高中數(shù)學復習專題28 等比數(shù)列及其前n項和9題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測（解析版）

專題28等比數(shù)列及其前n項和9題型分類1．等比數(shù)列有關的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1.(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列性質(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．常用結論1．等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q，或eq\f(S偶,S奇－an)＝q.（一）等比數(shù)列基本量的運算等比數(shù)列基本量的運算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．(2)解方程組時常常利用“作商”消元法．(3)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解．題型1：等比數(shù)列基本量的運算1-1．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應為（

）A． B． C． D．－2【答案】D【分析】由等比數(shù)列的通項公式直接求解即可.【詳解】因為，解得q＝－2.故選：D1-2．（2024高三下·北京·階段練習）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質求出公比，即可求出的值.【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，，，設公比為，，即，解得或，∴，當時，，當時，.故選：D.1-3．（2024高二下·湖北·階段練習）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】首先由前3項的和為7，得出，再由前3項的積為8，根據(jù)下標和定理得出，則代入求值，結合為遞增的等比數(shù)列，得出的值，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可得出．【詳解】由前3項的和為7，得前3項的積為8，得，即，則，代入，得，即，解得或，因為為遞增的等比數(shù)列，所以，則，所以，故選：D．1-4．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（

）A．682， B．， C．682，或 D．，或【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列方程組，求出和，再由前項和公式求解.【詳解】根據(jù)題意，得，解方程得，或，，或.故選：C1-5．（2024高三·全國·專題練習）已知等比數(shù)列中，，為前項和，，則（

）A．7 B．9 C．15 D．30【答案】C【分析】設公比為，根據(jù)條件列出方程求解，再由求和公式得解.【詳解】等比數(shù)列中，設公比為，，為前項和，，顯然，(如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，可得，解得，即或，所以當時，．當時，．沒有選項．故選：C．（二）等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．題型2：等比數(shù)列的判定與證明2-1．（2024高三·全國·專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．【答案】(1)，．(2)證明見解析，，．【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，即可求解；（2）由（1）得到可得，得出數(shù)列是等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）解：由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因為％，所以①，又因為

②．聯(lián)立①②得，．2-2．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和．證明：(1)是等比數(shù)列．(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關系，利用相減法結合等比數(shù)列的定義即可解決；（2）由（1）得利用放縮法得，求和證明即可.【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得：，即．∴．當時，，即又∵，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，所以令，則．不等式左邊的前2n項和．又，∴原不等式得證．2-3．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過題中關系，可得，進而可得數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯位相減求和解題.【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設，則，兩式相減得，從而∴.（三）等比數(shù)列項的性質(1)等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．(2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．題型3：等比數(shù)列項的性質3-1．（2024·江西·二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則.【答案】5【分析】利用韋達定理，可得，再根據(jù)對數(shù)的運算法則和等比數(shù)列性質求解即可.【詳解】因為與是方程的兩個根，所以，因為為正項等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.3-2．（2024高三下·四川成都·階段練習）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則．【答案】4【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質求解即可．【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質，有，則，解得，所以．故答案為：4．3-3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則.【答案】【分析】先由等比數(shù)列的通項公式得到，進而得到，再根據(jù)等比數(shù)列的性質得到結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質得到：.故答案為128.【點睛】這個題目考查了等比數(shù)列的通項公式的寫法，以及等比數(shù)列的性質的應用，題目比較基礎.對于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關系，即利用數(shù)列的基本性質.（四）等比數(shù)列前n項和的性質（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質，設公比為．①若共有項，則；②若共有項，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數(shù)列，公比為．題型4：等比數(shù)列前n項和的性質4-1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則.【答案】510【分析】利用等比數(shù)列的性質：，，，…構成等比數(shù)列，再利用條件即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質知，，，，…，，…構成首項為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項和，所以.故答案為：510.4-2．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為.【答案】40【分析】用等比數(shù)列的前n項和的性質：當公比時，，也是等比數(shù)列，即可求解.【詳解】因為，，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.4-3．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為．【答案】【分析】當時，；當時，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.【詳解】解：設公比為.當時，，則，此時有；當時，因為，，，所以，，所以，，所以，當時，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.4-4．（2024·江蘇南京·一模）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比.【答案】/【分析】利用變形求得，利用等比數(shù)列的性質可以得到，結合等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，進而求出公比。【詳解】由，得.