專題訓(xùn)練：勾股定理的逆定理（解析版）

專題訓(xùn)練：勾股定理的逆定理題型8.利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀解題技巧：若三角形的三邊長滿足勾股定理的逆定理，則可以判斷三角形是直角三角形。注意，若邊長是用式子表示的，也同樣可以用勾股定理的逆定理來判斷。1．（2021·湖南八年級期末）在△ABC中，已知AB＝5，AC＝12，BC＝13，則該三角形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】解：∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，∴AB2+AC2＝25+144＝169＝BC2，∴△ABC為直角三角形．故選B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．2．（2021·安徽合肥38中八年級期中）已知，是線段上的兩點，，，以點為圓心，長為半徑畫??；再以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，則一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，進而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】解：如圖所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，

∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．（2021·合肥市第四十五中學(xué)八年級期中）如圖，點C為直線l上的一個動點，于D點，于E點，，，當(dāng)長為________________為直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據(jù)勾股定理用CD表示出AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．【詳解】解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，當(dāng)△ABC為直角三角形時，即解得，CD=3，如圖2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，當(dāng)∠ACB=90°時，由勾股定理得，由得：解得：同理可得：當(dāng)∠ABC=90°時，綜上：的長為：3或2或．故答案為：3或2或．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么4．（2021·浙江）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)是一個三角形的三條邊的長，且c是最長邊，則利用a，b，c三邊間的關(guān)系可判斷這個三角形的形狀；①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如一個三角形的三邊長分別為4，5，6，則最大邊為6，由于c2，故由上面③可知該三角形是銳角三角形．請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別為3、4、6，試說明這個三角形的形狀；（2）若一個三角形的三邊長分別為5，12，x，且這個三角形是直角三角形，求x的值；（3）若一個三角形的三邊長分別為（m＞n，m、n是正整數(shù)），請判斷這個三角形的形狀，并寫出你的判斷過程．【答案】（1）鈍角三角形；（2）13或；（3）直角三角形，過程見解析【分析】（1）由32+42＜62，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況：①當(dāng)x為斜邊時；②當(dāng)x為直角邊時，斜邊為12；由勾股定理即可求出x的值；（3）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）若一個三角形的三條邊長分別是3，4，6，則該三角形是鈍角三角形；理由如下：

∵32+42＜62，∴該三角形是鈍角三角形；

（2）分兩種情況：①當(dāng)x為斜邊時，x=；②當(dāng)x為直角邊時，斜邊為12，x=，綜上所述：x的值為13或；（3）若一個三角形的三邊長分別為（m＞n，m、n是正整數(shù)），則，，，∴這個三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理的逆定理，并能計算推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇八年級期末）在四邊形中，已知，，，．（1）連接，試判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù)【答案】（1）等邊三角形，見解析；（2）150°．【分析】（1）由，，可得是等邊三角形；（2）由是等邊三角形可得再利用勾股定理的逆定理證明從而可得答案．【詳解】解：（1）是等邊三角形．理由如下：連接∵，，∴是等邊三角形．（2）∵是等邊三角形，∴，，∵在中，，．，∴∴，∴．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理分逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2021·南靖縣城關(guān)中學(xué)八年級月考）我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形三邊長分別是5，6和8，因為62+82＝4×52＝100，所以這個三角形是常態(tài)三角形．（1）若△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形常態(tài)三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常態(tài)三角形，則此三角形的三邊長之比為（請按從小到大排列）；（3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，點D為AB的中點，連接CD，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積．【答案】（1）是；（2）：：；（3）△ABC的面積為或6【分析】（1）直接利用常態(tài)三角形的定義判斷即可；（2）利用勾股定理以及結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出兩直角邊的關(guān)系，進而得出答案；（3）分兩種情況利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AC的長，進而求出答案．【詳解】解：（1）∵22+42=4×=20，

∴△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形是常態(tài)三角形．故答案為：是；（2）∵Rt△ABC是常態(tài)三角形，∴設(shè)兩直角邊長為：a，b，斜邊長為：c，

則a2+b2=c2，a2+c2=4b2，則2a2=3b2，2c2=5b2故，，此三角形的三邊長之比為：，當(dāng)b2+c2=4a2，同理可得結(jié)論故答案為：；（3）當(dāng)CD2+BD2=4×62時，∵AD=BD=DC，∴BD=DC=，AB=在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理，此時，當(dāng)CD2+BC2=4×BD2時，∵AD=BD=DC，∴BD=DC=，AB=，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理，此時，故△ABC的面積為或．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及新定義．正確應(yīng)用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型9.利用勾股定理逆定理構(gòu)造或證明直角解題技巧：證垂直，我們已學(xué)習(xí)過多種方法。用勾股定理的逆定理證垂直，可實現(xiàn)數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。解題技巧：與勾股定理中的構(gòu)造直角三角形思路類似，當(dāng)圖形中出現(xiàn)線段長符合勾股數(shù)時，可以通過作輔助線將條件集中到一個三角形中，利用勾股定理的逆定理，構(gòu)造出直角三角形。1．（2021·江蘇九年級其他模擬）如圖，已知ABC．（1）請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作一點D，使AD+BD=AC；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若DC=3，AD=5，AB=4．求證：AB⊥BD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）比較兩個結(jié)論AD+BD=AC和AD+DC=AC，點D只需滿足條件DB=DC即可，為此只需作出線段BC的垂直平分線l，交AC于點D；（2）利用勾股定理的逆定理即可解決．【詳解】解：（1）如圖所示．

