稱和偶對稱的條件,且二者之和為x(n)。說明若x(n)為有限長序列且0≤n≤N-1,則xo(n)與xe(n)的點數(shù)均為(2N-1).區(qū)別于奇對稱(序列)和偶對稱(序列).b)圓周奇對稱分量和圓周偶對稱分量設(shè)x(n)是一長度為N的有限長序列,總能表示成一個圓周奇對稱序列xop(n)和一個圓周偶對稱序列xep(n)之和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)稱為x(n)的圓周奇對稱分量;xep(n)稱為x(n)的圓周偶對稱分量.

看出滿足圓周奇對稱和圓周偶對稱的條件,且二者之和為x(n).c)共軛對稱分量和共軛反對稱分量任一序列x(n)總能表示成一個共軛對稱序列xo(n)和一個共軛反對稱序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)共軛反對稱序列稱為x(n)的共軛反對稱分量;xe(n)共軛對稱序列稱為x(n)的共軛對稱分量.看出xo(n)和xe(n)分別滿足奇對稱和偶對稱的條件,且二者之和為x(n)。d)圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量設(shè)x(n)是一長度為N的有限長序列,總能表示成一個圓周共軛反對稱序列xop(n)和一個圓周共軛對稱序列xep(n)之和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)稱為x(n)的圓周共軛反對稱分量;xep(n)稱為x(n)的圓周共軛對稱分量.

看出滿足圓周奇對稱和圓周偶對稱的條件,且二者之和為x(n).4.相關(guān)(1)線性相關(guān)(2)圓周相關(guān)(1)線性相關(guān)設(shè)有限長序列則線性相關(guān)定義為線性相關(guān)結(jié)果長度變成N1+N2-1(2)圓周相關(guān)設(shè)有限長序列則x1(n)與x2(n)N點圓周相關(guān)定義為注：圓周相關(guān)結(jié)果長度不變?yōu)镹。相關(guān)通信中很重要。4.4離散付里葉變換的性質(zhì)在由DFS引出DFT的過程中我們知道，DFT本質(zhì)上是和周期序列的DFS概念緊密相關(guān)的，因而它們在性質(zhì)上有著極大的相似，并由DFT隱含周期性（對應(yīng)于DFS的顯式周期性）所保證。假定x1(n）,x2(n)都是列長為N的有限序列，它們的離散付里葉變換分別為：X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]

1）線性則x1(n),x2(n)的線性組合有：其中a,b為任一常數(shù)，本性質(zhì)可由定義直接證明。證：線性說明如果x1(n)和x2(n)長度皆為N,即0≤n≤N-1范圍有值,則aX1(k)+bX2(k)的長度也是N;若x1(n)和x2(n)長度不等,設(shè)x1(n)長度為N1,x2(n)長度為N2,則ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為N=max[N1,N2],故DFT必須按長度N計算。若N1<N2，則N=N2,那么需將x1(n)補上N2-N1個零值點后變成長度為N序列,然后都作N點的DFT.(2)對稱定理若x(n)的離散傅里葉變換為X(k),則當(dāng)時間序列具有頻譜序列的形狀x(n)時，對應(yīng)的傅里葉變換對為：

