考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷6（共317題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷6（共

9套）

（共317題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1

一、選擇題（本題共5題，每題上0分，共5分。）

1、設(shè)場(chǎng)A={x3+2y,y3+2z,z3+2x},曲面S：x?+y2+z2=2z內(nèi)側(cè)，則場(chǎng)A穿

過曲面指定側(cè)的通量為（）.

A、32兀

B、一32兀

32」

c、T

_32-

D、一百

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

。=勺（工$+2y）dydz++2z）dzdx+（z，+2x）drd>

s

=—3G（x1+/+/）dv=-此f如［：ks>nfdr

a

=—Sxf^sinoxl^r^/dr=—sin^cos5<pd（p=—選（D）.

知識(shí)點(diǎn)解析：J。即。5J。2f5

?o

設(shè)X"?條件收斂，且lim3=入則（）.

2、o-i

A、IrI<1

B、IrI>1

C、IrI=-1

D、r=1

標(biāo)準(zhǔn)答案：C'

知識(shí)點(diǎn)解析:

因?yàn)閆"?條件收斂，所以級(jí)數(shù)2>?一定不是正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，故r&O.

■-1

若“IV1?則回片￥="IV1,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，矛盾；

若Ir|>hWlim-L^U-=1r|>1?存在充分大的N,當(dāng)n>N時(shí).{|u.|}單調(diào)增加.

L8|“?|

OO

lim“.K0,于是2”.發(fā)散，矛盾,故"1=1,再由廠&0得r=-1,選（C）.

—E.-I

設(shè)”.=（-D?ln（l+、），JU（）.

（A）￡>?與￡“：都絕對(duì)收斂（B）￡>?條件收斂，￡>：收斂

<c）s?-與會(huì)>：都發(fā)散（D）￡>.發(fā)散.￡“：收斂

3、-??-1

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：

顯然￡”?條件收斂，S>：=￡廚（1+工），因?yàn)椤?8時(shí)，方（1+工）?[,而

%J收斂，所以￡>：收斂?選（B）.

■-1”

5>.（彳一2尸S~^7（”-2戶

4、設(shè)基級(jí)數(shù)W在x=6處條件收斂，則第級(jí)數(shù)???！笔?的收斂

半徑為（）.

A、2

B、4

C、V2

D、無(wú)法確定

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

y]g,(x—2)a2ax.

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樨霸趚=6處條件收斂，所以級(jí)數(shù)Wli的收斂半徑

ya"?

為R=4,又因?yàn)榧?jí)數(shù)…〃+1占'有相同的收斂半徑，所以￡〃+】x的

收斂半徑為R=4,于是±n+l的收斂半徑為R=2,選(A).

5、

z,―

設(shè)“力=.S(x)=￡+

2—2x,J<x<1

It

中a.=2jj(jr)cosndx,則S).

(A)1(B)-f(C)T(D)-Z

標(biāo)準(zhǔn)答案：c

知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行偶延拓，使f(x)在(一1,1)上為偶函數(shù)，再進(jìn)行周期

為2的周期延拓，然后把區(qū)間延拓和周期延拓后的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉

級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x),則

S(—/)=S(2-/)=S(-另=S(/)=信-0)+/(/+0)卜年,選??

二、填空題(本題共9題，每題7.0分，共9分。)

設(shè)曲線L：:Z：：：丁堿l+2i)d,

6、

標(biāo)準(zhǔn)答案：2血3

§(x*+2yl+r)ds=$(x*+2_y')ds='(x:++z2)ds

a2ds=agds=2?a3

知識(shí)點(diǎn)解析:

7、,其中L：(x2+y2)2=a2(x2—y2)(a>0).

標(biāo)準(zhǔn)答案：2a?2_々)

知識(shí)點(diǎn)解析：

IL的極坐標(biāo)形式為L(zhǎng)i=Q2cos2九小=，^(6)+柄'(。)此=—dff

(cos28

IyIds=41aJcos2dsin^?—==,60=4a2rsi=2a2(2—y/2)

JLJ。7cos2^J。

8、設(shè)向量場(chǎng)A=2x3yzj—X。).二年,則其散度divA在點(diǎn)M(l,1,2)沿方向1

：—(divA)

dlM

={2,2,一1}的方向?qū)?shù)=.