又正項等比數(shù)列的前項和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故故答案為：（五）由求數(shù)列的通項已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項和的關系來求數(shù)列的通項公式，可由數(shù)列的通項與前項和的關系是，注意：當時，若適合，則的情況可并入時的通項；當時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．題型5：由求數(shù)列的通項5-1．（2024高三·全國·對口高考）已知等比數(shù)列的前n項和為，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合前n項和為，列出前三項計算即可求得.【詳解】由題意可得，，，故有.故答案為：5-2．（2024·廣西玉林·三模）記數(shù)列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為．【答案】【分析】由平面共線向量的坐標表示可得，利用與的關系求出數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】∵，∴，當時，，得，當時，，，兩式作差得：，即，所以是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，則，又不符合上式，所以.故答案為：.5-3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項．【答案】【分析】先求得時；再由可得時，兩式作差可得，進而求解.【詳解】當時，，解得；由，可知當時，，兩式相減，得，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故答案為：【點睛】本題考查由與的關系求通項公式，考查等比數(shù)列的通項公式的應用.（六）奇偶項求和問題的討論求解等比數(shù)列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．題型6：奇偶項求和問題的討論6-1．（2024高三·全國·對口高考）設數(shù)列的首項，且，記.(1)求；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；(3)求.【答案】(1)(2)若，不是等比數(shù)列；若，是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(3)若，；若，=.【分析】（1）直接代入已知條件計算即可；（2）由已知及遞推公式可得，再討論的值即可判定；（2）結合（2）的結論分情況由公式求和即可.【詳解】（1）由題意可知：（2）由，而，若，則，顯然不能是等比數(shù)列，若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）可知，若，則為常數(shù)列，各項均為0，故；若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的求和公式得：=.6-2．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且(1)設，求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)(2)20【分析】（1）通過構造得，則可得到的通項；（2）利用等比數(shù)列求和公式得，通過作差得，，則得到是一個增數(shù)列，計算即可得到答案.【詳解】（1）因為所以，，，所以．又因為，所以，所以．因為，所以，又因為，所以，所以，所以，即，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，因為，，所以是一個增數(shù)列，因為，，所以滿足題意的n的最小值是20．6-3．（2024·河北·模擬預測）已知數(shù)列滿足，(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合等比數(shù)列的定義分析運算；（2）先根據(jù)等比數(shù)列結合累加法求，再利用錯位相減法求和.【詳解】（1）由題意可得：，且，則，所以數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，即，可得：，所以，即，則，可得，則，兩式相減得：，所以.6-4．（2024·山東濟寧·二模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計算即可求解，（2）由分組求和，結合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當為奇數(shù)時，．當為偶數(shù)時．所以（七）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型7：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用7-1．（2024高二上·陜西渭南·期末）在等差數(shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列出方程組求解即可；（2）設數(shù)列的通項公式為，由等比數(shù)列公式求出可得，再由分組求和得解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題知，則，解得．（2）設數(shù)列的通項公式為，則，，則．7-2．（2024·江蘇）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項和.(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列，等差數(shù)列通項公式和前項和的基本量，列出等量關系，求解即可證明；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的基本量，結合為正整數(shù)，即可證明；（3）假設存在三項滿足題意，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列基本量的計算，列出方程，即可求得滿足題意的.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，由，可得，；因為，故，，故.（2），由可得，解得或，但，故，因為為正整數(shù)，故是整數(shù)；設數(shù)列中任意一項為，只要證明數(shù)列中存在某一項，使得即可，即方程關于有正整數(shù)解即可.則，，也即，若，則，那么，；若，則（舍）；若，則（舍）；若，則為正整數(shù)，又因為，故只要考慮時的情況，此時是正整數(shù).數(shù)列中任意一項與數(shù)列中的第項相等，故結論成立.（3）設數(shù)列中有三項成等差數(shù)列，則有，設，則，令，則，，因為，故（舍去負根），故存在使得中有三項成等差數(shù)列.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列基本量的計算；處理問題的關鍵是能夠熟練應用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式和前項和基本量的計算，屬綜合難題.7-3．（2024高二上·福建龍巖·階段練習）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為等差數(shù)列的前項和，求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2)13.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質及等比中項列出方程求出公差，即可得通項公式；（2）由前n項和公式求和，解不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，設等差數(shù)列的公差為，由，則，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值為13.（八）等比數(shù)列的范圍與最值問題求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關于變量n的函數(shù)關系進行求解．有時也注意基本不等式的應用．題型8：等比數(shù)列的范圍與最值問題8-1．（2024·陜西西安·三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和（