(3)反轉(zhuǎn)定理若x(n)的離散傅里葉變換為X(k),則x(-n)的離散傅里葉變換為X(-k).(4)序列的總和列長為N的時間序列x(n)中各取樣值的總和等于其離散傅里葉變換X(k)在k=0時的值(5)序列的初值若序列的離散傅里葉變換為X(k),則對應(yīng)的時間序列x(n)在n=0的值為頻譜序列各取樣值X(k)的總和除以N，(6)延長序列的離散傅里葉變換這意味著，g(n)的頻譜G(k)與x(n)的頻譜X(k)是相對應(yīng)的，只不過G(k)的頻譜間隔比X(k)的頻譜間隔降低k/r。即若把序列x(n)填充零值而人為的加長再進(jìn)行離散傅里葉變換，可以得到頻譜更加細(xì)致。若增加的長度并非N的整數(shù)倍，得到離散傅里葉變換G(k)的譜線比X(k)多。（7）時移設(shè)N點有限長序列x(n)DFT[x(n)]=X(k)則DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k)說明：（1）本性質(zhì)描述了有限長序列時域移位后頻域的變化規(guī)律.（2）只有采用圓周移位這一能體現(xiàn)DFT的隱含周期性的移位方式,才能得到本性質(zhì)所描述的結(jié)果.時移證明證：時移復(fù)習(xí)（平移）（8）頻移設(shè)頻域N點，有限長序列X(k)則本性質(zhì)與時域移位性質(zhì)成對偶關(guān)系.本性質(zhì)又稱調(diào)制特性,時域的調(diào)制等效于頻域移位.注意是圓周移位.由此性質(zhì)可得出時域、頻域調(diào)制的兩個公式。頻移應(yīng)用：時域調(diào)制公式時域調(diào)制頻域移位（9）圓周卷積定理時域卷積--->頻域相乘頻域卷積--->時域相乘時域卷積對應(yīng)于頻域相乘,而時域相乘對應(yīng)于頻域卷積.這與我們曾學(xué)過的其他變換（FT/L/Z)的卷積定理是相似的.但注意,由于DFT隱含的周期性,卷積必須是圓周卷積才有此性質(zhì).注意第二個關(guān)系中的系數(shù),不要忽略。

線卷積和圓卷積步驟比較線卷積：反折、平移、相乘、積分（或相加）圓卷積：反折、周期化、平移、相乘、相加（10）圓周相關(guān)定理設(shè)x1(n)對x2(n)的互相關(guān)系數(shù)為RN1N2(m),則有：請不要弄錯關(guān)系式中x1(n)，x2(n)及X1(k),X2(k)的順序.相關(guān)定理不滿足交換律,這點和卷積定理不同!有限長序列的相關(guān)運算可分為圓相關(guān)（循環(huán)相關(guān))與線相關(guān)兩種形式，通?？山柚趫A相關(guān)求線相關(guān)。（復(fù)習(xí))卷積離散線卷積：離散圓卷積：離散線相關(guān)：離散圓相關(guān)：卷積與相關(guān)不同：y是共軛且y中為n-m,卷積與次序無關(guān)而相關(guān)與次序有關(guān)。(12)對稱性質(zhì)DFT的對稱性質(zhì)較為復(fù)雜,歸為以下三類:1.共軛與圓周共軛對稱在時頻域的對應(yīng)關(guān)系;2.實(虛)部與圓周共軛對稱(反對稱)分量在時頻域的對應(yīng)關(guān)系;3.時域為實序列時對應(yīng)DFT特征;在以上對稱性質(zhì)的基礎(chǔ)上,可歸納總結(jié)出x(n)與X(k)的奇、偶、虛、實關(guān)系,利用這些關(guān)系,可減少計算DFT時的運算量。1.共軛與圓周共軛對稱

