【魯教版數(shù)學九年級綜合素質(zhì)評價卷】期中綜合素質(zhì)評價

P期中綜合素質(zhì)評價一、選擇題(每題3分，共30分)1．2sin60°等于()A．1 B．eq\r(3) C．eq\r(2) D．2eq\r(3)2．【2023·泰安東平縣月考】若A(2，4)與B(－2，a)都是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上的點，則a的值是()A．4 B．－4 C．2 D．－23．已知反比例函數(shù)y＝－eq\f(3,x)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在其圖象上，下列說法不正確的是()A．圖象分布在第二、四象限 B．當x<0時，y隨x的增大而增大C．圖象經(jīng)過點(3，－1)D．若x1<x2，則y1<y24．【2023·淄博高青縣期中】如圖，點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，點C在y軸的負半軸上，若S△ABC＝2，則k的值為()A．2 B．1 C．8 D．45．如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝eq\f(4,x)(x>0)與y＝x－1的圖象交于點P(a，b)，則代數(shù)式eq\f(1,a)－eq\f(1,b)的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)6．如圖，點A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC等于()A．eq\f(\r(2),6) B．eq\f(\r(26),26) C．eq\f(\r(26),13) D．eq\f(\r(13),13)7．若點A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)y＝－eq\f(6,x)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是()A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y18．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道(B，C在同一水平面上)．為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，豎直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B，C兩地之間的距離為()A．100eq\r(3)m B．50eq\r(2)m C．50eq\r(3)m D．eq\f(100\r(3),3)m9．如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂L1＝L·cosα，阻力臂L2＝l·cosβ，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是()A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定10．【2023·泰安市東平縣月考】如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10，0)，sin∠COA＝eq\f(4,5).若反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)經(jīng)過點C，則k的值等于()A．10 B．24 C．48 D．50二、填空題(每題4分，共24分)11．若反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(m≠0)的圖象在第一、三象限內(nèi)，則m的取值范圍是_______．12．【2023·煙臺龍口期中】在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，則∠C的度數(shù)為_______．13．如圖，點A是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)圖象上一點，AB垂直于x軸，垂足為B，△OAB的面積為6.若點P(a，7)也在此函數(shù)的圖象上，則a＝_______.14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，M，N兩點關(guān)于對角線AC所在的直線對稱，若DM＝1，則tan∠ADN＝_______.15．如圖，鐵路的路基橫斷面為一個等腰梯形ABCD,AB＝DC，若腰AB的坡度為i＝2∶3，上底AD＝3m，高AE＝4m，則下底BC的長為_______．16．如圖，已知矩形ABCD，AB在x軸的正半軸上(點A與點O重合)，AB＝3，BC＝1，連接AC，BD，交點為M.將矩形ABCD沿x軸向右平移，當平移距離為_______時，點M在反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象上．三、解答題(17題8分，18，19題每題10分，20，21題每題12分，22題14分，共66分)17．計算：(1)2cos30°－tan60°＋tan45°－eq\f(1,2)sin60°；(2)eq\r(12)－2cos60°＋sin245°＋2－1.18．【2023·威海乳山期中】如圖，點A在雙曲線y＝eq\f(3,x)(x＞0)上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C.線段OA的垂直平分線BD分別交OC，OA于點B，D，△ABC的周長為4，求點A的坐標．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，點D，E分別在AB，AC上，DE⊥AC，垂足為E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的長；(2)tan∠CDE的值．20．【2023·威海環(huán)翠區(qū)期中】如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米，點E在點A的正北方向，點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°.(1)求步道DE的長度(精確到個位)；(2)點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D.請計算說明她走哪一條路較近？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)21．教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時水溫每分鐘上升10℃，上升到100℃時停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y(℃)與開機后的時間x(min)成反比例關(guān)系，直至水溫降至30℃，飲水機關(guān)機．飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為30℃時接通電源，水溫y(℃)與時間x(min)的關(guān)系如圖所示．(1)分別寫出圖中表示水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)怡萱同學想喝高于50℃的水，請問她最多需要等待多長時間？22．【2023·淄博高青縣期中】如圖，在平面直角坐標系中，點B，D分別在反比例函數(shù)y＝－eq\f(6,x)(x<0)和y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)的圖象上，AB⊥x軸于點A，DC⊥x軸于點C，O是線段AC的中點，AB＝3，DC＝2.(1)求反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的表達式．(2)連接BD，OB，OD，求△ODB的面積．(3)P是線段AB上的一個動點，Q是線段OB上的一個動點，試探究是否存在點P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