22

標(biāo)準(zhǔn)答案：T

知識(shí)點(diǎn)解析：

divA=裴+符+器=—2x2yz-2x2yz=2x2yz,

；(divA)x=8i--(divA)M=4,；(divA)M=2?cosa=—co歲=,cosy=一，

oxdydz333

則夕divA)|M=8X"|"+4X"1?+2K(----1-)=等.

9、設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)Q,0)的有向弧段y=x(2—x),則

(ye*—er+_y)dx+(ze-'+e*)dy_

2

標(biāo)準(zhǔn)答案:-3

知識(shí)點(diǎn)解析：P(x,y)=yex-e丫+y,Q(x,y)=xey+ex,

廣=e'+/丁=e'+e，+1,產(chǎn)—==-1,

oxaydxdy

令L。：y=0(起點(diǎn)x—2,終點(diǎn)x-0),

則L-+")必+(*e'+e*)dy*(￡L.—e_,4->)dx4-(xe-J,4-ex)(l>,

而￡L6cx-e'+y)cLr+(管-，+e*)dy

￡

3

j(**—e~+1y)k+(xe-7+e*)dym[—dx千2.

于是](yeJ—e'+y)dx+<xe'+e，)dy=y—2=—奈

io、設(shè)f(u)連續(xù)可導(dǎo)，且=2,L為半圓周,=oe*,起點(diǎn)為原點(diǎn)，終

點(diǎn)為B(2,0),則/=【/叱+，》］業(yè)+，力)=

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

也=比

知識(shí)點(diǎn)解析：P(x,y)=xf(x2+y2)?Q(x,y)=yf(x2+y2),因?yàn)?=2xyf(x2

+y2),所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，故

x，

I—￡/(x*4-y*)(xdx+ydy)=yj(o01^+，)d(z’+/)=上］'")"=1?

1K巳知小)=金轉(zhuǎn)，則尸⑶=。

標(biāo)準(zhǔn)答案：一)”!(-/)

,,、_]_]]_]1]

1

?—31r+2x—2x—11H-(r-3)2..JC—3

￡~2~

￡1》(工-3)-一火與黑(…》

^T)(z—3)"(—2?<x?<4)?

則=（T）'（l一擊）'所以〃⑶=（一1）、?。?一煮）?

知識(shí)點(diǎn)解析:

yi/+1

12、忘記=o

標(biāo)準(zhǔn)答案：3e

知識(shí)點(diǎn)解析：

令SG)=X幾*1(―8V]V+8),

…p令**?+患,=s27…

=S鈣i=￡筋八4』…

=S7一1+(]+1*=(x*4-xd-De,

仁(森一2)!

于是=S⑴=3e.

co

13W(n+1)2-------------

標(biāo)準(zhǔn)答案：2(1-ln2)

知識(shí)點(diǎn)解析：

99

令S(N)=Zx<1),

?■1”十1

則sz(x)=￡皿?==工￡(工-)，-工(￡*?)，-n(1、不，

因?yàn)镾(0)-0.

所以SQ)=S(x)-S(0)=￡五士1"=J：[占+昌>]出

=InIr-1|------二=In|x—1|—(一二+1)=InI?r一】|---1?

ox-1o\z—】/x-1

則￡舟汨=2S(?=2《】—E2).

亨(―1嚴(yán)4+1

14、設(shè)級(jí)數(shù)士條件收斂，則p的取值范圍是.

標(biāo)準(zhǔn)答案：2"、2

知識(shí)點(diǎn)解析：

.8時(shí),必耳￡^---------1-------------------1,

n獻(xiàn)(/TFT+G)2內(nèi)

因?yàn)間(一1尸條件收斂,所以+

三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)

15、設(shè)f(x,y,z)連續(xù)，2為曲面2z=x?+y2位于z=2與z=8之間部分的上側(cè)，

計(jì)算」[yf(x,y,z)+x|dydz+[xf(x,y,z)+y]dzdx+[2xyf(x,y,z)+z]dzdy.