在時頻域的對應(yīng)關(guān)系設(shè)x(n)為N點有限長序列,0≤n≤N-1則有：如下關(guān)系1，關(guān)系2和關(guān)系3.（1）關(guān)系1時域x(n)取共軛,對應(yīng)于頻域X(k)取圓周共軛對稱.若x(n)本身是實序列,對應(yīng)于頻域X(k)就是圓周共軛對稱序列;反之亦然.原序列序列共軛頻域圓周共軛原序列為實序列，其頻域為圓周共軛對稱序列證明（2）關(guān)系2時域x(n)取圓周偶對稱,對應(yīng)于頻域X(k)也取圓周偶對稱.若x(n)本身是圓周偶對稱序列,對應(yīng)頻域X(k)也是圓周偶對稱序列;反之亦然.證明解釋：設(shè)有限長N序列為y(n)=ye(n)+xo(n)已知時域x(n)=ye(n)取圓周偶對稱,則有：對應(yīng)于頻域X(k)也取圓周偶對稱.如果y(n)是圓周偶對稱序列，即只有ye(n)分量，則X(k)當(dāng)然也是圓周偶對稱序列。（3）關(guān)系3此關(guān)系與關(guān)系1成對偶關(guān)系.頻域X(k)取共軛,對應(yīng)于時域x(n)取圓周共軛對稱.若X(k)是實序列,則對應(yīng)時域x(n)是圓周共軛對稱序列;反之亦然.原序列序列時域圓周共軛對稱序列頻域共軛對稱原序列為實序列，其頻域為圓周共軛對稱序列序列取圓周偶對稱，其頻域為圓周偶對稱序列返回2.實(虛)部與圓周共軛對稱(反對稱)分量在時頻域的對應(yīng)關(guān)系設(shè)x(n)為N點有限長序列0≤n≤N-1則有關(guān)系1，關(guān)系2，關(guān)系3：關(guān)系1時域x(n)取實部,對應(yīng)頻域取X(k)的圓周共軛對稱分量.若x(n)本身是實序列,那么由于因而對應(yīng)頻域X(k)是圓周共軛對稱序列;反之亦然.關(guān)系2時域x(n)取虛部并加權(quán)j,對應(yīng)頻域取X(k)的圓周共軛反對稱分量.若x(n)本身是純虛序列,那么X(k)關(guān)系3說明：（1）對時域x(n)取圓周共軛對稱分量(xep(n)),即對頻域X(k)取實部；對時域x(n)取圓周共軛反對稱分量(xop(n)),即對頻域X(k)取虛部加權(quán)j；若X(k)本身是實序列，則時域x(n)是圓周共軛對稱序列；若X(k)本身是純虛序列，則時域x(n)是圓周共軛反對稱序列；反之亦然。返回3.時域是實序列時對應(yīng)DFT特征設(shè)x(n)為長度為N的有限長實序列,0≤n≤N-1,DFT[x(n)]=X(k)有以下幾個特征：（5個）（1）特征1X(k)=X*((N-k))NRN(k)說明：（1）x(n)的DFT，即X(k)是圓周共軛對稱序列。（2）是實（虛）部與圓周共軛對稱（反對稱）分量在時域、頻域的對應(yīng)關(guān)系。（2）特征2Re[X(k)]=Re[X((N-k))N]RN(k)說明：X(k)的實部是圓周偶對稱序列。（3）特征3Im[X(k)]=-Im[X((N-k))N]RN(k)說明：X(k)的虛部是圓周奇對稱序列。（4）特征4|X(k)|=|X((N-k))N|RN(k)說明：X(k)的模是圓周偶對稱序列。（5）特征5arg[X(k)]=-arg[X((N-k))N]RN(k)說明：X(k)的相角是圓周奇對稱序列。返回4.序列及其DFT的奇偶虛實關(guān)系由上對稱性質(zhì)基礎(chǔ)上，可歸納總結(jié)出x(n)與X(k)的奇、偶；虛、實關(guān)系，利用這些關(guān)系，可以減少計算DFT的運算量。下面總結(jié)歸納出有限長序列及其DFT的奇、偶；虛、實關(guān)系。這一關(guān)系清晰地展示了時域序列的奇、偶；虛、實特性與頻域序列的奇、偶；虛、實特性是如何對應(yīng)的。(1)奇、偶；虛、實的含義所謂奇,偶,虛,實的含義如下:奇----指序列是圓周奇對稱序列偶----指序列是圓周偶對稱序列虛----指序列是純虛序列實----指序列是實序列(2)奇偶虛實關(guān)系表六、DFT形式下的帕塞瓦爾定理（Parseval’sTheorem)說明：（1）這是DFT形式下的帕塞瓦爾定理(Parseval‘s,Theorem)(2)只需令y(n)=x(n),再兩邊取模，便得到明確物理意義的能量計算公式。證明Parseval定理七、DFT性質(zhì)一覽表1七、DFT性質(zhì)一覽表24.5頻率抽樣理論時域抽樣定理