）．A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【分析】由已知可得，進而判斷的單調(diào)性及各項的符號，即可確定其最值情況.【詳解】若公比為，則，又，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列且，則在時取最大值，但無最小值.故選：C8-2．（2024高三上·貴州銅仁·期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】設公比為，則，由，得，根據(jù)為遞增數(shù)列，推出，再推出，，，，，，，可得結果.【詳解】設公比為，則，由，得，因為，所以為遞增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．8-3．（2024·北京海淀·模擬預測）設無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．數(shù)列有最大項 D．數(shù)列有最小項【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，分析可知，取，可判斷AB選項；分、兩種情況討論，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷CD選項.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，則，由可得且，對于AB選項，若，，當為奇數(shù)時，，此時，則，當為偶數(shù)時，，此時，則，此時數(shù)列不單調(diào)，AB都錯；對于CD選項，，當時，此時數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項，無最大項；當時，若為正奇數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞減，則；當為正偶數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞增，則.故當時，的最大值為，最小值為.綜上所述，有最小項.故選：D.8-4．（2024高三上·廣西玉林·階段練習）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進而可判斷其它選項．【詳解】解：若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯誤；，單調(diào)遞增，故D錯誤；，，故C錯誤．故選：B．8-5．（2024高三上·福建三明·期中）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．數(shù)列無最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質分析公比的范圍，由此分析選項可得答案．【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當時，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項：對于A，，故，故A錯誤；對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對于D，由B的結論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.故選：C.8-6．（2024·山東泰安·二模）已知數(shù)列的前n項和為，，，.(1)求；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，都有成立，求實數(shù)的范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，可得，兩式相減并化簡后可得，后分奇偶情況可得；（2）方法1，由題，由等比數(shù)列前n項和公式可得表達式；方法2，注意到，可得表達式.后注意到的單調(diào)性，利用可得答案.【詳解】（1），.，，.又，，，數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別是以2，4為首項，4為公差的等差數(shù)列.當時，；當時，.綜上，，（2）方法一：，.，.方法二：，，，，∴時，為遞增數(shù)列，時，為遞減數(shù)列，若，都有成立，只需使，則且，則.（九）等比數(shù)列的實際應用(1)解應用問題的核心是建立數(shù)學模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型．(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應用題要注意步驟的規(guī)范性：設數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．(4)在近似計算時，要注意應用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．題型9：等比數(shù)列的實際應用9-1．（2024·廣東廣州·模擬預測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則（答案精確到1）.【答案】9920【分析】根據(jù)已知，建立與的關系式，通過比較系數(shù)，得到和的值，進而得到是等比數(shù)列，求得其前項的和，即可得出的結果.【詳解】由題知，，，，，，由得，則，解得，所以，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因，所以.故答案為：9-2．（2024·福建福州·三模）英國數(shù)學家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標度單位.一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構成一個等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構成一個公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（

）A．400 B．500 C．600 D．800【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項即可由指數(shù)運算求解.【詳解】由題意可知，1200個音的頻率值構成一個公比為的等比數(shù)列，設第一個音為，所以，故，因為，所以.故選：C9-3．（2024·全國·三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為．【答案】880【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知求出，再利用等比數(shù)列的通項即得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，所以，則左起第61個鍵的音的頻率為．故答案為：8809-4．（2024·遼寧大連·一模）某高中圖書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數(shù)表有關，數(shù)表構成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆別數(shù)對應表中相應行的自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數(shù)的個位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是屆2班13號學生.【答案】【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，得到第行的第個數(shù)為，根據(jù)通項公式得到的個位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，然后根據(jù)代入分別檢驗，即可求解.【詳解】根據(jù)圖表可得，第行的前兩個數(shù)之差為，設第行的第一個數(shù)為，則，即兩邊同時除以，可得，且，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因為的個位數(shù)分別為，所以的個位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，因為，所以，若時，則，因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；若時，則，因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；若時，則，因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；若時，則，因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為，同理可得：的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，所以某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則，故推斷該畢業(yè)生是屆2班13號學生.故答案為：.一、單選題1．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件結合等比數(shù)列通項公式列方程求即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，A錯誤，C錯誤，D正確，所以，B錯誤；故選：D.2．（2024·全國）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.3．（2024·江西撫州·模擬預測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質結合求和公式，基本量運算，寫出通項公式即得.【詳解】由等比數(shù)列的性質可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故選：B.4．（2024·江西·模擬預測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設等比數(shù)列的公比為，討論不成立，時，由等比數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程求解即可得出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；所以，則，解得，所以．