遼寧省鐵嶺市昌圖縣2024屆九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2023-2024學(xué)年遼寧省鐵嶺市昌圖縣九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題2分，共20分）1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．a(chǎn)x2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0答案：D．2．用配方法解方程時(shí)，下列配方錯誤的是（）A．x2+6x﹣7＝0化為（x+3）2＝0 B．x2﹣5x﹣4＝0化為 C．x2+2x﹣99＝0化為（x+1）2＝100 D．3x2﹣4x﹣2＝0化為答案：A．3．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝答案：B．4．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，CD＝6，則CO等于（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．4答案：C．5．等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的值是（）A．8 B．9 C．8或9 D．12答案：B．6．某小組在“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線圖，那么符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀” B．袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機(jī)地取出一個(gè)球是黃球 C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上” D．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6答案：D．7．某廠家2022年2月份生產(chǎn)口罩產(chǎn)量為180萬只，4月份生產(chǎn)口罩的產(chǎn)量為461萬只，設(shè)從2月份到4月份該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．461（1﹣x）2＝180 D．461（1+x）2＝180答案：B．8．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)解為x＝﹣1，則另一個(gè)解為（）A．3 B．﹣3 C．1 D．4答案：A．9．一個(gè)多邊形的邊長分別為2，3，4，5，6，另一個(gè)和它相似的多邊形的最長邊為24，則這個(gè)多邊形的最短邊長為（）A．6 B．8 C．12 D．10答案：B．10．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．答案：C．二、填空題（每小題3小題，共18分）11．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是x1＝3，x2＝1．12．一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，其上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，4，8．隨機(jī)摸取一個(gè)小球后不放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球，則兩次取出的小球上數(shù)字之積等于8的概率是．13．如圖，某單位準(zhǔn)備在院內(nèi)一塊長30m、寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的部分種植花草．如圖，要使種植花草的面積為532m2，則小道進(jìn)出口的寬度為1m．14．已知直角三角形斜邊上的中線是2.5cm，斜邊上的高是2cm，則這個(gè)直角三角形的面積是5cm2．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是正方形，已知點(diǎn)C（，1），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，）．16．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為．三、解答題（第17小題6分，第18、19小題各8分，共22.0分）17．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0，∴a＝1，b＝﹣6，c＝5，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0，則x＝＝，∴x1＝5，x2＝1．18．小明有3支水筆，分別為紅色、藍(lán)色、黑色；有2塊橡皮，分別為白色、黑色．小明從中任意取出1支水筆和1塊橡皮配套使用．試用樹狀圖或表格列出所有可能的結(jié)果，并求取出紅色水筆和白色橡皮配套的概率．解：畫樹狀圖：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出紅色水筆和白色橡皮占1種，∴出紅色水筆和白色橡皮配套的概率＝．19．如圖：在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的長．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC，∴EF＝BC，∴EF＝AD，∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴平行四邊形AEFD是矩形；（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，∵BF＝16，∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，∵DF＝8，∴在Rt△CFD中，，解得：CD＝10．四.（每小題8分，共16分）20．勞動是財(cái)富的泉，也是幸福的泉．某中學(xué)對勞動教育進(jìn)行積極探索和實(shí)踐，創(chuàng)建學(xué)生勞動教育基地，讓學(xué)生參與到農(nóng)耕勞作中．如圖，現(xiàn)準(zhǔn)備利用校園圍墻的一段MN（MN最長可用25m），用40m長的籬笆，圍成一個(gè)矩形菜園ABCD．（1）當(dāng)AB長度為多少時(shí)，矩形菜園的面積為150m2？（2）能否圍成面積為210m2的矩形菜園？為什么？解：（1）設(shè)當(dāng)AB長度為xm時(shí)，矩形菜園的面積為150m2，根據(jù)題意得：x（40﹣2x）＝150，解得：x＝5或x＝15，∵當(dāng)x＝5時(shí)，40﹣2x＝30，不符合題意，∴x＝5舍去，答：當(dāng)AB長度為15m時(shí)，矩形菜園的面積為150m2．（2）不能圍成，如果矩形菜園面積為210m2時(shí)，則：2x2﹣40x+210＝0，Δ＝﹣80＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．答：不能圍成面積為210m2的菜園．21．如圖，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動，如果P與Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PQC和△ABC相似？解：設(shè)經(jīng)過x秒，兩三角形相似，則CP＝AC﹣AP＝8﹣x，CQ＝2x，（1）當(dāng)CP與CA是對應(yīng)邊時(shí)，，即，解得x＝4秒；（2）當(dāng)CP與BC是對應(yīng)邊時(shí)，，即，解得x＝秒；故經(jīng)過4或秒，兩個(gè)三角形相似．五.（本題10分）22．