則點D就是所求作的符合條件的點．（２）證明：∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴DB=DC=3．在中，∵,,∴．∴∠ABD=90°．∴AB⊥BD．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的作法及性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識點，熟知基本的尺規(guī)作圖的步驟和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山東八年級期末）（1）如圖1，是等邊內(nèi)一點，連接，且，連接．①__度；（答案直接填寫在橫線上）②___﹔（答案直接填寫在橫線上）;③求的度數(shù)．（2）如圖2所示，是等腰直角內(nèi)一點，連接，，連接．當(dāng)滿足什么條件時，．請給出證明．【答案】（1）①；②；③；（2），證明見解析．【分析】（1）①由得到，繼而證明即可解題；②由得到，結(jié)合①結(jié)論，可證明是等邊三角形，即可解題；③根據(jù)得到，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系即勾股定理的逆定理，可證明為直角三角形，繼而得到，再結(jié)合是等邊三角形即可解得據(jù)此解題即可；（2）由可得，可證明為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形邊的關(guān)系可得，最后根據(jù)直角三角形三邊滿足勾股定理解題即可．【詳解】解:（1）①即故答案為：；②，由①得是等邊三角形，故答案為：；③為直角三角形為等邊三角形；（2）當(dāng)時，．理由如下:，為等腰直角三角形，，當(dāng)時，為直角三角形，，當(dāng)滿足時，．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2021·河南省實驗中學(xué)）閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)：工人師傅有一塊不規(guī)則的模板，他已經(jīng)在模板上畫出了一條裁割線AB，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，需要通過AB上一點C，做AB的垂線，進行裁割，但手頭沒有直角尺，怎么辦呢？方法一：取卷尺在AB上量出CD＝30cm，然而分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E，作直線CE，則∠DCE＝90°；方法二：在繩子EF上割取任意長度a，一端記點P，另一端記為點Q，將P點與C點重合，按如圖位置擺放，然后以Q為圓心，PQ的長為半徑畫弧，交AB于點R，連接RQ，并延長到點M使得QM＝QR，連接CM，則∠MCR＝90°．任務(wù)：（1）方法一依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是．（2）利用方法2，證明∠MCR＝90°；（3）不用直角尺，你還有什么方法做出垂線嗎？尺規(guī)作圖：請在木板上，過點C作出AB的垂線L（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）結(jié)合勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)題意描述，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（3）利用作中垂線的方法構(gòu)造即可．【詳解】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，∴CD2＋CE2＝302＋402＝502＝DE2，∴∠DCE＝90°，故“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；故答案為：勾股定理的逆定理（2）由作圖方法可知，QR＝QC，QM＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCM＝∠QMC，∵∠MRC＋∠QCM＋∠QCR＋∠QMC＝180°，∴2（∠QCR＋∠QCM）＝180°，∴∠QCR＋∠QCM＝90°，即∠RCM＝90°；（3）如圖③所示，以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫圓弧交AB于C點兩側(cè)各一點，再以這兩點分別為圓心，大于其一半的長度為半徑畫圓弧，在AB上方交于P點，此時，直線PC即為所求（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）．【點睛】本題考查基本作圖-作垂線，掌握常見的作垂線的方法及其理論依據(jù)是解題關(guān)鍵．4．（2021·湖南婁底市·八年級期末）如圖，一塊四邊形的土地，其中．（1）試說明（2）求這塊土地的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由題意，根據(jù)勾股定理計算BD的長，再判斷與的值是否相等，根據(jù)勾股定理的逆定理解題；（2）根據(jù)題意及（1）中結(jié)論，計算的面積和即可解題．【詳解】（1）是直角三角形（2）．【點睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面積公式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2021·湖南長沙市·八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為．（1）求四邊形的面積；（2）證明：．【答案】（1）12；（2）見解析【分析】（1）采用割補法進行解答即可；（2）如圖：連接AC，運用勾股定理逆定理即可證明．【詳解】解：（1）由題意得四邊形ABCD的面積為：；(2)證明：如圖：連接AC．【點睛】本題主要考查了運用割補法求不規(guī)則圖形的面積、勾股定理的逆定理等知識點，靈活運用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇八年級期末）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為，小正方形的頂點稱為格點．已知、、都是格點．（1）小明發(fā)現(xiàn)是直角，請補全他的思路；小明的思路先利用勾股定理求出的三條邊長，可得，_______，_______．從而可得、、之間的數(shù)量關(guān)系是_____________________，根據(jù)_____________________