2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三年級上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試卷

一、填空題

1.設(shè)集合'="2一弘+2叫，'={""<"<"+2},且4/5,則實數(shù)。的取值范圍

為.

【正確答案】{40<。<1}

【分析】先解二次不等式化簡集合A,再利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于。的不等式組，解之

即可得解.

【詳解】因為Z={x|X2-3X+2<0}={X|1<X<2},B={X\a<x<a+2},

a<\

又/u5,故〈一，解得0<a<1,

—o+2>2

則實數(shù)a的取值范圍為{40<a<1}.

故{《0<a<l}

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足a+iz=2i-z,若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則實數(shù)a的

值為.

【正確答案】2

【分析】設(shè)z=bi(beR),根據(jù)復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于a、b的方程組，即可

解得實數(shù)。的值.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)z=6i(beR),則a+iz=a-6=2i-6i=(2—6)i,

a-b=0

根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得1c八，解得［=6=2.

2-b7=0

故答案為.2

3.經(jīng)過點(1,2)且法向量為3=(1,2)的直線方程為.

【正確答案】x+2y-5=0

【分析】首先求出直線的斜率，再由點斜式計算可得.

【詳解】因為直線的法向量為力=(1,2),則直線的斜率左=—^,

所以直線方程為y—2=—；(x—1),即x+2y—5=0.

故x+2y-5=0

4.二項式(/+Ip的展開式中，常數(shù)項為

【正確答案】15

【詳解】(/+!)6常數(shù)項為第5項，所以常數(shù)項為或=15

X

5.設(shè)aeR,若拋物線y=x~+a的焦點為坐標原點，則a=.

【正確答案】—##—0.25

4

【分析】根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，再由圖象平移規(guī)則即可得解.

【詳解】易知拋物線y=x2的焦點坐標為

將拋物線y=f向上(a>0)或向下(a<0)平移同個單位可得到拋物線y=x2+a,

由焦點坐標變?yōu)?0,0),可得a=—

故答案為.—

4

6.設(shè)a,6eR,函數(shù)f(x)=asiwc+bcosx圖象的一條對稱軸為》=工，貝！I-=___.

3b

【正確答案】百

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性與最值的關(guān)系，可得7a?+/,即可化簡求解.

【詳解】/(x)=asinx+bcosx=4^T^sin(x+e)的圖象的一條對稱軸為x=y,

故/［三］是函數(shù)的最大值或者最小值，即/Rj7a』,

7.今年國際國內(nèi)金價屢創(chuàng)新高，金價波動也被金融媒體競相報道.現(xiàn)抽取2024年前11個

月的每月1日的實物黃金價格數(shù)據(jù)如下表所示，則這組黃金價格數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是

123456781011

月份9月

月月月月月月月月月月

黃金價格（元/

624616630691708716714737743768815

【正確答案】743

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】11個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：

616,624,630,691,708,714,716,737,743,768,815,

因為Ilx75%=8.25,

所以這組黃金價格數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第九個數(shù)據(jù)，為743.

故答案為.743

3

8.圓錐的頂點為P,將該圓錐的側(cè)面沿母線PA剪開并展平得到一個圓心角為一"，半

2

徑為1的扇形，則該圓錐的體積為

【正確答案】些兀

64

【分析】由題意可得圓錐底面圓的半徑，從而可得圓錐的高，再由錐體的體積公式代入計算,

即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，圓錐的母線/=1,設(shè)底面圓的半徑為「，

則2Kl1,解得'I,所以圓錐的高〃=廬

則圓錐的體積為「=」b2.力=［兀*2*也="兀.

3316464

故亙n

64

9.銳角三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，則其最大邊長與最小邊長比值的取值范圍是

【正確答案】（1,2）

【分析】求出3的值，設(shè)等差數(shù)列A、B、C的公差為d,求出d的取值范圍，利用正弦定

理、兩角和與差的余弦公式、弦化切，可求得所求代數(shù)式的取值范圍.

【詳解】若銳角V48c的三個內(nèi)角A、B、。的度數(shù)成等比數(shù)歹U,

JT

則力+。=25=?！?,解得5二一，不妨設(shè)角A為最小角,

3

TT

設(shè)等差數(shù)列A、B、。的公差為d,則/二——d,

3

所以，sin^4=sincost/--sin,

2

?八.(兀J)A/3,1.,

sinC=sin—+a=——cosa"一sma，

UJ22

由題意可知，因為A、。為銳角，且/<C,

(6

7171Tl71\lJ

即0<——d<—+d<—,解得0<d<—,則tandw0,——

3326I3J

73]

sinC=號cosd+zSind=C+tand=(Htand)

所以，一

asin4百1.7百一tand百一tand

——cos(2——sina

22

2百

V3-tand

故答案為.(1,2)

(x-2)5+3x+sin(x-2)=7

10.設(shè)x,jeR,滿足<[，貝!1x+y=

(v-2)'+3v+sin(j-2)=5

【正確答案】4

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=d+3x+sinx,xeR,利用函數(shù)的奇偶性，以及用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,

即可求解.

(x-2)5+3x+sin(x-2)=7

【詳解】因為《

(v-2)5+3j+sin(j-2)=5

(X-2)5+3(X-2)+sin(x-2)=1

所以<

(7-2)5+3(J-2)+sin(y-2)=-1

設(shè)函數(shù)f(x)=x5+3x+sinx,xeR,

VxGR,都有-xGR,

且f(—x)=(-x)_3x+sin(—x)=—(x，+3x+sinx)——f(x),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

又因為f\x)=5x4+3+cosx,

因為—1<COSXW1,所以/'(x)〉0恒成立，

所以函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，

(x-2)5+3(x-2)+sin(x-2)=1

又因為〈s,

(J-2)+3(j-2)+sin(y-2)=-l

所以/(x—2)=l,/(y—2)=-1,

所以x-2+y-2=0,解得x+y=4,

故答案為4

11.已知數(shù)列{%}(〃<9)各項均為正整數(shù)，對任意的keN(2?k?8),&=為_1+1和

久=怎+1—1中有且僅有一個成立，且q=6,。9=12.記及=%+。2+…+。9?給出下列四個

結(jié)論.①{4}不可能是等差數(shù)列；②{%}中最大項為為；③品不存在最大值；④品的最小值

為34.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【正確答案】③④

【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出最小值判斷④作答.

【詳解】對于①，當(dāng)左eN（2〈左<8）時，由勾=4_]+1得知-a1=1,由勾=一1得

W+「歿=1，

于是％與勾+1一勾僅只一個為1,即ak-ak_^ak+i-ak,

因此數(shù)列｛%｝不能是等差數(shù)列，①錯誤；

對于④，令4=am+l-am（l<m<8），依題意也，與超十】均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項

為1）,

若4=4=&=&=1，則。2=+4=7M3=。2+'221M4=。3+422,%=%+”>1,

a6=a5+b5>2，。7=。6+421，。8=^7+b7>29

9

而q=6,為=12,因此Sg—〉:cii26+7+1+2+1+2+1+2+12=34,

Z=1

當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為6,7,1,2,1,2,1,2,12時取等號，

若打="=4=A=1，則a2~a\+4-L%=。2+2-2,%=。3+U>1,

aa

a5=a4+&22,4-5+4-L%=6+4-2M8-%一々-H,

而%—6,。9二12,

9

因此風(fēng)=工為>6+1+2+1+2+1+2+11+12=38,

1=1

當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為6,1,2,1,2,1,2,11,12時取等號，

從而S9的最小值為34,④正確；

對于②，當(dāng)乙=4=4=人7=1時，取&=〃=4=P，a=4-3p,peN,,牛1,

數(shù)列｛%｝為：6,7,7+p,8+p,8+2p,9+2p,9+3p,10+3p,12，滿足題意，

取了=2,as=16>12=。9，｛冊｝中最大的項不為。9,②錯誤;

對于③，由于夕的任意性,即夕無最大值，因此項=76+12?不存在最大值，③正確,

所以所有正確結(jié)論的序號是③④.

故答案為:③④.

關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探

求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.

12.如圖所示，正八面體45CDE/的棱長為VL點P為正八面體廠內(nèi)（含表面）的動

點麗?（莎+方+斤+而+而）=0,則可.麗的取值范圍為

【分析】設(shè)/尸,3。,CE交于點。，OA=5OM>分析可知可知點尸的軌跡是過點M且與

直線8廠垂直的平面a,建系，設(shè)點P（xj,z）,可得x+z=（,進而確定截面a的形狀，

uuruur\JW2I

整理可得尸/?尸3=,分析尸N長度的最值即可得解.

2

【詳解】設(shè)交于點。，且厲=5而，AS的中點為N,

UULULLLULULLUULULLLULLLLlLUlLILULUULUUUULLILULlUUlUULUUUULUULU

因為PA+PB+PC+PD+PE=OA-OP+OB-OP+OC-OP+OD-OP+OE-OP

=OA-5OP=5（dM-OP^=5PM,

則麗.（9+麗+卮+而+而）=5而?癡=0,即院工燒，

可知點尸的軌跡是過點M且與直線8尸垂直的平面a,

如圖，以。為坐標運算，08,0C,0Z分別為x，N，z軸，建立空間直角坐標系,

^（0,0,1）,5（1,0,0）,C（0,1,0）,￡?（-1,O,O）,E（O,-1,O）,F（O,0,-1）,Ml0,0,11,^11,0,1

設(shè)點P（x,y,z）,則麗=（1,0,1）,赤2，z_g

uuruuiri1

oi^BF-MP=x+z——=0,可得x+z二一

55

2

x=——

5

J=o結(jié)合x+z』可得＜

直線Z。上的點滿足《,=J=0

x-z+l=05

3

z=一

5

可知直線ZD與平面a的交點為G1-I，o］）,

同理可得：平面。與直線AE,BE,BF,BC,AC的交點依次為

|,|,ok0,4|,|1

,K

5'5

又因為

------*------*\-------*2------>-2------*2|

萬.麗=（兩+閥.（而+西=（而+間.（PN-NA]=PN-NA=PN——

>2

注意到而=1g,o,gULULLILIUL

,貝18尸=2四，

取ONI/BF,可知ON，平面

當(dāng)點P為ON與平面a的交點時，PN取到最小值,

可設(shè)而=2而=（九0,2）,

,[1.

fX-Z-A1x=z=——（z11

可得〈八，結(jié)合X+Z=—可得＜10,即尸二；,0,二

y=05八＜1010

1[y=0'

,6QIQ

則NP=----,所以PAPB取到最小值-------二----，

525250

檢驗可知：當(dāng)點、P為H」,K,L時,尸N取到最大值逆，

10

QQ117

所以PA-PB取到最大值而--=—；

'912一

綜上所述：刀.而的取值范圍為-二，77.

912

故答案為.

50525

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用空間向量求平面a上的點滿足的關(guān)系式，進而確定平面a與

正八面體的棱的交點，進而分析求解.

二、選擇題

13.在V45C中，"刀.太＜0"是V48C為鈍角三角形的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和充分條件、必要條件的定義即可求解.

【詳解】由方.正=|2^/卜05（方,/）＜0,可得cos（刀，就）＜0,

所以A為鈍角，V4BC是鈍角三角形,

所以由在?衣＜0可以得出V4BC為鈍角三角形,

若V4BC為鈍角三角形，不一定A為鈍角，所以也得不出刀.正＜0,

所以在VABC中，"萬.元<0"是VABC為鈍角三角形的充分不必要條件,

故選：A.

25—

14.已知事件A和B相互獨立，且尸(/)=不P(8)=百，則尸(/口8)=

231252

A.—B.—C.—D.

11115555

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的概率公式，相互獨立事件的概率公式及概率的基本

性質(zhì)計算即得.

【詳解】由事件/與事件3相互獨立，得

尸(Zn歷=p⑷p?=P(Z)(I—P(5))=|XA=1|.

故選：c

X20Vxv]

15.已知函數(shù)'若存在々>石>0,使得/(%2)=2/(再)，則為,/(%2)的

2,x>1

取值范圍是()

A.0?——B.-)C.(4,+e)D.

|”,+￥)

【正確答案】D

【分析】分0<七〈3〈1，0<x；<1<x2,1三七三々三種情況討論，由題意

西?/(%)=2再?/(再)分別確定公的范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案;

【詳解】當(dāng)。<項</<1時，/(X2)=2/(X1)G(O,1),

所以/(X])e[0,5],即所以X]C0,-^-,

則西?/(%)=2xJ(xj=2x；,

因為>=/在(0,1)上遞增，

所以西，/(%)=2x；e0,-^-；

當(dāng)0<再<”》2，/(再)=工：e(°』)，所以/(%2)=2砧e[2,+oo),

所以/(%2)>2/(%)，不存在0<%<1，使得/(%2)=2/(%)；

當(dāng)時，/(國)=2、，/5)=2砧，

因為/(%)=2/(再)，所以2'2=2國’2，

所以％=X1+1,

則西?/(%)=2再/(再)=2再?2%，

令g(x)=2、2心…,則瑞=篝="

因為IWXiW/,所以土<1,%1-x2<0,

%2

所以2斗』<1，所以<1,即g(%)<g(x2),

所以g(x)=2x?2工在[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x"g⑴=4,即國-/(X2)G(4,+OO),

(五、

綜上所述，石?/(%)的取值范圍是0,2-“4,+巧，

\7

故選：D.

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是分0<芯<1，0<%[<1<x2,IV否V%三種情況討論，再

結(jié)合題意石?/(々)=2石?/(再)分別確定為的范圍.

16.已知數(shù)列｛4｝為無窮數(shù)列，若正整數(shù)/滿足：對任意的正整數(shù)“，均有a,#/4%,則稱數(shù)

列｛%｝為“/階弱減數(shù)列”.現(xiàn)有以下兩個命題：

①數(shù)列也｝為無窮數(shù)列且6“=cos〃-工〃(〃為正整數(shù))，則/“是數(shù)列｛4｝是"/階弱減數(shù)

8

列”的充分條件;

②數(shù)列｛%｝為無窮數(shù)列且C“=(l-，)(“—5+a)("5—a)+l("為正整數(shù))，則存在

ae［0,4］，使得數(shù)列｛g｝是“/階弱減數(shù)列”的充要條件是/24.

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

【正確答案】A

【分析】分別證明①是真命題，②是假命題，即可得到答案.

【詳解】下面證明：①是真命題，②是假命題.

對于①，若/之6,貝！I

nn

an+I-an=(cos(H++/))-(cos~^j=cos(〃+/)-cos1一三/

713TT3X3_1

V1—(-1)---x6—2----<2------——<0.

v78444

,.510_37i5.,?.5.37i,.__

右/=5,由一<兀<可得—<一<兀，故0<sin—<sin—，從而

234224

aa-cos(n+l\-cosn--x5

n+l-nV)8

.5.(5、5兀55兀.3兀5兀

=-sin—sinn+—----<sin------<sin-------

22；82848

所以只要/25,就一定有%+/4%,所以①是真命題.

對于②，由于當(dāng)/=4時，對任意的。［0,4］都有

。2+1—=%—=(—5(1+a)(l—a)+1)—(―(―3+a)(—3—a)+1)=(1—5+

5a之)—(1—9+a2)=4+a2>0.

故｛4｝不是“/階弱減數(shù)列”，從而②的充分性不成立，所以②是假命題.

綜上，①是真命題，②是假命題.

故選：A.

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于理解弱減數(shù)列的定義，只有理解了定義，方能解決相應(yīng)的問題.

三、解答題

17.已知鈍角a，滿足3sina+4cosa=0.

(1)求2a的值;

(2)求函數(shù)j=sin(x+df),XG0,3的值域.

24

【正確答案】(1)——

7

【分析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可求解;

（2）確定函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

由3sina+4cosa=0,又sin2a+cos2a=1，又a為鈍角，

9

兩方程聯(lián)立求解可得：cos92c^=—,又a為鈍角，

25

34

所以cosa=——,sina二—,

55

4

可得：tana二——，

「3八\八2tana24

cot—兀+2。=一tan2a=----------

[2)1—tan2aT

【小問2詳解】

由（1）可得:

y=sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina=-—sinx+ycosxxG0弓，

jrjr

?.?sinx在0；上單調(diào)遞增，cosx在0今上單調(diào)遞減,

linx+Osx在xe71

所以y=-0,-單調(diào)遞減,

55

4

.,?當(dāng)%=0時，歹有最大值y

當(dāng)X=g兀時V有最小值y=-3,

2，5

7T34

函數(shù)y=sin(x+a),xe0,—的值域為一,一

55

18.如圖所示四棱錐P—，其中48=4D=4P=J?,CB=CD=CP=275,AC

交BD于點。.

(1)求證：/。_1平面？8。；

⑵若4c=5,P8=2收，點0是線段尸。的中點，求直線80與平面尸/。所成角的正

弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理來證得NC_L平面尸50.

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法來求得直線8。與平面尸/。所成角的正弦值.

【小問1詳解】

因為=CB=CD,

所以4C均在BD的垂直平分線上，所以BO=OD,

圖為=BC=PC,AC=AC,

所以△48C三4PC,

圖為3OLNC,所以POJ./C,

又因為/C_LBD,POcBD=O,POu平面PBD,BD<z平面PBD,

所以/CJ_平面PSD,

【小問2詳解】

因為ZCu平面PNC,所以平面PNC,平面FBO.

由⑴可知05_L0C,

以。為原點，OB,0C所在直線分別為了，》軸，

過點。垂直于底面05。的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

所以282+802=2。2,所以N/8C=9O

Q

從而由等面積法，可知8。=-^,由勾股定理，可知20=

2V5

由(1)可知80=0￡)=。尸，所以0￡)=0尸=」±,

5

由⑴可知PO_L/C,BOVAC,

而平面ZBCn平面/PC=/GOBu平面/BC,OPu平面/PC,

且二面角P—ZC—8為一，所以NP05=——,

33

jr所以pj—竽,0,

所以尸。與Z軸所在直線的夾角為一,

6

T。-

設(shè)平面尸4D的法向量為萬=(x,y,z),

2V52752V15

PA-h=----x------y-------z=0

則《555

PD-n=-^-x-

55

令2=—1,解得y=2A/3,

所以平面R4D的法向量為為=(百,2百,-1卜

設(shè)直線PB與平面PAD所成角為。，

?_?8屈

則\cosn,

sin6*=PB\='?=----/——=—

11臥網(wǎng)4x公叵2

5

所以直線尸8與平面尸/。所成角的正弦值為2.

2

19.為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧

客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球,

其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據(jù)摸出

球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：A：1個紅球1

個白球，B-.2個紅球，C：2個白球，D-.至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到

大的順序分別對應(yīng)一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.

(1)求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率

(2)求顧客分別獲一、二、三等獎時對應(yīng)的概率；

(3)若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數(shù)為X,求X的分布

列和期望.

【正確答案】(1)-

5

(2)顧客分別獲一、二、三等獎的概率分別為上、—,—

451515

(3)分布列答案見解析，￡(X)=|

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得;

(2)根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式計算可得；

(3)由(2)可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為P=g,則X?B[3,|),利用二項分布的概

率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

設(shè)顧客第，次摸到紅球為耳(z=l,2),

則尸(62)=P(￡1￡2)+P(￡1￡2)=^X-|+^X|=|；

【小問2詳解】

1

由題意知，尸(4)二345-151(L；。

45

2

尸(c)=WC=E3=T1T尸(0=i—P(/)—尸伊)一尸￡)=7；

k_/]0?。JZ

因此，顧客分別獲一、二、三等獎的概率分別為上、—>—;

451515

【小問3詳解】

由(2)可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為「=’+工+2=2,

4515159

則X?,

mV7Y343<2^7?294

所以尸(X=O)=C；=p(X=l)=C；

⑼⑸729⑼⑸729

里，尸(X=3)=C；8

729''3729

則X分布列為:

X0123

343294848

p

729729729729

22

數(shù)學(xué)期望E(X)=3x§=].

2-1

20.設(shè)a￡R/(x)=ln(x-1)+-a--x------

x-1

(1)當(dāng)。=1時，求曲線了=/(%)在點(2,3)處切線的方程；

(2)當(dāng)。=—g時，求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為。，若/(x)22x+3對任意的xe。成立，求。的取值范

圍.

【正確答案】(1)2x-y-l=Q.

(2)(1,4)上是嚴格增函數(shù)，(4,+8)上是嚴格減函數(shù).

(3)a>2.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可由點斜式求解.

(2)求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)值正負求出單調(diào)區(qū)間.

(3)先探求不等式成立的必要條件a22,再證明充分性即可，證明時構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求

函數(shù)的最小值即可證明.

【小問1詳解】

丫2-11

當(dāng)。=1時，/(x)=ln(x-l)+-------=ln(x-l)+x+l,求導(dǎo)/'(%)=-+L則

x—1x—1

⑵=2,

所以切線方程為V—3=2(x—2),即2x—y—1=0.

【小問2詳解】

1Y2+?

當(dāng)?！獣r，函數(shù)/(、)=ln(x-l)------------的定義域為(1,+8),

22(x-l)

求導(dǎo)得/'(X)=；_2x(；”-2=_普*,

x—12(x—1)2(x—1)

當(dāng)xe(l,4)時，f'(x)>0；當(dāng)xe(4,+co)時，f'(x)<0,

所以函數(shù)〃>)在(1,4)上嚴格增函數(shù)，在(4,+8)上嚴格減函數(shù).

【小問3詳解】

函數(shù)/(x)=ln(x-1)+竺二1定義域為(1,+8),

x-1

不等式/(力22工+3恒成立，即山口―1)+絲1二1N2X+3恒成立,

x-1

當(dāng)x=2時，/(2)=4a-l24+3必成立，則

*2*4

人7/、1/八ax?—Ic+日/曰7。\x—I+ax—2ax+1—2(x—I)2

4h(x)=ln(x—I)H-----------------------2x—3，求寸倚〃(x)=一

x-l(x-l)

(a-2)x2+(5-2a)x-2_[(a-2)x+l](x-2)

(X-IP(x-1)2

而aN2,則當(dāng)xe(l,2)時力'(x)<0,當(dāng)xe(2,+co)時，〃'(x)>0,

函數(shù)伙x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，/z(x)>A(2)=4fl-8>0,則a22,

所以。的取值范圍是a?2.

關(guān)鍵點點睛：在定義域上恒有/(x)N2x+3成立求。的范圍，首先根據(jù)恒成立探求其成立的

必要條件，由/(2)22義2+3=7可知必有。22,證明充分性時，令

Z/Y2-1

/z(x)=ln(x-l)+——--2x-3，利用導(dǎo)數(shù)求出/z(x"/2