新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第32講 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（原卷版）

第32講概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））2020年是全面建成小康社會(huì)之年，是脫貧攻堅(jiān)收官之年.上壩村是鄉(xiāng)扶貧辦的科學(xué)養(yǎng)魚示范村，為了調(diào)查上壩村科技扶貧成果，鄉(xiāng)扶貧辦調(diào)查組從該村辦魚塘內(nèi)隨機(jī)捕撈兩次，上午進(jìn)行第一次捕撈，捕撈到60條魚，共105，稱重后計(jì)算得出這60條魚質(zhì)量(單位)的平方和為200.41，下午進(jìn)行第二次捕撈，捕撈到40條魚，共66.稱重后計(jì)算得出這40條魚質(zhì)量(單位)的平方和為117.附：（1）數(shù)據(jù)，，…的方差，（2）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則；；.（1）請(qǐng)根據(jù)以上信息，求所捕撈100條魚兒質(zhì)量的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為該魚塘魚兒質(zhì)量服從正態(tài)分布，用作為的估計(jì)值，用作為的估計(jì)值.隨機(jī)從該魚塘捕撈一條魚，其質(zhì)量在的概率是多少？（3）某批發(fā)商從該村魚塘購買了5000條魚，若從該魚塘隨機(jī)捕撈，記為捕撈的魚兒質(zhì)量在的條數(shù)，利用（2）的結(jié)果，求的數(shù)學(xué)期望.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）交通信號(hào)燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機(jī)在某一線路的行駛過程要經(jīng)過兩段路，若已知路段共要過個(gè)交通崗，且經(jīng)過交通崗時(shí)遇到紅燈或綠燈是相互獨(dú)立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個(gè)交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個(gè)交通崗遇到紅燈的概率為.（1）求該司機(jī)在路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)的分布列與期望；（2）①求該司機(jī)在路段行駛過程中第個(gè)交通崗遇到紅燈的概率的通項(xiàng)公式；②試判斷在最后離開路段時(shí)的最后一個(gè)交通崗遇到紅燈的概率大于，還是小于，請(qǐng)用數(shù)據(jù)說明.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進(jìn)步帶動(dòng)了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報(bào)電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了翻天覆地的變化;之后，計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).現(xiàn)在，的到來給人們的生活帶來顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第月份至6月份的經(jīng)濟(jì)收入(單位:百萬元)關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如表:時(shí)間(月份)123456收入(百萬元)根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與均為常數(shù))哪一個(gè)適宜作為經(jīng)濟(jì)收入關(guān)于月份的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司8月份的經(jīng)濟(jì)收入；（3）從前6個(gè)月的收入中抽取個(gè)﹐記月收入超過百萬的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):其中設(shè)參考公式和數(shù)據(jù):對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:，4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）.已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響.（1）當(dāng)時(shí)，求能正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知深圳某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在，更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬元；方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬元.請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某城市美團(tuán)外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)每月配送單數(shù)為X，若X∈[1，300]，每單提成3元，若X∈(300，600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元，餓了么外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1，400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元，小王想在美團(tuán)外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2019年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：美團(tuán)外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x(單)131416171820天數(shù)2612622表2：餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y(單)111314151618天數(shù)4512351（1）設(shè)美團(tuán)外賣配送員月工資為f