標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面2z=x?十y2上任一點(diǎn)(x,y,z)指向上側(cè)的法向量為n={1x,

y,1),法向量的方向余弦為

zV1

cosa------====.>cosfl------—?cosy=-======.

>/14-x2+yl>/14-x*4-yl+?+T

則JJ[W(z?y，z)+z]dydN+[>f(J：,y,z)+文|擊：業(yè)+[24〃],力力+z]didy

=jJ{[yf(N，y，z)4-x]cosa+[x/(x?>?x)+y]co*+[2xy/(N,y,N)+x]cos/}dS

4號(hào)"s

因?yàn)閐S.+wS+z/dxdy-，1+*2+\drdy,

所以原式=_yj(x2+y2)djdy=-=-60x.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

r“/)

16、設(shè)J<。⑼""'')"+xcosydy=t2,f(x,y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求f(x,y).

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以有cosy=fj(x,y),則f(x,y)=siny+

C(x),而

.(，/)prf

J”o‘八工'J)dx+oxo”d_y=/?即]。以4)必十Jicusydy=J,兩邊對(duì)t求導(dǎo)致得

C(t)=2t—sin/2—2產(chǎn)cos/?于是/(x?y)=siny4-2x—sinx2—2xlcosx1.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

,（工一_y）ctc+（力+4y）dy

17、設(shè)L為曲線IxI+Iy|=1的逆時(shí)針方向，計(jì)算*"+短

標(biāo)準(zhǔn)答案：

「二*存'<3=并苦'第=皆'令。：？+4丁=’">0）逆時(shí)針且。在曲

線L內(nèi)，則有

￡字r”曲噸"一7”；歲4四二婭GJ&+Q+仃曲

=卻以=2Xp-X,rXrXy=x.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

18、位于點(diǎn)（0,I）的質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為"（其中常數(shù)k>0,且r=I

AMI）,質(zhì)點(diǎn)M沿曲線L：，=，2上一x1自點(diǎn)B（2,0）到點(diǎn)（0,0）,求質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)

點(diǎn)M所做的功.

任取M(x,y)EL,r=6+6—1尸,

兩質(zhì)點(diǎn)的引力大小為?F?=4=-7TL…,

rlx1+(y—l)z

MA={-N,1—y}尸=MA^—*1*/_x?l—y}?

/x1+(y-】)’

則F=|F|F=———-yf-xa-y1,

B+G-D甲J

則w=JLP(x?^)dx+Q(x?y)dy,

其中P(x,y)一才/（3）W，Q（3）*1一3)

3+(y-l刃+

因?yàn)楹?器=后償扁p所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)'從而

W=P(x?y)dz4-Q(x，7)dy

JBO—Gr'+m

=一肅江…用

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

19、在變力F={yz,xz,xy）的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面

￡i+^-F-=1

/b2?上第一卦限的點(diǎn)M?,n，，），問。n，，取何值時(shí)，F(xiàn)所做的功最

大?求最大的功.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)原點(diǎn)O到點(diǎn)M化，中G）的直線為L(zhǎng)，L的參數(shù)方程為

N=門

L：4y="〃起點(diǎn)I=0?終點(diǎn)t=1）

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為倩吟②時(shí)，力F所做的功最大,且最大功為呼出.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

20、質(zhì)點(diǎn)P沿以AB為直徑的半圓從點(diǎn)A(l,2)到點(diǎn)B(3,4)運(yùn)動(dòng)，受力F的作

用，力的大小等于IOPI,方向垂直于線段OP且與y軸的夾角為銳角，求力F所

做的功.

力的大小IF|=J2+』，/=(工,—,OpB=(x,V).