故選：A．5．（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列【答案】D【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，，最小；當為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：D.6．（2024高三·全國·對口高考）設是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結論的編號是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質及等比數(shù)列的通項公式判斷①；利用等比數(shù)列的性質及不等式的性質判斷②；利用下標和定理判斷③；利用等比數(shù)列的性質判斷④，從而得出結論．【詳解】對于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對于②：，故②錯誤；對于③：，故③正確；對于④：，，故④正確．故選：D．7．（2024·廣西·模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及函數(shù)的單調(diào)性，結合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.8．（2024高二上·廣東清遠·期中）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)，得到數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，然后求得其通項公式判斷.【詳解】解：因為滿足，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又因為，所以單調(diào)遞增，故選：A9．（2024高二上·陜西咸陽·期末）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先確定,由得,根據(jù)的單調(diào)性確定的取值范圍.【詳解】是等比數(shù)列，故，當時，各項正負項間隔,為擺動數(shù)列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知.故選:D10．（2024高三上·江西贛州·期中）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．數(shù)列無最大值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.【詳解】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結合可得，結合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.11．（2024高三上·貴州黔西·階段練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列．再結合等比數(shù)列的性質逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項均為正值，若，當時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因為，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；由等比數(shù)列的性質可得，所以，故錯誤．故選：．12．（2024·上海青浦·一模）設等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】由題意可得，，結合等比數(shù)列的性質逐一核對四個命題得答案．【詳解】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結論的序號是①③．故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及其性質、遞推關系、不等式的性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．13．（2024·全國）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．14．（2024·天津）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當時，，所以，即，當時，，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.15．（2024·湖南長沙·二模）設等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列通項公式以及前項和的公式即可求解.【詳解】因為，所以.所以，解得.，，解得.故選：D16．（2024高三下·陜西安康·階段練習）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則使得成立的n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列方程求解.【詳解】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值為9；故選：C.17．（2024·四川巴中·模擬預測）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】已知條件作商可求得，然后根據(jù)等比數(shù)列性質可得.【詳解】因為，，所以，解得，則．故選：B18．（2024·河北滄州·模擬預測）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，則（

）A．40 B．81 C．121 D．156【答案】C【分析】設出公比，列出方程，求出公比，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】設公比為，由可得，，因為，所以，因為，解得，所以，所以.故選：C.19．（2024·河南·三模）數(shù)列{an}滿足，，數(shù)列的前項積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的定義得到數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出通項，利用通項即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列滿足a1＝，an+1＝2an，易知，所以為常數(shù)，又，所以數(shù)列是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故選：C．20．（2024·安徽安慶·三模）在等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質求解即可.【詳解】由可得，又，故，則，解得，即.故選：D21．（2024高三上·廣西桂林·期末）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項，，使得，則最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】先利用等比數(shù)列的通項公式求得公比，從而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為正項等比數(shù)列滿足，設其公比為，則，，所以，得，解得，因為，所以，則，即，故，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：B.二、多選題22．（2024·山西大同·模擬預測）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠都取不完，設第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由已知可得，逐個驗證選項即可.【詳解】根據(jù)題意可得是首項為，公比為的等差數(shù)列，則，，故A錯誤；，故B正確；，，則，故C正確；，故D正確．故選：BCD．23．（2024·湖北武漢·三模）已知實數(shù)數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質判定AB選項，根據(jù)等比數(shù)列的性質判定CD選項.【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設其公差為d,則,顯然當才相等，故A錯誤，而，作差可得成立，故B正確；若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設其公比為q，則，作商可得或所以或，故C錯誤；由題意得各項均不為0，而實數(shù)范圍內(nèi)，，即且，結合選項B的計算可得，故D正確.故選：BD.三、填空題24．（2024·山東泰安·二模）若m，n是函數(shù)的兩個不同零點，且m，n，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則.【答案】【分析】由題可確認m，n同為正數(shù)，則成等比數(shù)列，又不妨設，則成等差數(shù)列，即可得答案.【詳解】由題可得，則成等比數(shù)列，得.又不妨設，則成等差數(shù)列，得.結合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：25．