如圖，綜合實(shí)踐活動課中小明同學(xué)用自制的直角三角形模具DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，讓斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求樹高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，∴，∴BC＝6m，∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），答：樹高AB為7.7m．六.（本題10分）23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動．設(shè)移動開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，S的值是多少？（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由．解：（1）如圖1，當(dāng)t＝1秒時(shí)，AE＝2，EB＝10，BF＝4，F(xiàn)C＝4，CG＝2，由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，＝×﹣＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣＝24（cm2）；（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，此時(shí)AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，F(xiàn)C＝8﹣4t，CG＝2t，S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG＝×（EB+CG）?BC﹣EB?BF﹣FC?CG＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t＝2t+8，解得t＝4，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上移動，點(diǎn)F、G都在邊CD上移動，此時(shí)CF＝4t﹣8，CG＝2t，F(xiàn)G＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，S＝FG?BC＝（8﹣2t）?8＝﹣8t+32．即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上的邊移動時(shí)，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，①若＝，即＝，解得t＝．所以當(dāng)t＝時(shí)，△EBF∽△FCG，②若＝即＝，解得t＝．所以當(dāng)t＝時(shí)，△EBF∽△GCF．綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似．七、（本題12分）24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．①若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP＝6，求線段CQ的長；②若BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ＝90度．當(dāng)CQ＝1時(shí)，寫出線段BP的長（不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果）．解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠ABC，∴∠BAP＝∠CPQ．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8﹣6＝2，∴，．②若點(diǎn)P在線段CB上，由（1）知，∵BP＝x，BC＝8，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣x，又∵CQ＝y(tǒng)，AB＝5，∴，即．故所求的函數(shù)關(guān)系式為（0＜x＜8）．若點(diǎn)P在線段CB的延長線上，如圖．∵∠APQ＝∠APB+∠CPQ，∠ABC＝∠APB+∠PAB，∠APQ＝∠ABC，∴∠CPQ＝∠PAB．又∵∠ABP＝180°﹣∠ABC，∠PCQ＝180°﹣∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP＝x，CP＝BC+BP＝8+x，AB＝5，CQ＝y(tǒng)，∴，即（x＞0）．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，∵∠APQ＝90°，∴∠APB+∠QPC＝90°，∵∠PAB+∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠QPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC＝BP：CQ，即5：（5﹣BP）＝BP：1，解得：，或，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長線上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC＝BP：CQ，∴5：（BP﹣5）＝BP：1，解得：，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長線上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC＝BP：CQ，∴5：（BP+5）＝BP：1，解得：．綜上所述，或或或．八.（本題12分）25．如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，點(diǎn)P沿A→B→C→D運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D停止．（1）連接PD，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的距離為x，請用x表示△APD的面積y（直接寫出結(jié)果）；（2）作DE⊥AP于點(diǎn)E．①如圖2，點(diǎn)P在線段BC上，將△APB沿AP翻折得到△APB′，連接B′D，求∠B′DE的度數(shù)；②連接EC，若△CDE是等腰三角形，則DE＝2或或直接寫出結(jié)果．解：（1）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，如圖1，0≤x≤2，y＝S△APD＝AP?AD＝x?2＝x；②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，如圖2，2＜x≤4，y＝S△APD＝AP?AD＝×2×2＝2，③當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，如圖3，4＜x≤6，∴S△APD＝PD?AD＝（6﹣x）×2＝6﹣x；即y＝﹣x+6；（2）①如圖4，過A作AF⊥B'D于F，交DE于G，由折疊得：AB＝AB'，∠BAP＝∠B'AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠B'AF＝∠DAF，∴∠B'AP+∠B'AF＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠AGE＝∠FGD＝45°，∴∠B'DE＝45°；②當(dāng)P在邊AB上時(shí)，如圖1，此時(shí)E與A重合，∴ED＝DC＝2，當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖5，當(dāng)DE＝EC時(shí)，過E作GF⊥CD于F，交AB于G，則FG⊥AB，DF＝FC＝1，∵