奈奎斯特抽樣定理：要想抽樣后能夠不失真的還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率。即或抽樣內(nèi)插公式即由信號的抽樣值xa(mT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號xa(t).主要內(nèi)容：（1）z變換與DFT的關(guān)系（抽樣z變換），在此基礎(chǔ)上引出抽樣z變換的概念，并進(jìn)一步深入討論頻域抽樣不失真條件。（2）頻域抽樣理論（頻域抽樣不失真條件）（3)頻域內(nèi)插公式一、z變換與DFT關(guān)系

（1）引入連續(xù)傅里葉變換引出離散傅里葉變換定義式。離散傅里葉變換看作是序列的傅里葉變換在頻域再抽樣后的變換對.在Z變換與L變換中,又可了解到序列的傅里葉變換就是單位圓上的Z變換.所以對序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域抽樣時,自然可以看作是對單位圓上的Z變換進(jìn)行抽樣.(2)推導(dǎo)Z變換的定義式(正變換)重寫如下:取z=ejw代入定義式,得到單位圓上Z變換為w是單位圓上各點的數(shù)字角頻率.再進(jìn)行抽樣--N等分.這樣w=2kπ/N,即w值為0,2π/N,4π/N,6π/N…,考慮到x(n)是N點有限長序列,因而n只需0~N-1即可。將w=2kπ/N代入并改變上下限,得

則這正是離散傅里葉變換(DFT)正變換定義式.(3)結(jié)論1從以上推導(dǎo)中可看出,有限長序列x(n)的離散傅里葉變換X(k)序列的各點值等于對x(n)進(jìn)行Z變換后在單位圓上N等分抽樣的各點處所得的Z變換值,即

這就是Z變換與DFT的關(guān)系.(4)結(jié)論2有限長序列補零加長N增加,求其DFT。發(fā)現(xiàn)頻譜包絡(luò)不變,只是抽樣點更密.原因:即N補零加長并不改變有限長序列本身,因而其Z變換不變,而只是增加了N值。根據(jù)每個X(k)仍等于X0(ejw)這一包絡(luò).由于0≤k≤N-1,X(k)值的個數(shù)增加了,譜線變密.二、頻率抽樣理論

（頻域抽樣不失真條件）

（1）問題引入由Z變換與DFT的關(guān)系,知道：x(n)的離散傅里葉變換X(k)序列值和x(n)的Z變換在單位圓N個等分點上的抽樣值相等,這就是說實現(xiàn)了頻域的抽樣。便于計算機計算而提出的.是否任何一序列(或說任何一個頻率特性)都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢?其限制條件是什么?（2）分析將x(n)的頻域函數(shù)X(ejw)，按每周期N點抽樣，得到一周期序列,再反變換回時域,得到變換結(jié)果,是一周期延拓的序列,且與原序列x(n)有如下關(guān)系即頻域按每周期N點抽樣,時域便按N點周期延拓.此結(jié)果符合頻域抽樣,時域周期延拓的說法.（3）結(jié)論長度為M的有限長序列,頻域抽樣不失真的條件：頻域抽樣點數(shù)N要大于或等于序列長度M,即滿足N≥M.此時可得到表明長度為N(或小于N)的有限長序列可用它的z變換在單位圓上的N個均分點上的抽樣值精確地表示.（4）抽樣后序列能否無失真恢復(fù)原時域信號（5）注意點DFT變換對的一一對應(yīng)關(guān)系也是由此而得到保證的.實際上,在我們從連續(xù)傅里葉變換引出DFT時,也只有按此條件對頻域進(jìn)行抽樣,才能在最后正確導(dǎo)出DFT變換對定義式.（6）例子--1頻域抽樣：看一個矩形序列，頻域抽樣是指對時域已是離散，頻域仍是連續(xù)信號。現(xiàn)在頻域上進(jìn)行抽樣處理，使其頻域也離散化。（6）例子--2解：頻域抽樣，按N=5點，頻域抽樣，時域延拓相加……,時域延拓的周期個數(shù)等于頻域的抽樣點數(shù)N=5，由于N=M，所以時域延拓恰好無混疊現(xiàn)象。（6）例子--3按N=4時進(jìn)行抽樣，由于N=4，而序列長度為M=5，N<M,時域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。（原信號為紅色，延拓取主值區(qū)間后的恢復(fù)信號為蘭色。）三、頻域內(nèi)插公式從頻域抽樣不失真條件可以知道：N個頻域抽樣X(k)能不失真地還原出長度為N的有限長序列x(n)。那么用N個X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及頻率響應(yīng)[即單位圓上的X(z)].過程很簡單,先把N個X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z變換便得到X(z).（1）內(nèi)插公式（2）內(nèi)插函數(shù)1.由X(k)恢復(fù)X(Z)