則F°=-7=^=^{—y,幻,于是F=lF|F={一「外，故

VJ,4-y

W=jP(/,、)&+Q(z,_y)dy=|—ydr+jrdy

=$國(guó)—ydx+xdy+J?-ydx+xdy

>—>dx+xdy=*言-那郎=2甲郎

-ydx+idy=|[-(z+1)+x]dx=-2

標(biāo)準(zhǔn)答案：所以W=2(”_l).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

21、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且曲線積分J""/-2〃"+”/上業(yè)+/(力(^與路徑

無(wú)關(guān)，求f(x).

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以有F(x)=3F(x)—2f(x)+xe2x,gpf'(x)

-*3f(x)+2f(x)=xe2x,由特征方程產(chǎn)-3人+2=0得勾=1,入2=2,則方程F(x)

x2x2x

-3f(x)+2f(x)=0的通解為f(x)=Cie+C2e,令特解f()(x)=x(ax+b)e,代入

原微分方程得a=+,b=-1,故所求f(x)=CieX+C2e2、+信一”產(chǎn)，

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

『__

22、計(jì)算4工'+/+。其中S為圓柱x2+y2=a2(a>0)位于z=-a與z=a之間

的部分。

標(biāo)準(zhǔn)答案：

dS

4IT丁_+y+

l2

令Sity=—Va—x*?St?y=Va—.D.=a<zaa,—a}.

dS■"雁方面

由對(duì)稱性得

心+￥++

=2aL7T?=^xfx7xf

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

：

2222(x*+4^4-9?)dS.

23、設(shè)S：x4-y+zo=a,計(jì)算4

由對(duì)稱性得jj/ds=jjy*ds=jjz'ds=基+>'+z')ds.

而jj(*'+丁+r1)ds=a'g山=4xa’，

所以口叱+4y+9/)ds=1加:出=14XjX4na*=史畀.

標(biāo)準(zhǔn)答案:

知以點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

,ITcx1+z)dydz+3+z)dzdr+drdy

24、計(jì)算曲面積分々,其中Z是曲線

lz=1-x2,

L=°繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面，取外側(cè).

標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面E：z=i—X2—y2(z>0),補(bǔ)充曲面Zo：z=0(x2+y2<l),取下

側(cè)，由高斯公式得

f(x3+z)dydz4-(y*+jr)dzdx+dxdy=sjjjCx1+y')dv

XHC,a

-30(z?+y')<Lrdy]dz=3J(x*4->>2)(1—x2—y2)dxdj

=3)dejr*(l—r*)dr=皆，

(/+z)dydz+3+z)dzdz+dxdy=jpLrdy=-[Tdxdy

上J%

?3

+z)dydz+(y+x)dxdr+dxdy=竽，

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

25、計(jì)算曲線積分野3d；其中cL=z,從z軸正向看，C為逆時(shí)

針方向.

1］。

n?{0?-1,1)*cosa=O.co邛—tcosy=-?

1

3￡出=割心,

由斯托克斯公式zdx石

0xyz..

=eD”)，其中%M+2y41,

標(biāo)準(zhǔn)答案：°

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

產(chǎn)+1/=4y

__.iL"必+3皿"一功改，其中Jl3y-z+l=。，從z軸正向看,L是

逆時(shí)針方向.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)由L所圍成的平面為按右手準(zhǔn)則，￡取上側(cè)，

31

n—{0,3.—11*cosa=0,cos5=—=.?cos/---=，由斯托克斯公式得

yioyio

因?yàn)閐s=，】+/：+H(Lrd_y=dxdy.Dc?x2+y244》,

所以01yz<Lr+3x?dy-xydz=—2Jdardy=_8x.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

3,

27、設(shè)空間曲線C由立體0￡xWl,0<y<LOWzgl的表面與平面x+y+z=2所截而

、左」$(/-)cLr4-(x2-z2)dy4-(y1-x*)dz

成，計(jì)算I」。o

3

標(biāo)準(zhǔn)答案：取平面x+y+z=彳上被折線C所圍的上側(cè)部分為S,其法向量的方向

1

余弦為cosa—cosp—cosy=^.設(shè)D、y表示曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域，其

3.

面積為A=Z,由斯托克斯公式得

（Z，—y2）dx+（x1-z2）dy+（y?-

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

._I（工+y）d；r-（工-y）dy

28、計(jì)算一匕工'+丁，其中L是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的正向光滑閉曲

線.

令P（3）=#羊Q（7）=一步得=為會(huì)顯然罷=%

令=/，其中r>0,L,在L內(nèi)，方向取逆時(shí)針，由格林公式得

L；…黑尸一卻翁-豹業(yè)山=0

其中D為L(zhǎng)與L；所圍成的平面區(qū)域，則

j_I（/+y）dx-（工一y）dy_f（工+y）dx-（z-Gdy

f工一y-二與+V-

而￡Q+W葉二（j--dy

JL,+y

_「'-r（rco叨+rsinZDsiW-r（rcoM—rsin?）co嵋=_2K

所以【=￡(1+y)dr-(j?一Gdy

=-2K.

標(biāo)準(zhǔn)答案:

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

29、設(shè)函數(shù)f(x,y)'■L：x2+y2=l上有

dxdy..

?其中Dr：r2<x2+

標(biāo)準(zhǔn)答案:

rcoS.

rsin^,

由里=￥?COS^+袈?siM得r￥=斐?rcoM+裂?rsinS

ordxdydrdxdy

十丁沙

紅紅d￡

于是J￥+>皿=.d。]寧x，如

D.

[/(cos^?sin^)—/(rcosdtrsin^)Jd^

/(rcos^,rsin^)cW,

再根據(jù)積分中值定理得I=-2n/"co嗟,"i聯(lián))，其中￡是介于。與2a之間的值.

故原式=一/X1呵[-2x/(rcos￡,rsin^)]=Iim/(rcos^,rsinf)=/(0?0).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

f半①三A(#。)

設(shè)LJG+y,其中L是任一條光滑正向閉曲線，(p(l)=l且原點(diǎn)在其

所圍成的區(qū)域之外.

30、求(p(x)；

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)17為任意一條繞原點(diǎn)一周的正向光滑閉曲線，在L，上任取兩點(diǎn)M,

N,把曲線U分成Li，L2，由M,N再作一條曲線L3，則

$xdy-ydx==A

兩式相減得乎三泮=0,即曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，

Jr9(1)+y

垢U=就無(wú)力7]或沖'_23=0,

解得6z)=CeJ=Cr?,由3(1)=1得。=1,所以a(工)=工、

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

31、設(shè)C為由點(diǎn)A(a,0)(a>0)經(jīng)過上半平面到點(diǎn)B(—a,0)的任意曲線段，求

fzdy_1ydz

c1)+y*'

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)由C(r,0)經(jīng)過上半圓y=到D(—r,0)的曲線段為CKr>0

且C「位于C與x軸之

由格棟公式得必臺(tái)“^￡=。

又14守」呼=。人字號(hào)(圣=。，

x=rcos^.

c,y—rsinOt

J-rd?--dz.『ddj，rcoMXrco姐-rsi向X(-rsin0)4廠

故L毒泮"

間).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

32、設(shè)L是不經(jīng)過點(diǎn)Q,0),(—2,0)的分段光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，就L的不同情

形計(jì)算

1=￡[(2-x)2+y+(2+]業(yè)+[(2-^)^7一(2+合+一]d乂

7=X>(2-Gdy,Iydx________(2+z)dy

-JL(2—z>+y(2-x)2+yJt(2+工一+/(2+z)?+9

標(biāo)準(zhǔn)答案：=L+I?

顯然曲線積分h，【2都滿足柯西一黎曼條件.(1)當(dāng)(2,0),(-2,0)都在L所圍成

的區(qū)域之外時(shí)?，11=12=0，因此1=0;(2)當(dāng)(2,0),(-2,0)都在L所圍成的區(qū)域

之內(nèi)時(shí)，分別以這兩個(gè)點(diǎn)為中心以口，葭為半徑的圓C],C2,使它們都在L內(nèi)，

/=￡加?(2-7)d1y一一2n

則'Jq(2-x)2+y2(2-*>+y,同理12=—2兀，因此1=一4兀；

(3)當(dāng)(2,0),(-2,0)有一個(gè)點(diǎn)在L圍成的區(qū)域內(nèi),一個(gè)點(diǎn)在L圍成的區(qū)域外時(shí)，I

=一27r.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

33、設(shè)函數(shù)u(x,y),v(x,y)在D：x2+y20上一階連續(xù)可偏導(dǎo)，又

八3)=心,刈+〃(3)人/3)-償一券人+償一券》

且在區(qū)域D的邊界上有u(x?y)=1tv(j：,y)=?求口/?gda.

/dudu\./dvdv\

由/?g川石一石）+“（石-熱）

Su.dvf3u,<）v\a（uv）_a（tru）

V五+“石一?熱+"

313y

得（'?gdo=一等答1"=Juvdz+uvdy=ydx+ydy

(―sin*+sindco如)dd=-n(其中L為單位圈周的正向).

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

34、設(shè)曲線L的長(zhǎng)度為L(zhǎng)且跛：匹"乂.證明：|伊必+研（皿

標(biāo)準(zhǔn)答案:Pdx+Qdy={P,Q）.{dx,dy},因?yàn)镮a.bI<IaIIbI,

所以有|Pdx+Qdy|《":+Q*?，（dx）"+（d》）*&Md『,

于是］?山+0(1同4

jIPdx+Qdy|&jMds=M]ds=Ml

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

35討論級(jí)數(shù)咨￡心的斂敢性?

令L=

"sin>Zr,“

則04口?=

。rr?dx<s,n

sinyxi,arctan工

因?yàn)閘im—五1，而￡士收斂,所以￡>in-parctan!收斂.

?*In74n

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法得da■收斂.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

，殳一收斂，舉例說(shuō)明級(jí)數(shù)&不一定收斂；若金是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，證明

■-1

一定收斂.

令a.由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨審斂法，級(jí)數(shù)X收斂.

■?I

而￡［千”丁=冬;發(fā)散設(shè),是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，則四4二°，

取“。=1,存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，|a?一O|Vl,從而0&Q?VI,

當(dāng)n>N時(shí)，有0<a：V%VL

由收斂得E4收斂,再由比較審效法得SI收斂，所以分武收斂「

標(biāo)準(zhǔn)答案：…"N+J?…111

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

37、

設(shè)04a,VL級(jí)數(shù)為（一】）、.$.及￡（一1））：中，哪個(gè)級(jí)數(shù)一定收斂？

n.I??1?■1

標(biāo)準(zhǔn)答案：

CB

斗一1》叫不一定收斂，如a.-4［；+《-Um"，顯然0W4<十，

而￡（一1）&=￡〔與3+%in：］，因?yàn)樯吓c產(chǎn)收斂,而Efin：發(fā)散.

所以就與產(chǎn)+"引發(fā)散,

與向）不一定收斂，如a.=］尸,顯然0&a.V點(diǎn)，而?=22~7j發(fā)散;

9

不一定收斂，如a.=STF,顯然。4%<，，而2。?=S—TT發(fā)散；

"丁1nB-1H〃十】

CD

2（一1）?選一定收斂.

o?I

由O&a.V：,得O&a：v｝又收斂.所以斗：收斂，即包（7）?W絕對(duì)收斂，

*O

所以?（一1）七：一定收斂.

知識(shí)*解析：暫無(wú)解析

yM亨「1一也土

38、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)占?收斂，證明：￡Lu,」收斂.

標(biāo)準(zhǔn)答案:

因?yàn)閄”?收斂,所以limu.=Of

當(dāng)工>0時(shí)，1爪】+工）vz,于是i一皿W■殳2>o,即一皿1戶”2］為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

HfInd+u?）.u,-勺+o（u：）,

所以…8時(shí),1一回詈2?吳，再由￡丸收斂.故士［—*產(chǎn)］收斂

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析"一"

設(shè)a.=「tan*xdx.

on

（】）求2LQ.+OE）的值I

Hn

⑵證明：對(duì)任意常數(shù)a>o，W與收斂.

39、-in

標(biāo)準(zhǔn)答案：

⑴【解必+小=去，則￡：儲(chǔ)?+。,”=S

S=出+…+=1一4，因?yàn)榘?=1,所以工+=1.

（2）【證明】因?yàn)?4a.=J：tarTzdz—￡#,dr4］/"市=不、，

所以。&與&士，而臺(tái)士收斂。>0）,所以玄W收斂.

nn…〃

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2

套

一、解答題（本題共39題，每題1.0分，共39分。）

1、求｛而｝的最大項(xiàng).

alai】一lnj~

標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=*'(x21),由f(x)=e，得r(x)=i*,令f(x)=o得x

=e.當(dāng)x€(0,e)時(shí),r(x)>0；當(dāng)x￡(e,+oo)時(shí)，f(x)<0,則x=e為f(x)的最大

點(diǎn)，于是｛而*)的最大項(xiàng)為4或打、因?yàn)?=冼<為=打，所以最大項(xiàng)為阻

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

cos.I工I41

y

2、設(shè)|X-1|,|X|>1,求y，.

V=--2L?in^-r*

標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)IxIVI時(shí)，’2'2八：當(dāng)x>l時(shí)，y'=l：當(dāng)xV—1

limy=lim(1-x)=2.limylimcos-J-x=0

時(shí)，y'=-l；由一■產(chǎn)2得y在x=-l處

不連續(xù)，故/(一1)不存在；由

cosyX—0--^-sin-J-x

lim必飛⑴

lim-----------二lim-------；-------2得”⑴T由

-T-1i-工一1f1

lim>(/)-y⑴_(tái)jjmz-1_],

f+-z+=-得/*(D=1,因?yàn)閥」(l/y+，+(l),所以y在

—1?xV—1

J=，-ysinyx.-1<x<1.

x=i處不可導(dǎo)，故M”>i

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

r"'e—I

3、設(shè)x=x⑴由sint—J，e"=0確定，求市，

標(biāo)準(zhǔn)答案：將1=0代入sinl—Ldw=0^'e"=°'再由e'>0得x=l,

-，

sin/—fedu=0....40411cosf-e㈠〃(字—1)=0“，"I…

Ji兩邊對(duì)I求導(dǎo)得出,從而市=e+

cos/—e"(如一1)=0

1,由兩邊再對(duì)l求導(dǎo)得

(g-i七二0,

atdt2

將…?！刻?hào)L="】代人得富L「2艮

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

4、設(shè)/一3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點(diǎn).

3工6+3?d.

標(biāo)準(zhǔn)答案：x3—3xy+y3=3兩邊對(duì)x求導(dǎo)得3x2—3y—必'dr=0,解得

S=尸—ySM->=0

d”x-y,令dxx-y*得y=x'代入X'一3xy+y3=3得x=-1或x=

J2(2工一半)(l-1/)一(￡—必1—2y半).

,=_____dz_______________1_____L±_刎=I>0

河M《工一尸尸‘t因?yàn)?lt;k”,7>,所以

也i_

X=-1為極小點(diǎn)，極限值為y=l；因?yàn)樗詘=而為極大

點(diǎn)，極大值為、=善

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

5、x=(p(y)是y=f(x)的反函數(shù)，f(x)可導(dǎo)，且r(x)=』*f,f(0)=3,求(p"(3).

因?yàn)?(3)=尸焉，而/(0)工c,所以中'(3)=

/(x)=(2l+”.㈤/(0)=e,

"=理=蜂匕蹲一陶.

