重難點(diǎn)專題06解三角形圖形類問題（6大題型）

重難點(diǎn)專題06解三角形圖形類問題【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題【方法技巧與總結(jié)】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.

【典型例題】題型一：妙用兩次正弦定理【例1】記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，點(diǎn)在邊上，且，，求.【解析】因?yàn)橹?，，則為銳角，所以，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)?，上面兩個等式相除可得，得，即，所以.【變式11】已知是內(nèi)一點(diǎn)，.(1)若，求；(2)若，求.【解析】（1）如圖所示，在中，，所以.所以.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）如圖所示，當(dāng)時，.設(shè)，則.在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.因?yàn)椋?，即，整理得，即，解得，?【變式12】如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求；(2)若，求．【解析】（1）在中，，所以，在中，，所以，又，所以，在中由余弦定理，即，所以.（2）由已知可得，又，所以，，設(shè)，，則，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，又，所以，解得或，由，當(dāng)時，當(dāng)時，所以或.題型二：兩角使用余弦定理【例2】如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【解析】（1）中，設(shè)，則，解得，；（2）設(shè)，則設(shè)，，中，中，，，可得，化簡得，即又，，即，解得【變式21】如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求四邊形的周長；(2)求四邊形的面積．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積為．【變式22】如圖，在平面四邊形中，與的交點(diǎn)為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．【解析】（1）如圖，由題意知，則，由余弦定理得，即，整理得，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，所以．設(shè)，則，解得．．在中，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以．【變?3】在中，若在上，平分，求的周長.【解析】設(shè)，由角平分線定理可得，則，由余弦定理得，即，將代入化簡得，即解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)只能，所以的周長為.題型三：張角定理與等面積法【例3】在中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.【解析】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?，整理?由余弦定理得：又因?yàn)樗裕?）由（1）知.又因?yàn)槠椒纸?，所?由得.即.又因?yàn)?，，所?再由角平分線的性質(zhì)可知：【變式31】在中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若D為上點(diǎn)，平分角A，且，，求．【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，由余弦定理，可得，又因?yàn)?，可得．?）因?yàn)镈為上點(diǎn)，平分角，則，又由，可得，又因?yàn)椋傻?，解得，因?yàn)?，所以．【變?2】已知中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若點(diǎn)在邊上，平分角，且，求的值.【解析】(1)由及正弦定理可得，即，因?yàn)?，且，即，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒纸?，所以，由，可得，，整理得，所?題型四：角平分線問題【例4】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，，角B的平分線與交于點(diǎn)D，求.【解析】（1）因?yàn)?，所?，而，所以.（2）在中，，所以，解得.因?yàn)?，所以，，，所?【變式41】在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的面積為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為且．(1)求；(2)設(shè)的平分線交于點(diǎn)，若，，求的長．【解析】（1）由題意，，，則．由余弦定理得，所以，又，所以，則，又，所以．（2）法一：由（1）知，又，所以，所以，所以．由余弦定理可得，得，，所以，所以，在中．法二：由（1）知，，整理得，由正弦定理得，又，所以，因?yàn)?，所以，由，，得．在中?【變式42】記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)設(shè)的平分線交線段于點(diǎn)，若，證明：為直角三角形.【解析】（1）因?yàn)?，所?由余弦定理，得，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，設(shè)的邊上的高為，則由，得，即，由余弦定理，得，所以，從而，故為直角三角形.【變式43】在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)求A；(2)若的外接圓面積為，角B的平分線交AC于D，求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為3，因?yàn)?，所以，，則，而，，所以．題型五：中線問題【例5】在中，內(nèi)角、、所對邊的長分別為、、，且滿足，，，是的中線，求的長.【解析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，可得，由余弦定理可得，可得，因?yàn)槭堑闹芯€，則，即，所以，，所以，，故.【變式51】在中，滿足(1)求；(2)若，邊上的中線，，求的周長和面積.【解析】（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，所以，即，化簡得因?yàn)?，可得，解得，所?（2）由邊的中線，可得，可得，即，即，在中，由余弦定理，可得，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，所以的周長為，面積為.【變式52】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(1)求角A的大小.(2)若，求AC邊上的中線BD的長.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，且，所?（2）因?yàn)?，且，可知，可得，由正弦定理可得，則，又因?yàn)锽D為AC邊上的中線，則，可得，所以AC邊上的中線BD的長為.題型六：高問題【例6】記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求．(2)若的面積為，，求邊上的高．【解析】（1）由已知條件及正弦定理，得．又，，則，，則．又，，則，解得．（2）由的面積為，得，，則．由余弦定理，得，．又，，解得．，．設(shè)邊上的高為，則，．【變式61】在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.(1)求的大??；(2)若，邊上的高為.（i）求的值；（ii）求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為：，即，即，因?yàn)?，解得?