序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于，所以（下頁?。?/p>

由X(k)表達(dá)X(Z)與的問題——內(nèi)插公式上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:。。。。。。。令分子為零,得；所以有N個零點。令分母為零,得為一階極點,Z=0為(N-1)階極點。但是極點與一零點相消。這樣只有(N-1)個零點,抽樣點稱作本抽樣點。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點處不為零,其他(N-1)個抽樣點均為零。（3）.頻率響應(yīng)單位圓上的Z變換即為頻響,代入（4）.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性可見,既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為當(dāng)k=0時,則有時,

時,

，所以

當(dāng)N=5時,的幅度特性和相位特性如下圖：其中，N=5由于i與k均為整數(shù),所以i

k時

這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點上,

而在其他抽樣點上（5）. 與X(k)的關(guān)系

由于的特性可知,在每個抽樣點上其值為1,故就精確等于X(k)。即而在抽樣點之間,等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值

疊加而得?？偨Y(jié)從公式中看出:在每個抽樣點上X(ejw)就精確地等于X(k)(因為其他的內(nèi)插函數(shù)在這一點上的值為零,無影響),即各抽樣點之間的X(ejw)值,則由各抽樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)在所求點上的值的疊加而得到.頻率響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)具有線性相位.

4.6DFT的應(yīng)用一、引言FT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通訊理論方面有廣泛的應(yīng)用。歸結(jié)起來,有兩個大方面,一是計算線性卷積、線性相關(guān)；二是用DFT(FFT)作為連續(xù)傅里葉變換的近似.FFT并不是什么新的變換,只是DFT在計算機上的一種高速算法，雖實際中廣泛使用的是FFT,但其應(yīng)用的理論基礎(chǔ)仍是DFT.通過考察計算線性卷積(相關(guān))和連續(xù)傅里葉逼近這兩種DFT應(yīng)用,就可以說我們建立了一般FFT應(yīng)用的基本理論基礎(chǔ).二、應(yīng)用方面1、采用DFT辦法求解線性卷積。2、采用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換(級數(shù))三、采用DFT辦法求解線性卷積