（2024·江西新余·二模）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點，則.【答案】【分析】分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用韋達定理可得出，分析出的正負，結合等比中項的性質可求得的值.【詳解】因為在數(shù)列中，，，則，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，因為、是函數(shù)的兩個零點，由韋達定理可得，因為，可得，所以，，由等比中項的性質可得，因此，.故答案為：.26．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則．【答案】16【分析】由等比數(shù)列的性質得到，從而根據(jù)前9項的乘積列出方程，求出，求出首項.【詳解】由題意得：，故，故，所以.故答案為：1627．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為.【答案】或【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質得到，結合得到是方程的兩根，從而求出，得到公比.【詳解】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或28．（2024高二下·北京·期中）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.【答案】27【分析】依題意不妨令，，根據(jù)等比數(shù)列下標和性質計算可得.【詳解】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：29．（2024高二下·湖北十堰·階段練習）已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則可得，再利用等比數(shù)列性質和函數(shù)可得，利用倒序相加即可得.【詳解】由題意可知，，所以；由等比數(shù)列性質可得；又因為函數(shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：30．（2024高三·重慶·階段練習）在等比數(shù)列中，，，則【答案】【分析】根據(jù)題意，利用通項公式的變式，可推出，進而可求出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為由等比數(shù)列性質可得，，所以，所以.故答案為：.31．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則.【答案】600【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質得到，求出，然后用等比數(shù)列片段和性質得到即可求解【詳解】設等比數(shù)列的公比為因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，，成等比數(shù)列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：60032．（2024高三上·江蘇泰州·期末）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為.【答案】91【分析】方法一：利用等比數(shù)列前項和的性質即可求解；方法二：利用等比數(shù)列前項和的公式，代入計算即可求解.【詳解】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.33．（2024高三上·重慶·階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意可得，進而求得，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q，由，得，故，所以.故答案為：.34．（2024高二下·湖北十堰·階段練習）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則，的等差中項為.【答案】/【分析】利用等比數(shù)列部分和的性質求出，然后利用等差中項求解答案.【詳解】設，因為為等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列.因為，，所以，解得或（舍去）.所以，的等差中項為.故答案為：.35．（2024·江西南昌·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為【答案】【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為.若，當為偶數(shù)時，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.36．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項.【答案】【分析】將條件中兩式相加可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】，，又，所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列故答案為：37．（2024高三上·上海浦東新·開學考試）設冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項．【答案】【分析】將代入，得，兩邊同時取對數(shù)，構造等比數(shù)列求解即可.【詳解】∵，∴，∵，∴數(shù)列各項均為正數(shù)，且各項均不為，∴，∴數(shù)列各項均不為，∴，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴.故答案為：.38．（2024高三·江蘇·專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可取，，即可得出.【詳解】不妨設，依題意數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，所以，又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.故答案為：（答案不唯一）.39．（2024高二上·河南南陽·階段練習）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），則an＝.【答案】【分析】利用項和公式求解即可.【詳解】由題得，兩式相減得，即，n=1時，，所以數(shù)列{an}從第2項起是等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項為.故答案為【點睛】本題主要考查項和公式求數(shù)列的通項，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.40．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知數(shù)列{}的通項與前n項和之間滿足關系則=【答案】【分析】先求解，再利用公式，得出，結合等比數(shù)列通項公式可求．【詳解】當時，，所以；當時，整理得，即是以為公比的等比數(shù)列，所以，當n=1時也符合，故答案為：41．（2024高一下·上海寶山·階段練習）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對恒成立，則的范圍為.【答案】【分析】利用數(shù)列的遞推不等式，通過構造由遞推特征得到通項特征，再由求的范圍.【詳解】因為，所以，所以因為，所以，即對恒成立，對恒成立，因為，所以，又因為是正數(shù)數(shù)列，所以，所以的取值范圍為.故答案為：42．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為q，前n項和，若對于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為.【答案】【分析】由已知結合等比數(shù)列的求和公式代入可求公比q的范圍.【詳解】對于任意正整數(shù)n有，當時，，符合要求，當時，，且，，，，綜上可得，.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡單應用，考查了分類討論的思想，考查了運算能力，屬于中檔題.43．（2003高一·北京·競賽）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是.【答案】；【分析】設三邊：、、、則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊，把、、、代入，分和兩種情況分別求得的范圍，最后綜合可得答案．【詳解】解：設三邊：、、、則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊，即（1）當時，等價于解二次不等式：，由于方程兩根為：，故得解：且，即（2）當時，為最大邊，即得，解之得或且即綜合（1）（2），得：故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質、一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想，屬基礎題．44．（2024·湖南長沙·三模）中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則此人在第六天行走的路程是里（用數(shù)字作答）.