（2）（i）由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，所以；（ii）由（i）可得，在中，由正弦定理可得，即，解得，又，所以為銳角，所以，所以，，所以.【變式62】在中，已知角的對邊分別是，且.(1)求角的大小；(2)若邊上的高為，求三角形ABC的周長.【解析】（1）由題設(shè)及余弦定理知，整理得，所以，，則；（2）由題意及（1）知：，則，由，即，所以（負(fù)值舍），故，而，所以三角形ABC的周長為.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)?，則為銳角，所以，，因?yàn)椋?，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)?，上面兩個等式相除可得，得，即，所以，.2．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得；，，，則；（2），，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；，即，3．在平面四邊形中，，，且.(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求.【解析】（1）在三角形中，，，所以由余弦定理得：，所以，又，所以，又，所以.（2）在三角形中，，所以，所以，所以在中，為的中點(diǎn)，所以，，，所以由余弦定理得：，所以，在中，，，，所以由余弦定理得：所以，所以在中，由余弦定理得：.4．如圖所示，在中，設(shè)分別為內(nèi)角的對邊，已知，．(1)求角；(2)若，過作的垂線并延長到點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，與交于點(diǎn)，求四邊形的面積．【解析】（1）由，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，可得由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由，由（1）知，可得，因?yàn)檫^作的垂線并延長到點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，在直角中，可得，則，因?yàn)椋傻?，在直角中，可得，即，所以，所以，所以四邊形的面積為.5．平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求四邊形周長的取值范圍；(3)若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，求的面積．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，在中由余弦定理；?）在中，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，則，即，所以，所以，即四邊形周長的取值范圍為；（3）因?yàn)?，所以，又，所以，，又，所以，在中由余弦定理，即在中由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所?.6．在中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求角的大?。?2)若的面積為，的平分線交于點(diǎn)，且1，求的值.【解析】（1）由正弦定理知，，因?yàn)樗裕?，所以，因?yàn)椋?，故，，所以，故，所?（2）因?yàn)?，即，所以，解得或，?dāng)時，；當(dāng)時，.7．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)求A；(2)若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．【解析】（1）在中，，．因?yàn)?，，所以，即，．因?yàn)?，所以，即，所以，；?）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為3．由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，．．，所以的面積為，與的面積之比為．8．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的平分線交于點(diǎn)，為的中線．若，，．(1)求的長；(2)求的長.【解析】（1）由所以，又，所以.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以.所以，即.（2）因?yàn)槠椒?，所?設(shè)，由.所以.故.9．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，且．(1)求角的大?。?2)若的面積為，中線，求．【解析】（1）在中，，則，因?yàn)?，則，由正弦定理得：，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得.（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，由（1）知，故，因?yàn)闉橹芯€，即為中點(diǎn)，則，又，則，所以，解得，由余弦定理得，所以.10．在中，已知角的對邊分別是，且．(1)求角的大??；(2)若邊上的中線為，求的值；【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，又因?yàn)椋?，可得在中，，則，可得，且，所以.（2）在中，由余弦定理可得，即，因?yàn)檫吷系闹芯€為，則，可得，即，可得，所以.11．在△中，內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)若△的面積為，求邊上的中線的長．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，由余弦定理得：，又，所以．?）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，則，.故邊上的中線的長為.12．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求A的值；(2)若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)P，且求的正切值.【解析】（1）在，因?yàn)?，由正弦定理得：即即因?yàn)樗远哉淼靡驗(yàn)橹兴杂炙裕?）因?yàn)锳M是邊BC的中線，所以則不妨設(shè)則所以即解得或舍所以在中即即，解得即所以，在中又易知，P是重心，所以所以13．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)求B的大??；(2)若是的中線，求的最小值．【解析】（1）由正弦定理得，又，故，即，又，故，故，，又，故；（2）因?yàn)椋瑸榈闹芯€，所以，又，在中，由正弦定理得，即，故，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為.14．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求;(2)若，，求及邊上的高．【解析】（1）由,可得，即，由于，則，故，解得；（2）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?又，則，所以，所以，所以，所以，由正弦定理可得，即，解得，故邊上的高為.15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且．(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長．【解析】（1）因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理可得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，所以，，又因?yàn)檫吷系母邽?，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周長為．16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角C；(2)若的