標(biāo)準(zhǔn)答案：所以，⑶n/=T,

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

2)=￡/3*且四年=A；求明讓并討論相)在乂=

6、設(shè)f(x)連續(xù),

0處的連續(xù)性.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

當(dāng)工#0時(shí)中(z)AI/(Xt)dzH/(Jtf)d(jri)=十/(u)du?

$>z(x)=p-^x/(x)—J/(“)du].

當(dāng)工=0時(shí),(0)=J/(O)dt=0.

,⑹=]加延立二"lim=.第=垓,

rIN6°)IL?；""I212

^^x/(x)—，工*0.

則/(x)

4*]=°?

因?yàn)閘irjp'(jr)=lim[/(N)

=A—9-9=/(0),所以/Gr)在M=0處

連續(xù).

知識(shí)?點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

7、設(shè)函數(shù)f(x)在x=l的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足If(x)—2dIW(x—1產(chǎn)，研究函

數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性.

標(biāo)準(zhǔn)答案：把x=l代入不等式中，得f(l)=2e.當(dāng)x*E寸，不等式兩邊同除以lx

一1I,得

?！逗媒穸谩瓅。?也丐竺=0.

IR—1Ix-1

而lim△幻丁=00limrz(x)-/(l)+在二竽[=0=>lim&L/⑴=2e

z1―1eL工―1X—1J胃X—1

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

(X)

、設(shè)在的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，四

8f(x)x=01-CO&Z，求曲線y=f(x)在點(diǎn)

(0,f(0))處的曲率.

如im產(chǎn)L四盥得八°)=八°)=°，

L。1-COSX

又lim心至=Um?(.或二八°)=/(0)=2,

siiuriJ:

則y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的曲率為K=-J2.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+0)+

知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析

Ind4-x)?r>0,

/(x)=

9、設(shè)〃2+狂+(：,工40.且「(0)存在，求a,b,c.

[ln(l+x),x>0,

/(x)=

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0,即ar'+&z，N40.

九(。)=癡/(幻一/《。)=.叵1土2=If

.一。+XL。+”由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得b=l,

find+x),x>0,/<x)=

/(工)=<,

即(or+M，0,于是2ai+1,z《C.

A(0)=lim=Hm?-±12Ll=2a.

工r*。一土

]—1

ACO)=lim八工)一八。)=?=-l

*L。*”

由r(0)存在，得a=一/?，即a=--j-?d=l,c=0.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

10、設(shè)f(x)/，續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0,'(0)=1,f(l)=0.證

一信」)

明：(1)存在，使得f(n)=n；(2)對(duì)任意的長(zhǎng)(-8,+8),存在&&0,

n),使得一k［熊)一目=1.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令(p(x)=f(x)—x,(p(x)在［0,1］上連續(xù)，〃2)=彳>0,(p(l)=-I

<0,由零點(diǎn)定理，存在1段(彳")，使得(p(n)=0,即f(m=n-(2)設(shè)F(x)=e

kx(x),顯然F(x)在［0,可上連續(xù)，在(0,n)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(n)=0,由羅爾定

理，存在n),使得PC)=O,整理得r也)一一與=L

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

limE"(.+2］=°

zcos』

11、設(shè)f(x)在［0,2］上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且2，又

f(2)=，證明：存在眄0,2),使得fX&)+F@=O.

由lim-⑷+幻=0,得/(I)=-1,

r-l一X

cosyx

又］im%/(?+g］=1而f">+1-lim八"—,所以/(1>=0.

I7tIt4-1KK

標(biāo)準(zhǔn)答案：COS2"CO82J-2S，n2"由

積分中值定理得f(2)=2?L"""=汝),其中c』】'5］,由羅爾定理，存在

xo?c,2)U(1,2),使得E(xo)=O.令(p(x)=eX「(x),則(p(l)=(p(xo)=O,由羅爾

定理，存在樂(1,xo)C(O,2),使得s'(9=0,而(p'(x)=eX［「(x)+『(x)］且e'#),

所以r(9+f，C)=o.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

1

12、設(shè)f(x)在［0,1］上可導(dǎo)，f(0)=0,If(x)I<2|f(x).證明：f(x