答案一、1．B【點撥】2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).2．B【點撥】∵A(2，4)與B(－2，a)都是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上的點，∴k＝2×4＝－2a，∴a＝－4.故選B.3．D【點撥】∵反比例函數(shù)y＝－eq\f(3,x)，∴圖象分布在第二、四象限，故A正確；當x<0時，y隨x的增大而增大，故B正確；圖象經(jīng)過點(3，－1)，故C正確；若點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在圖象上，且x1<x2，則y1<y2不成立，故D錯誤．故選D.4．D【點撥】∵AB⊥x軸，點C在y軸上，△ABC的面積為2，∴eq\f(1,2)AB·OB＝2，∴AB·OB＝4，∴k＝AB·OB＝4.故選D.5．C【點撥】由題意得，函數(shù)y＝eq\f(4,x)(x>0)與y＝x－1的圖象交于點P(a，b)，∴ab＝4，b＝a－1，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＝－eq\f(1,4).6．B【點撥】如圖，過點B作BD⊥AC于D.由勾股定理得，AB＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)·BD＝eq\f(1,2)×1×3，∴BD＝eq\f(\r(2),2)，∴sin∠BAC＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(13))＝eq\f(\r(26),26).故選B.7．C【點撥】∵點A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)y＝－eq\f(6,x)的圖象上，∴y1＝－eq\f(6,－1)＝6，y2＝－eq\f(6,2)＝－3，y3＝－eq\f(6,3)＝－2.∴y1>y3>y2.故選C.8．A【點撥】根據(jù)題意，得∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，∴AB＝2AC＝200m．∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝100eq\r(3)m．故選A.9．A【點撥】∵動力×動力臂＝阻力×阻力臂，∴當阻力及阻力臂不變時，動力×動力臂為定值，且定值>0，∴動力隨著動力臂的增大而減?。吒軛U向下運動時α的度數(shù)越來越小，此時cosα的值越來越大，動力臂L1＝L·cosα，∴此時動力臂也越來越大，∴此時的動力越來越小．故選A.10．C【點撥】如圖，過點C作CE⊥OA于點E.∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10，0)，∴OC＝OA＝10.∵sin∠COA＝eq\f(4,5)＝eq\f(CE,OC)，∴CE＝8，∴OE＝eq\r(CO2－CE2)＝6，∴點C的坐標為(6，8)．∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)經(jīng)過點C，∴k＝6×8＝48.故選C.二、11．m>0【點撥】反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(m≠0)的圖象是雙曲線，當m>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限；當m<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限．12．60°【點撥】∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°.13．eq\f(12,7)【點撥】∵△OAB的面積為6，∴|k|＝2×6＝12.∵k>0，∴k＝12，∴y＝eq\f(12,x).把P(a，7)代入y＝eq\f(12,x)，得7＝eq\f(12,a)，∴a＝eq\f(12,7).14．eq\f(4,3)【點撥】∵四邊形ABCD為正方形，∴對角線CA為∠BCD的平分線，AD∥BC.∴∠ADN＝∠DNC.∵M，N關(guān)于對角線AC所在的直線對稱，∴CM＝CN.又∵DM＝1，∴CM＝CN＝3，∴tan∠ADN＝tan∠DNC＝eq\f(DC,NC)＝eq\f(4,3).15．15m【點撥】過點D作DF⊥BC交BC于F點．∵腰AB的坡度為i＝2∶3，路基高是4m，∴BE＝6m．又易知CF＝BE＝6m，EF＝AD＝3m，∴BC＝6＋3＋6＝15(m)．16．eq\f(1,2)【點撥】將矩形ABCD沿x軸向右平移，當點M在反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象上時，過點M作ME⊥AB于點E，則AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)，ME＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).設OA＝m，則OE＝OA＋AE＝m＋eq\f(3,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)，\f(1,2))).∵點M在反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象上，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,m＋\f(3,2))，解得m＝eq\f(1,2).三、17．解：(1)原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)＋1－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)－eq\r(3)＋1－eq\f(\r(3),4)＝eq\f(4－\r(3),4).(2)原式＝2eq\r(3)－2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)＝2eq\r(3)－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2eq\r(3).18．解：設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,a))).∵BD垂直平分OA，∴BA＝BO，∵△ABC的周長為4，即AB＋BC＋AC＝4，∴OC＋AC＝4，∴a＋eq\f(3,a)＝4，解得a＝1(舍去)或a＝3，∴A點的坐標為(3，1)．19．解：(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sinA＝eq\f(2,3)，∴AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2,\f(2,3))＝3.∵DB＝9，∴AB＝DB＋AD＝12.在Rt△ABC中，∵AB＝12，sinA＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·sinA＝12×eq\f(2,3)＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(122－82)＝4eq\r(5).在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).∴CE＝AC－AE＝3eq\r(5).∴tan∠CDE＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3\r(5),2).20．解：(1)過D作DF⊥AE于F，如圖．由已知可得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米．∵點D在點E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝eq\r(2)DF＝200eq\r(2)≈283(米)．∴步道DE的長度約為283米．(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE≈283米，EF＝DF＝200米．∵點B在點A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°.∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝200eq\r(3)米．∵BD＝100米，∴經(jīng)過點B到達點D的路程為AB＋BD＝400＋100＝500(米)．∵CD＝BC＋BD＝(200eq\r(3)＋100)米，∴AF＝CD＝(200eq\r(3)＋100)米，∴AE＝AF－EF＝(200eq\r(3)＋100)－200＝(200eq\r(3)－100)米，∴經(jīng)過點E到達點D的路程為AE＋DE≈200eq\r(3)－100＋283≈529(米)．∵529>500，∴經(jīng)過點B到達點D較近．21．解：(1)觀察圖象，可知當x＝7時，y＝100.當0≤x≤7時，設y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝30，,7k＋b＝100，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝10，,b＝30.))即當0≤x≤7時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝10x＋30.當x＞7時，設y＝eq\f(a,x)，由題意得100＝eq\f(a,7)，解得a＝700，∴y＝eq\f(700,x).當y＝30時，x＝eq\f(70,3)，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋30(0≤x≤7)，,\f(700,x)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＜x≤\f(70,3))).))(2)將y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2.將y＝50代入y＝eq\f(700,x)，得x＝14.∵eq\f(70,3)－14＝eq\f(28,3)(min)，eq\f(28,3)＋2＝eq\f(34,3)(