廣東省茂名市電白區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘，總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解二次不等式得到集合，再由集合交集的定義得到結(jié)果.【詳解】解得，即，∴.故選：B2.函數(shù)的最小值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式求解.【詳解】，解得或∴不等式的解集為.故選：A.4.已知,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先解不等式，再根據(jù)不等式的解集即可得到答案.【詳解】因?yàn)榛?所以是的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分不必要條件，同時(shí)考查了二次不等式，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.2 B.1C.0 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義列式計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，即，所以.故選：B6.關(guān)于一元二次不等式的解集為，則（）A.1 B. C.1或 D.0.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由題意得，為方程根，∴，解得.故選：B.7.函數(shù)，對(duì)且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)且，，所以在上為增函數(shù).由得二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴，故.故選：C.8.記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為若則函數(shù)的最大值為（）A.4 B. C.1 D.5【答案】B【解析】【分析】由題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出三個(gè)函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.，【答案】BC【解析】【分析】同一個(gè)函數(shù)的定義是既有相同的定義域又有相同的表達(dá)式.【詳解】A選項(xiàng)：定義域分別為：和，定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；B選項(xiàng)：定義域分別為：和，定義域相同，表達(dá)式分別是：和，表達(dá)式相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；C選項(xiàng)：定義域分別為：和，定義域相同，表達(dá)式分別是：和，表達(dá)式相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；D選項(xiàng)：定義域分別為：或和，定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；故選：BC.10.已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論正確的有（）A.定義域?yàn)?B.值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞減 D.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合定義域的求法，基本不等式，以及函數(shù)單調(diào)性的定義和奇偶性的判定的方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)有意義，則滿足，所以函數(shù)定義域?yàn)椋訟正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確；對(duì)于D中，函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D正確.故選：ABD.11.若，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為4 B.的最小值為8C.的最小值為9 D.的最小值為1【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式可得，利用換元法解不等式得，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用可得選項(xiàng)B正確；由得，結(jié)合基本不等式可得選項(xiàng)C正確；原式可變形為，根據(jù)可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由得，.令，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值4，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值8，選項(xiàng)B正確.由得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值9，選項(xiàng)C正確.由得，∵，∴，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】且【解析】【分析】由定義域的定義可知：①分母不為0；②偶次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列出不等式解得范圍即可.【詳解】∵，∴且.故答案為：且.13.已知函數(shù)，若，則________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)求的值.【詳解】令，定義域?yàn)椋?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，則為奇函數(shù)，∴∴，∴.故答案為：.14.若命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用判別式法即可得到答案.【詳解】由題意得，即，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），=；（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式求解集合、，由集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算即可求解；（2）由題意得是真子集，討論為空集，為非空集兩種情況，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，，所以可得，則，所以，或，所以=；【小問(wèn)2詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，若，即，則滿足題意，若，則，此時(shí)且兩等號(hào)不能同時(shí)取得，解得，所以，綜上的取值范圍是或．16.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分元/超過(guò)但不超過(guò)部分元/超過(guò)的部分元/已知該城市對(duì)每戶居民每月收取環(huán)衛(wèi)服務(wù)費(fèi)元、污水處理費(fèi)元/，如果某戶居民某月用水量為，需徼用水總費(fèi)用為元.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若該城市某戶居民本月用水量為，求此戶居民本月用水總費(fèi)用；（3）若該城市某戶居民本月用水總費(fèi)用為元，求此用戶本月用水量.【答案】（1）；（2）元；（3）.【解析】【分析】（1）分段寫出關(guān)于的解析式，再寫成分段函數(shù)即可；（2）將代入，求解即可；（3）由題意可知當(dāng)時(shí)，，令，求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.所以；【小問(wèn)2詳解】解：把，代入，得.所以此戶居民本月用水費(fèi)用為元.【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以令，得，所以此戶居民本月用水量.（3）若該城市某戶居民本月繳納的用水總費(fèi)用為50元，求此用戶本月用水量.17.已知函數(shù)．（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）任取，作差，分析每一個(gè)因式的正負(fù)，進(jìn)而得到，可判斷單調(diào)性；（2）根據(jù)第一問(wèn)得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式，解不等式即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】任取，則，因?yàn)?，則，，，則，故在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，在上單調(diào)遞減，所以，，解得，所以，即所求范圍是.18.已知二次函數(shù)．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若存在x使成立，求k的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）2（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義列出等式求解即可；（2）依題意可知對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不等的根，所以；（3）是對(duì)稱軸為開口向上的拋物線，該題屬于定軸動(dòng)區(qū)間類型，只需討論對(duì)稱軸在里面還是外面即可知道的單調(diào)性，進(jìn)而知道的最小值.【小問(wèn)1詳解】若函數(shù)是偶函數(shù)，則，故有，得對(duì)任意都成立,所以，得【小問(wèn)2詳解】若存在使成立，則，解得或，所以k的取值范圍是；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，為對(duì)稱軸是開口向上的拋物線，因?yàn)椋裕?dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，；當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，；當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.19.定義兩種新運(yùn)算“”與“”，滿足如下運(yùn)算法則：對(duì)任意的，有，.設(shè)全集且，且.（1）求集合；（2）求集合；（3）集合是否能滿足？若能，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）