2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1部分主題2常用邏輯用語不等式算法與邏輯推理教案理

PAGE1-主題2常用邏輯用語、不等式、算法與邏輯推理1．常用邏輯用語解決常用邏輯用語問題應(yīng)留意4點(diǎn)(1)含有一個(gè)量詞的命題的否定，其原則為“改量詞、否結(jié)論”，如T1.(2)充分必要條件的推斷可利用定義或借助集合間的關(guān)系來推斷，如T2.(3)命題p，q的真假與命題p∧q，p∨q，p的真假關(guān)系．用語言概括為：p∧q“見假就假”，p∨q“見真就真”，?p“真假相對”，如T3.(4)弄清充分條件與必要條件的定義：如“A的充分不必要條件是B”是指B?A，且AB；而“A是B的充分不必要條件”則是指A?B，且BA，如T4.1．(2024·烏魯木齊市一模)已知命題p：x∈R，cosx≤1，則()A．?p：x∈R，cosx≥1 B．?p：x∈R，cosx＜1C．?p：x∈R，cosx≤1 D．?p：x∈R，cosx＞1D[命題p：x∈R，cosx≤1，是一個(gè)全稱命題，∴?p：x∈R，cosx＞1，故選D.]2．(2024·北京高考)設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件C[若|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|，則|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|2＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|2，eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AC,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|2，∵點(diǎn)A，B，C不共線，∴線段AB，BC，AC構(gòu)成一個(gè)△ABC，設(shè)內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則由平面對量的數(shù)量積公式及余弦定理可知，eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AC,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|2，即c2＋b2＋2bc·cosA＞c2＋b2－2bc·cosA，∴cosA＞0，又A，B，C三點(diǎn)不共線，故eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角為銳角．反之，易得當(dāng)eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角為銳角時(shí)，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴“eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＞|eq\o(BC,\s\up7(→))|”的充分必要條件，故選C.]3．[一題多解](2024·全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p：(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個(gè)命題①p∨q；②?p∨q；③p∧?q；④?p∧?q.這四個(gè)命題中，全部真命題的編號是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④A[法一：(干脆法)畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y是一條平行移動的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y的縱截距．明顯，直線過點(diǎn)A(2,4)時(shí)，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命題p：(x，y)∈D,2x＋y≥9正確；命題q：(x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．∴①③真，②④假．故選A.法二：(特值法)取x＝4，y＝5，滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且滿意2x＋y≥9，不滿意2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故選A.]4．(2024·臨沂高三2月教學(xué)質(zhì)量檢測)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－2ax＋lnx在(1,3)上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．a(chǎn)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,6)))C．a(chǎn)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2))) D．a(chǎn)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))A[f′(x)＝ax－2a＋eq\f(1,x)＝eq\f(ax2－2ax＋1,x)(x>0)．令g(x)＝ax2－2ax＋1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,3)上不單調(diào)，所以函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1在(1,3)上有實(shí)數(shù)根，當(dāng)a＝0時(shí)，明顯不成立，當(dāng)a≠0時(shí)，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,g1·g3＜0，))解得a＞1或a＜－eq\f(1,3)，即a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)．它的充分不必要條件即為一個(gè)子集，故選A.]2．不等式解決不等式問題應(yīng)留意4點(diǎn)(1)代數(shù)式的比較大小問題常借助不等式的性質(zhì)或函數(shù)的性質(zhì)或用特值法求解，如T1.(2)用基本不等式“eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)”求最值(或值域)時(shí)，要留意到條件“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件缺一不行，如T2.(3)留意一元二次不等式的解集與不等式恒成立是不同的，前者是解不等式，而后者是借助函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，如T5.(4)求解線性規(guī)劃問題時(shí)，不能精確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解，如eq\f(y－2,x＋2)是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(－2,2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方等．同時(shí)解線性規(guī)劃問題，要留意邊界的虛實(shí)；留意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)，如T3，T4.1．