（1）引入時域圓周卷積,頻域是兩序列的DFT相乘.時頻兩域的轉(zhuǎn)換(即DFT及IDFT)有快速傅里葉變換(FFT)算法.所以利用圓周卷積定理計算圓周卷積比計算線性卷積的計算速度快得多.實際問題中x(n)即信號通過線性時不變系統(tǒng)h(n)后的響應(yīng)y(n)是線性卷積運算.設(shè)想：若做卷積的兩序列都是有限長序列,能否用它們的圓周卷積結(jié)果代替它們的線性卷積結(jié)果呢?即圓周卷積與線性卷積的關(guān)系是什么?線性時不變系統(tǒng)h(n)y(n)=x(n)*h(n)（2）定理設(shè)有限長序列x1(n)0≤n≤N1-1,x2(n)0≤n≤N2-1我們把x1(n)、x2(n)補零點至L點,L≥max(N1,N2).x1(n)與x2(n)L點圓周卷積:x1(n)與x2(n)線性卷積:(注意:y(n)是L點序列,yL(n)是N1+N2-1點序列)只要經(jīng)過簡單的推導(dǎo),就會得到y(tǒng)(n)與yL(n)的關(guān)系定理(3)說明x1(n)與x2(n)的L點圓周卷積結(jié)果y(n)=x1(n)與x2(n)的線性卷積結(jié)果yL(n)以L點周期延拓后再取主值序列.如L取適當(dāng),則線性卷積結(jié)果yL(n)被L點周期延拓后無混疊。即其主值序列=線性卷積結(jié)果,從而實現(xiàn)圓周卷積代替線性卷積.所謂L的適當(dāng)值,顯然應(yīng)當(dāng)L≥N1+N2-1最終結(jié)論:當(dāng)L≥N1+N2-1時，圓周卷積可以代替線性卷積即：從：看出：（4）圓卷積代替線卷積

的實現(xiàn)方法---1設(shè)L為圓卷積點數(shù):

設(shè)x(n)是激勵,是0≤n≤N1-1的有限長序列;h(n)是線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(沖激響應(yīng)),是0≤n≤N2-1的有限長序列;y(n)是激勵通過系統(tǒng)后的響應(yīng),即y(n)=x(n)*h(n).選好圓卷積點數(shù)L（L≥N1+N2-1）圓卷積L點圓周延拓，再取主值線性卷積4）圓卷積代替線卷積