(X)，餓了么外賣配送員月工資為g(Y)，當(dāng)X＝Y(jié)∈(300，600]時(shí)，比較f

(X)與g(Y)的大小關(guān)系；（2）將4月份的日送餐量的頻率視為日送餐量的概率．①計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年7月18日第30屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，，，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)?，的人?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)?，的為等?jí)，成績(jī)?cè)?，的為等?jí)，其它為等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)設(shè)為，記等級(jí)的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組建了由2名男選手和n名女選手組成的“漢字聽寫大會(huì)”集訓(xùn)隊(duì)，每次參賽均從集訓(xùn)隊(duì)中任意選派2名選手參加省隊(duì)選拔賽．（1）若n＝2，記某次選派中被選中的男生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）若n≥2，該校要參加三次“漢字聽寫大會(huì)”，每次從集訓(xùn)隊(duì)中選2名選手參賽，求n為何值時(shí)，三次比賽恰有一次參賽學(xué)生性別相同的概率取得最大值．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）女排精神是中國(guó)女子排球隊(duì)頑強(qiáng)戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神的總概括．其具體表現(xiàn)為：扎扎實(shí)實(shí)，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀髙峰．甲、乙兩支女子排球隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．假設(shè)在每局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求乙隊(duì)獲勝的概率；（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)和乙隊(duì)共進(jìn)行了X局比賽，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））1.第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國(guó)男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)本屆奧運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過分析甲、乙過去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局打4個(gè)球甲贏的概率；（2）求該局打5個(gè)球結(jié)束的概率．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市為迎接全國(guó)中學(xué)生物理奧林匹克競(jìng)賽舉行全市選拔賽．大賽分初試和復(fù)試．初試又分筆試和實(shí)驗(yàn)操作兩部分進(jìn)行，初試部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”．只有兩部分考試都“合格”者才能進(jìn)入下一輪的復(fù)試．在初試部分，甲、乙、丙三人在筆試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)驗(yàn)操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響（1）甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行筆試與實(shí)驗(yàn)操作兩項(xiàng)考試，分別求三人進(jìn)入復(fù)試的的概率，并判斷誰獲得下一輪復(fù)試的可能性最大；（2）這三人進(jìn)行筆試與實(shí)驗(yàn)操兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人進(jìn)入下一輪復(fù)試的概率．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)以往100個(gè)周期的市場(chǎng)需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場(chǎng)需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤(rùn)不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）假設(shè)在A軍與B軍的某次戰(zhàn)役中，A軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有5人；B軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有4人.（1）現(xiàn)從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率；（2）在A軍和B軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫出X的分布列，并求.13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020年是比較特殊的一年，延期一個(gè)月進(jìn)行的高考在萬眾矚目下順利舉行并安全結(jié)束.在備考期間，某教育考試研究機(jī)構(gòu)舉辦了多次的跨地域性的聯(lián)考，在最后一次大型聯(lián)考結(jié)束后，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的模擬測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布（滿分為750分）.已知，.現(xiàn)在從參加聯(lián)考的學(xué)生名單庫中，隨機(jī)抽取4名學(xué)生.（1）求抽到的4名學(xué)生中，恰好有2名學(xué)生的成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)，2名學(xué)生的成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）用表示抽取的4名同學(xué)的成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小和小兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，甲、乙兩個(gè)盒子中各裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，其中甲盒子中有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)藍(lán)球，乙盒子中紅球、黃球、藍(lán)球均為2個(gè)，小同學(xué)在甲盒子中取球，小同學(xué)在乙盒子中取球.（1）若兩個(gè)同學(xué)各取一個(gè)球，求取出的兩個(gè)球顏色不相同的概率；（2）若兩個(gè)同學(xué)第一次各取一個(gè)球，對(duì)比顏色后分別放入原來的盒子；第二次再各取一個(gè)球，對(duì)比顏色后再分別放入原來的盒子，這樣重復(fù)取球三次.記球顏色相同的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進(jìn)行體檢普查某病毒，費(fèi)用全部由單位承擔(dān)，假定這12名職工的血液中每個(gè)人都不含有病毒（結(jié)果呈陰性）的概率都為p，若對(duì)每一個(gè)人的血樣都進(jìn)行檢查，則每一個(gè)人都要耗費(fèi)比較高的一份化驗(yàn)費(fèi)，經(jīng)過合理的分析后，提出一份改進(jìn)方案：先將每一個(gè)人的血樣各取出一部分，k個(gè)人為一組混合后再化驗(yàn)，如果結(jié)果都呈陰性，則k個(gè)人同時(shí)通過，每個(gè)人平均化驗(yàn)了次，如果呈陽性再將k個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，以找出血樣中含病毒者，這樣每個(gè)人化驗(yàn)（1+）次.（1）當(dāng)p=時(shí)且采用改進(jìn)方案時(shí)取k=2，求此時(shí)每位職工化驗(yàn)次數(shù)X的分布列（2）當(dāng)k=3時(shí)，求采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，且此時(shí)滿足條件的p的取值范圍17．（2008·全國(guó)·（理））已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;(2)表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求的期望.18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某牛奶店每天以每盒元的價(jià)格從牛奶廠購進(jìn)若干盒鮮牛奶，然后以每盒元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的牛奶作為垃圾回收處理．（1）若牛奶店一天購進(jìn)盒鮮牛奶，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：盒，）的函數(shù)解析式；（2）牛奶店老板記錄了某天鮮牛奶的日需求量（單位：盒），整理得下表：日需求量頻數(shù)以這天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．若牛奶店一天購進(jìn)盒鮮牛奶，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列及均值；②若牛奶店計(jì)劃一天購進(jìn)盒或盒鮮牛奶，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)盒還是盒？請(qǐng)說明理由．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）今年九月，九龍坡區(qū)創(chuàng)建全國(guó)文明城區(qū)活動(dòng)正式啟動(dòng)，中央文明辦對(duì)九龍坡轄區(qū)內(nèi)的市民進(jìn)行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識(shí)（