(2024·海淀區(qū)4月期中)已知a＜b，則下列結(jié)論中正確的是()A．c＜0，a＞b＋c B．c＜0，a＜b＋cC．c＞0，a＞b＋c D．c＞0，a＜b＋cD[因?yàn)閍＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，因此D正確，故選D.]2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5C[∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a＝eq\f(4,3)時(shí)，等號成立，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2).]3．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤1，,x＋2y≤1，,3x＋y≥1，))則z＝3x－y的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(1,5))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)，－\f(1,5)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(7,5))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(8,5)))D[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，作直線l0：3x－y＝0，將直線l0向右平行移動時(shí)，過點(diǎn)A，B時(shí)直線分別在y軸上截距最小與最大，此時(shí)z取得最小值與最大值．聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,3x＋y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(2,5)，))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(2,5)))，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1，,x＋2y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(1,5)，))所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(1,5)))，所以將A點(diǎn)坐標(biāo)代入z＝3x－y得z＝eq\f(1,5)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入z＝3x－y得z＝eq\f(8,5).故選D.]4．已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y－x≥0，,x－1≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝eq\r(x2＋y2)的最大值為()A.eq\r(6) B.eq\r(10)C．2eq\r(2) D.eq\r(7)B[由線性約束條件，作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知，點(diǎn)A到原點(diǎn)距離最大，此時(shí)A(1,3)．所以z＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，故選B.]5．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．(－2,2][不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式恒成立，符合題意；當(dāng)a－2≠0時(shí)，要使不等式恒成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a－22＋16a－2<0，,a－2<0，))解得－2<a<2，所以a的取值范圍為(－2,2]．]3．算法與邏輯推理解決算法與邏輯推理問題應(yīng)留意4點(diǎn)(1)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題，關(guān)鍵是認(rèn)清終止循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件及循環(huán)次數(shù)，如T1.(2)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤．應(yīng)由條件多列舉一些特別狀況再進(jìn)行歸納．(3)解決類比推理問題，應(yīng)先弄清所給問題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題，如T3.(4)解決類似“真假話”問題的邏輯推理問題，通過分析題干信息得出彼此之間的關(guān)系(或沖突)，從而推出正確結(jié)果，如T2.1．(2024·全國卷Ⅰ)如圖是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入()A．A＝eq\f(1,2＋A) B．A＝2＋eq\f(1,A)C．A＝eq\f(1,1＋2A) D．A＝1＋eq\f(1,2A)A[對于選項(xiàng)A，A＝eq\f(1,2)，k＝1,1≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2))，k＝2,2≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，k＝3,3≤2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出A.故A正確；閱歷證B，C，D均不符合題意，故選A.]2．[新題型：多選題]2024年全國兩會之后，某地區(qū)為改善民生，調(diào)研了甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)民生項(xiàng)目，得到如下信息：①若該地區(qū)引進(jìn)甲項(xiàng)目，就必需引進(jìn)與之配套的乙項(xiàng)目；②丁、戊兩個(gè)項(xiàng)目與民生親密相關(guān)，這兩個(gè)項(xiàng)目至少要引進(jìn)一個(gè)；③乙、丙兩個(gè)項(xiàng)目之間有沖突，兩個(gè)項(xiàng)目只能引進(jìn)一個(gè)；④丙、丁兩個(gè)項(xiàng)目關(guān)聯(lián)度較高，要么同時(shí)引進(jìn)，要么都不引進(jìn)；⑤若引進(jìn)項(xiàng)目戊，甲、丁兩個(gè)項(xiàng)目也必需引進(jìn)．則該地區(qū)應(yīng)引進(jìn)的項(xiàng)目為()A．甲 B．乙C．丙 D．丁CD[由②知丁、戊兩個(gè)項(xiàng)目至少要引進(jìn)一個(gè)，若引進(jìn)戊項(xiàng)目，則由⑤可知甲、丁兩個(gè)項(xiàng)目也必需引進(jìn)；由①④可知必需引進(jìn)乙、丙兩個(gè)項(xiàng)目，與③沖突，因此必需引進(jìn)丁項(xiàng)目．由④可知必需引進(jìn)丙項(xiàng)目；由③可知不能引進(jìn)乙項(xiàng)目；由①可知不能引進(jìn)甲項(xiàng)目，故該地區(qū)只能引進(jìn)丙、丁兩個(gè)項(xiàng)目．故選CD.]3．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A(