【答案】6【分析】根據(jù)題意分析，看成首項，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：645．（2024·四川成都·三模）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設圓，圓…的面積依次為，…，那么．【答案】【分析】如圖，設圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.根據(jù)圓切線的性質，結合等比數(shù)列的定義可得是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.【詳解】如圖，設圓與弧AB相切于點D，圓，圓與OA分別切于點C，E，則，.設圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.因為，所以.在中，，則，即，解得.在中，，則，即，解得.同理可得，，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.又圓的面積為，所以面積，，，…，構成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.46．（2024·陜西西安·一模）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數(shù)列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則．【答案】【分析】求得，確定各圓的面積成以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，后一個圓的半徑為前一個圓半徑的一半，故各圓的面積成以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：47．（2024·貴州銅仁·二模）是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為（寫出關于表達式即可）.【答案】【分析】逐步求出第一、二、三、四個黃金三角形的腰長即可.【詳解】第一個黃金三角形：的底為，由可得腰長；第二個黃金三角形：的底為，由可得腰長；第三個黃金三角形：的底為，由可得腰長；第四個黃金三角形：的底為，由，可得腰長，故答案為：.四、解答題48．（2024·安徽亳州·模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；(2)求證：當n為偶數(shù)時，.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）首先確定第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，再結合條件列出關于數(shù)列的遞推公式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，并且變形后，利用累加求和，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）首先由條件確定，再根據(jù)（1）的結果，確定數(shù)列的通項公式，再比較大小.【詳解】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當n為偶數(shù)時，，∴.49．（2024高三·上?！ｎ}練習）已知數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.【答案】或【分析】先求出的通項公式，表示出數(shù)列，利用求出的范圍.【詳解】因為數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，所以.因為是遞增數(shù)列，所以，即.當時，，，符合題意；當，，若，則恒成立，因為，所以.綜上，或.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質及數(shù)列單調(diào)性，數(shù)列單調(diào)性一般利用作差法處理，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).50．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得與的關系，即可證明；（2）方法一：由的單調(diào)性可判斷，結合已知條件，將問題轉化為對任意恒成立，由（1）中所求，即可求得參數(shù)范圍；方法二：對已知條件中的兩個遞推公式作差，求得，結合（1）中所求，即可求得；再根據(jù)其單調(diào)性，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題可知：，，故可得，又，∴，∴，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列.（2）方法一：∵是遞增數(shù)列，∴對任意恒成立，∵，∴則對任意恒成立，即對任意恒成立，由（1）知，∴對任意恒成立，因為當時取得最大值，且最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍為.方法二：得即，又，故數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，因為是遞增數(shù)列，所以對任意恒成立.所以，所以，所以，因為當時取得最大值，且最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍為.51．（2024高三·全國·專題練習）數(shù)列的前和滿足，(1)求的值及與的關系；(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式.【答案】(1)，；(2)證明見解析，【分析】（1）由可得，再結合，可得結論；（2）由（1）可得，結合等比數(shù)列定義證明建立，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求數(shù)列的通項，由此可得結論.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，故當時，，得；（2）由（1）知，則有，由于，故，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.52．（2024·云南·三模）已知數(shù)列有遞推關系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項和公比.【答案】(1)(2)證明見解析，首項為，公比為【分析】（1）根據(jù)以及推出，結合已知，比較系數(shù)可求出結果；（2）由（1）得，，推出，根據(jù)等比數(shù)列定義可證結論正確.【詳解】（1）因為，所以，，由已知得，所以，解得或，因為，所以.（2）由（1）知，，，，，，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.53．（2024·福建廈門·模擬預測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及等比數(shù)列的通項公式，利用等差等比數(shù)列的前項和公式，結合數(shù)列中的分組求和法即可求解.【詳解】（1）由題意得．又因為，所以．所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得．所以．所以.54．（2024·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，兩式相加、相減，結合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通項公式，從而得到，再利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，，又由，得，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．55．（2024高三·上?！ｎ}練習）數(shù)列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前項和.【答案】【分析】設，利用二項式定理求出兩數(shù)列中公共項，主要看中有哪些項是中的項，由此確定，從而可求得其前項和．【詳解】設，即.，即為奇數(shù)，，∴．【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和，解題關鍵是確定兩數(shù)列的公共項，一般情況下確定等比數(shù)列中哪些項是等差數(shù)列中的項比較簡便易求．56．（2024·天津南開·二模）設為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項公式；(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；(3)記，求.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量法求得通項公式；（2）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式求得后，用作差法證明；（3）并項然后裂項求和．【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意，，即，解得.所以.因為，，所以，從而.（2）由（1）知，，所以.因為，所以.（3）因為，所以．57．（2024·湖南邵陽·三模）記