的實現(xiàn)方法---2取L≥N1+N2-1情況下,圓周卷積代替線性卷積的實際實現(xiàn)的框圖如下上圖依據(jù)的是圓周卷積定理,做的是圓周卷積.然而由于L選取符合條件,因而結(jié)果是與線性卷積結(jié)果一致的.L點DFTh(n)L點DFTL點DFTx(n)y(n)四、采用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換（級數(shù)）我們知道DFT的最初引入就是為了使數(shù)字計算機能夠幫助分析連續(xù)時間信號的頻譜DFT的快速算法-------快速傅里葉變換(FFT)的出現(xiàn)使得DFT這種分析方法具有實用價值和重要性.我們這里將簡單的討論逼近的方法和同時產(chǎn)生的問題.1、討論內(nèi)容用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換。用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)。用DFT逼近有限長信號的傅里葉變換。用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時所產(chǎn)生的問題。2、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)非周期信號的傅里葉變換是連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)，數(shù)字計算機難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.（1）分析設(shè):對連續(xù)非周期信號進(jìn)行時域抽樣，抽樣間隔為T(時域);對其連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)進(jìn)行頻域抽樣,頻域抽樣周期為F(頻域).又因時域抽樣，頻域必然周期延拓；且延拓周期為時域抽樣的頻率值,即頻域周期fs=1/T;從頻域抽樣理論知識可知：頻域抽樣后對應(yīng)時域按頻域抽樣間隔的倒數(shù)周期延拓,即Tp=1/F.對限長的信號計算機是不能處理的,必須對時域與頻域做截斷,若時域取N點,則頻域至少也要取N點.(參見頻域抽樣不失真條件).我們把以上的推演過程用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)公式來表示:（2)時域的抽樣與截斷(3)頻域的抽樣與截斷（4）由對連續(xù)非周期信號進(jìn)行頻域抽樣就推出DFT變換式把后兩式進(jìn)行從連續(xù)域到離散域的必要的處理,如令T=1等,就得到了我們熟悉的DFT變換對定義式.（5）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論1從以上分析,特別是最后得出的兩式,不難看出：如果用DFT定義式去計算一個非周期的信號的傅里葉變換,則頻譜的正常電平幅度與用DFT算得的頻譜幅度相差一個加權(quán)------T.（6）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論2同理,用IDFT定義式去計算一個非周期信號的傅里葉反變換,則需再加權(quán)一個N*F=fs.由于fs=1/T,所以一個時間信號從時域到頻域再到時域的整個變換過程中,電平幅度并未受到影響.（7）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換注意點用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換過程中除了對幅度的線性加權(quán)外,由于用到了抽樣與截斷的方法,因此也會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).五、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)是數(shù)字計算機所難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.1、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的分析連續(xù)周期信號的時域是連續(xù)的,頻域是離散的.若用DFT逼近,則先要對時域抽樣(抽樣間隔為T),然后截斷取N點序列(類似DFT逼近連續(xù)非周期信號傅里葉變換中的抽樣與截斷,下同).這將導(dǎo)致頻域周期延拓。2、對連續(xù)周期信號進(jìn)行時域抽樣3、對連續(xù)周期信號頻域進(jìn)行截斷然后再對頻域進(jìn)行截斷,若截斷后有限長序列長度正好是一個周期(或是其整數(shù)倍),則4、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的結(jié)論從上面得到的公式可以看出,利用DFT去求一個連續(xù)周期信號的DFS與正常級數(shù)之間相差加權(quán)1/N.同理,以IDFT計算的傅里葉級數(shù)反變換與正常值相差加權(quán)N.所以一個時間信號從時域到頻域再到時域的整個變換過程中,電平幅度并未受到影響.5、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的注意點逼近值除了加權(quán)差別外,還有如下特別注意處:DFT逼近周期信號的DFS中,曾設(shè)頻域的截斷長度為其周期的整數(shù)倍.如果截斷長度不等于周期的整數(shù)倍,則會造成離散和連續(xù)傅里葉變換之間出現(xiàn)顯著差異,而不是只相差一個加權(quán)因子.另外當(dāng)長度不是周期的整數(shù)倍時,時域會表現(xiàn)為有間斷點的周期函數(shù),頻域表現(xiàn)為頻譜泄漏成分增大.由于DFT逼近連續(xù)周期信號過程中用到抽樣與截斷,因此還會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).六、用DFT逼近有限長時間信號的傅里葉變換對于有限長的時域信號,其傅里葉變換的頻域必然是無限帶寬的.因而這種信號抽樣后頻域的混疊是不可避免的.混疊的大小由頻譜高頻分量衰減的速度決定:衰減越快混疊越小.如果選擇N小于長度有限的函數(shù)的樣本點數(shù),則誤差僅由混疊效應(yīng)造成.選抽樣間隔T足夠小,可減少這種效應(yīng)所引起的誤差.

在這種情況下,DFT變換的計算值和連續(xù)傅里葉變換的樣本值將很好的一致(相差一個系數(shù)).七、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時所產(chǎn)生的問題為了能在數(shù)字計算機上分析連續(xù)信號的頻譜,常常用DFT來逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,但同時也產(chǎn)生以下問題:混疊現(xiàn)象頻譜泄漏柵欄效應(yīng)1、混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則：fs≥2fh

其中fs為抽樣頻率,fh為信號最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh,其上限要受抽樣間隔F的約束.

抽樣間隔F即頻率分辨力,它是記錄長度的倒數(shù),即Tp=1/F若抽樣點數(shù)為N,則抽樣間隔與fs的關(guān)系為

F=fs/N≥2fh/N混疊現(xiàn)象的結(jié)論由F=fs/N≥2fh/N

看出：在N給定時,為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導(dǎo)致F增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小F,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號的高頻容量.以上兩點結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fh與頻率分辨力F參數(shù)中,保持其中一個不變而使另一個性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長度內(nèi)的點數(shù)N,即fh

和F都給定時,則N必須滿足

N≥2fh/F這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。例子--1有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點數(shù)必須是