平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案答案

6．3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．2.能夠用兩個向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題．情境導(dǎo)入同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積及其性質(zhì)，我們也學(xué)會了用“坐標(biāo)語言”來描述向量的加、減法、數(shù)乘運(yùn)算，那么，我們能否用坐標(biāo)來表示兩向量的數(shù)量積呢？

新知探究知識點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示問題引導(dǎo)1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，你能計算出i·i，j·j，i·j的值嗎？若設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能給出a·b的值嗎？提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j(luò)·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知識點(diǎn)總結(jié)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)語言表示：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．(2)坐標(biāo)表示：已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．典例探究例1(1)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值為()A．eq\r(2) B．2C．0 D．1解析：A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得A(0，0)，B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)．設(shè)F(x，2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，解得x＝1，所以F(1，2)．所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1－eq\r(2)，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2)(1－eq\r(2))＋1×2＝eq\r(2).(2)已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)．解：法一：因為a＝(1，2)，b＝(3，4)，所以a·b＝1×3＋2×4＝11.(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二：因為a＝(1，2)，b＝(3，4)，所以a·b＝1×3＋2×4＝11.因為a－b＝(1，2)－(3，4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1，2)＋3(3，4)＝(2×1＋3×3，2×2＋3×4)＝(11，16)，所以(a－b)·(2a＋3b)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的注意點(diǎn)(1)要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個關(guān)系：①|(zhì)a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在解決平面幾何中的數(shù)量積的運(yùn)算時，對于規(guī)則的圖形，一定要先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用向量的坐標(biāo)法解決平面幾何中的數(shù)量積的問題．變式訓(xùn)練1．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________．解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，所以F(eq\f(4,3)，2)．所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，2)－(2，0)＝(－eq\f(2,3)，2)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(2，1)·(－eq\f(2,3)，2)＝2×(－eq\f(2,3))＋1×2＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)知識點(diǎn)二平面向量的模(長度)的坐標(biāo)表示問題引導(dǎo)2.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，若向量a＝(x，y)，借助于公式|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a·a)，如何用坐標(biāo)表示|a|?提示：|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a·a)＝eq\r(（xi＋yj）2)＝eq\r(x2＋y2).知識點(diǎn)總結(jié)1．向量模的坐標(biāo)公式若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，|a|＝eq\r(x2＋y2).2．兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)典例探究例2已知a＝(m，－2)，b＝(3，4)，若a∥b，則|a－eq\f(3,2)b|＝()A．20 B．15C．10 D．5解析：C因為a∥b，所以4m－(－2)×3＝0?m＝－eq\f(3,2).所以a－eq\f(3,2)b＝(－eq\f(3,2)，－2)－eq\f(3,2)(3，4)＝(－6，－8)所以|a－eq\f(3,2)b|＝eq\r(（－6）2＋（－8）2)＝10.故選C．求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．變式訓(xùn)練2．(2024·豐城市模擬)已知向量m＝(t，1)，n＝(－2t，1)，若|2m－n|2＝4m2＋n2，則t2＝()A．eq\r(2) B．1C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)解析：D依題意，2m－n＝(2t，2)－(－2t，1)＝(4t，1)，由|2m－n|2＝4m2＋n2，則16t2＋1＝4(t2＋1)＋4t2＋1，所以t2＝eq\f(1,2).故選D．知識點(diǎn)三平面向量的夾角、垂直問題問題引導(dǎo)3.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何用坐標(biāo)表示兩向量垂直的充要條件？提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0.知識點(diǎn)總結(jié)1．兩向量夾角的余弦公式設(shè)a，b是兩個非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).2．向量垂直的充要條件設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．典例探究例3(鏈接教材P36習(xí)題T10)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b與c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大?。猓?1)因為a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因為a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．設(shè)m，n的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－3×7＋（－4）×1,\r(（－3）2＋（－4）2)×\r(72＋12))＝eq\f(－25,25\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(3π,4)，即m，n的夾角為eq\f(3π,4).[延伸探究]1．(變設(shè)問)本例中其他條件不變，若向量d＝(2，1)，且c＋td與d的夾角為45°，求實數(shù)t的值．解：由已知得c＝(4，－3)，所以c＋td＝(4，－3)＋t(2，1)＝(2t＋4，t－3)，于是(c＋td)·d＝4t＋8＋t－3＝5t＋5，|d|＝eq\r(5)，|c＋td|＝eq\r(（2t＋4）2＋（t－3）2)＝eq\r(5t2＋10t＋25)，因此可得eq\f(\r(2),2)＝eq\f(5t＋5,\r(5)·\r(5t2＋10t＋25))，解得t＝1.2．(變條件)本例中條件變?yōu)椤癮＝(1，3)，b＝(k，4)，c＝(－2，k)且(2a－b)⊥c”，求b與c.解：∵2a－b＝(2－k，2)，c＝(－2，k)，∴－4＋2k＋2k＝0，∴k＝1，∴b＝(1，4)，c＝(－2，1)．解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))，直接求出cosθ.(2)注意事項：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判斷θ的值時，要注意當(dāng)cosθ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；當(dāng)cosθ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.變式訓(xùn)練3．已知點(diǎn)A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)．(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值；(2)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))⊥(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))，求實數(shù)t的值．解：(1)因為點(diǎn)A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－2)－(2，－1)＝(－1，－1)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)得eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)＋t(－1，－1)＝(1－t，2－t)，又因為eq\o(AB,\s\up6(→))⊥(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))＝1－t＋4－2t＝0，解得t＝eq\f(5,3).

課堂小結(jié)1.知識網(wǎng)絡(luò)2．方法歸納利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．3．易錯提醒注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)、記憶．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

課堂練習(xí)1．已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－1 B．0C．1 D．2解析：B∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0.2．(2024·廣東學(xué)業(yè)考試)已知向量a，b滿足a＝(1，2)，b＝(－2，1)，則|a＋b|＝()A．eq\r(10) B．eq\r(5)C．3 D．4解析：A因為a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以a＋b＝(－1，3)，所以|a＋b|＝eq\r(1＋9)＝eq\r(10).故選A．3．已知向量a＝(1，2)，a－b＝(4，－2)，則cos〈a，b〉等于()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq