高等代數課件：線性空間

1線性空間的基本概念2第五節(jié)線性空間維數、基與坐標3基變換與坐標變換4線性變換5線性變換的矩陣6子空間的直和定義：設V是一個非空集合，F為數域，對于任意的a,b

V,總有唯一的元素g

V與之對應，稱g

為a與b的和，記作g=a+b，且一、線性空間的基本概念1.

線性空間對于任意的l

F

及任意的a

V

，總有唯一的元素d

V與之對應，稱d為l與a的積，記作d=la，且則稱V

為數域F

上的線性空間，稱V

的元素為向量，稱滿足(1)-(4)的和為加法，滿足(5)-(8)的積為數乘。一、線性空間的基本概念1.

線性空間

2．線性空間中的向量不一定是有序數組．

3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間．說明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數運算，稱為線性運算．一、線性空間的基本概念1.

線性空間

4、一個集合，如果定義的加法和乘數運算是通常的實數間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．

5、一個集合，如果定義的加法和乘數運算不是通常的實數間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律．一、線性空間的基本概念1.

線性空間定義加法：例1.實數域上全體

n維向量的集合定義數乘：一、線性空間的基本概念1.

線性空間例2實數域R上的全體m×n

矩陣，對矩陣的加法和數乘運算構成R上的線性空間，記作Rm×n∴

Rm×n是一個線性空間。一、線性空間的基本概念1.

線性空間對于多項式的加法、數乘多項式構成線性空間。例3次數小于n的多項式的全體，記作P[x]n一、線性空間的基本概念1.

線性空間

對于多項式的加法和乘數運算不構成線性空間n次多項式的全體}0{][

011+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例4.][對運算不封閉xQn\一、線性空間的基本概念1.

線性空間例5

正弦函數的集合對于通常的函數加法及數與函數的乘法構成線性空間．是一個線性空間.一、線性空間的基本概念1.

線性空間例５在區(qū)間[a,b]上全體實連續(xù)函數，對函數的加法與數和函數的數量乘法，構成實數域R上的線性空間，記作C[a,b]?！?/p>

C[a,b]是一個線性空間。一、線性空間的基本概念1.

線性空間例6正實數的全體R+

，在其中定義加法及乘數運算為驗證R+對上述加法與乘數運算構成線性空間．一、線性空間的基本概念1.

線性空間有對任何中存在零元素,,1)3(++?RaR使有負元素,,)4(1+-+??"RaRa證明一、線性空間的基本概念1.

線性空間所以對所定義的運算構成線性空間．一、線性空間的基本概念1.

線性空間思考：一、線性空間的基本概念1.

線性空間一、線性空間的基本概念1.

線性空間1．零元素是唯一的．證明假設是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何，有一、線性空間的基本概念2.

線性空間的性質2．負元素是唯一的．證明假設有兩個負元素與，那么則有向量的負元素記為一、線性空間的基本概念2.

線性空間的性質證明一、線性空間的基本概念2.

線性空間的性質4．如果，則或

.證明假設那么又同理可證：若則有一、線性空間的基本概念2.

線性空間的性質定義:設V是數域F上的線性空間，W是V的非空子集，

若對于V中的加法和數乘二種運算，W是數域F上的線性空間，則稱W是V的子空間。定理:設V是數域F上的線性空間，W是V的非空子集，

若W對于V中的加法和數乘二種運算封閉，即則稱W是V的子空間。一、線性空間的基本概念3.

子空間例7.實數域上

n維向量的集合例8.設A為m×n矩陣，向量的集合一、線性空間的基本概念3.

子空間例9.設V是數域F上的線性空間，V的子空間,記作一、線性空間的基本概念3.

子空間為W1與

W2

的和，記作W1+W2定義:設W1,W2

是線性空間V的子空間，稱集合稱集合為W1與

W2

的交，記作W1∩W2一、線性空間的基本概念3.

子空間定理:設W1,W2

是線性空間V的子空間，則W1+W2

與

W1∩W2都是V的子空間。稱W1+W2為W1與

W2

的和空間，稱W1∩W2為W1與

W2

的積空間。一、線性空間的基本概念3.

子空間例10.線性空間R3的子空間求Rx+Ry，Rx+Rxy

和Rx∩Rxy。一、線性空間的基本概念3.

子空間解(1)不構成子空間.因為對例11有一、線性空間的基本概念3.

子空間即對矩陣加法不封閉，不構成子空間.對任意有于是一、線性空間的基本概念3.

子空間滿足且一、線性空間的基本概念3.

子空間定義:設V是一個線性空間，a1,a2,…

an∈V

若(1)a1,a2,…an線性無關，

(2)a∈V,a可由a1,a2,…an線性表示，

a=

x1a1+

x2a2+…+xnan則稱a1,a2,…

an為V的一組基，

稱x1,x2,…,xn為a

在基a1,a2,…

an下的坐標，稱n為V的維數，記作dimV=n。二、維數、基與坐標二、維數、基與坐標定理(維數公式):設V1,V2

是線性空間V的子空間，則推論：設V1,V2

是n維線性空間V的子空間，若則V1,V2

中必有非零的公共向量。例12設則是實數域R上的線性空間。二、維數、基與坐標自然基二、維數、基與坐標34例13求中的元素，在基下的坐標。二、維數、基與坐標解：設二、維數、基與坐標二、維數、基與坐標例14設(1)證明(2)求f

在這組基下的坐標。二、維數、基與坐標定義:設V是一個線性空間，a1,a2,…

an∈V，b1,b2,…

bn∈V為V的兩組基，若【基變換公式】三、基變換與坐標變換的則

P稱為由基到基過渡矩陣，其中三、基變換與坐標變換定理:設V是線性空間，a1,a2,…

an,b1,b2,…

bn

是V的兩組基，P是由基a1,a2,…

an到b1,b2,…

bn

的過渡矩陣，則是由

x到

y的坐標變換公式，其中三、基變換與坐標變換三、基變換與坐標變換例15設是R2×2中的兩組基，求到基的過渡矩陣P

(1)由基(2)在基下的坐標.

三、基變換與坐標變換三、基變換與坐標變換定義設V

為線性空間，V

上的變換T:V

→V若滿足則稱T

為

V

上的線性變換。四、線性變換例16.設T為R3上的線性變換，T:

R3→R3四、線性變換線性變換的性質：設T是V上的線性變換，則四、線性變換定義設T

為

V

上的線性變換，a1,a2,…,an為

V

的基五、線性變換的矩陣A

稱為T在基a1,a2,…,an下的矩陣.A五、線性變換的矩陣例17.設T為上的線性變換，，求T在基下的矩陣.五、線性變換的矩陣解：五、線性變換的矩陣例18.設T為R3上的變換，下的矩陣.(2)求T在基(1)證明