專題01導(dǎo)數(shù)十大基礎(chǔ)題型原卷-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題突破拿高分（導(dǎo)數(shù)篇）

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題突破拿高分（導(dǎo)數(shù)篇）專題01導(dǎo)數(shù)十大基礎(chǔ)題型題型1：導(dǎo)數(shù)的切線問(wèn)題【例1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【例2】（2023閔行中學(xué)練習(xí)）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【例3】（2023寶山區(qū)七校三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，曲線在A，B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的值；(2)當(dāng)曲線在處的切線與曲線相切時(shí)，若，恒成立，求a的取值范圍．【例4】（2023徐匯中學(xué)練習(xí)）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.題型2：用研究導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例5】（2023華二期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【例6】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【例7】已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．題型3：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【例8】（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知的圖象在，（1）處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【例9】已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù).若至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例10】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【例11】（2024?崇明區(qū)二模）已知．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：；（3）若，，數(shù)列滿足，．求證：當(dāng)時(shí)，．題型4：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【例12】（2024?嘉定區(qū)二模）已知常數(shù)，設(shè)．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）是否存在，且、、依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）求證：“”是“對(duì)任意，，，都有”的充要條件．【例13】（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（3）求函數(shù)在，上的最小值．題型5：恒成立、能成立與存在性問(wèn)題【例14】已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例15】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【例16】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例17】（2024春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．題型6：導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與交點(diǎn)問(wèn)題【例18】設(shè)函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)．【例19】已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【例20】已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【例21】已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【例22】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【例23】（2024春?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)的極小值為1．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)．①證明：當(dāng)時(shí)，，恒成立；②若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【例24】已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．(1)求實(shí)數(shù)a；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．題型7：不等式的證明【例25】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【例26】已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）【例27】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【例28】已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，．【例29】已知．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．題型8：雙變量問(wèn)題【例30】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【例31】已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.【例32】已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.題型9：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【例33】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【例34】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；題型10：建立模型解決實(shí)際問(wèn)題【例35】某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為（）萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷、商品中所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元、其中（）；，（）已知投資額為零時(shí)，收益為零.（1）試求出，的值；（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.【例36】為優(yōu)先發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，豐富村民精神生活，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某村在年新農(nóng)村建設(shè)規(guī)劃中，計(jì)劃在一半徑為的半圓形區(qū)域(為圓心)上，修建一個(gè)矩形名人文化廣場(chǎng)和一個(gè)矩形停車場(chǎng)(如圖)，剩余區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)要求，.（1）設(shè)為名人文化廣場(chǎng)和停車場(chǎng)用地總面積，求的表達(dá)式；（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.【例37】某城鎮(zhèn)在規(guī)劃的一工業(yè)園區(qū)內(nèi)架設(shè)一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經(jīng)搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設(shè)電線．已知建造一座高壓線電塔