高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教A版全國用課件第八章立體幾何與空間向量88

§8.8

立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離第八章

立體幾何與空間向量基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝_____.

l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍[0，π]求法cosθ＝_______1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則知識(shí)梳理(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝______________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).3.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝_________.|cos〈n1，n2〉|利用空間向量求距離(供選用)(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，

【知識(shí)拓展】(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.(

)(4)兩異面直線夾角的范圍是

，直線與平面所成角的范圍是

，二面角的范圍是[0，π].(

)(5)若二面角α－a－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(

)題組一思考辨析基礎(chǔ)自測(cè)×××√124563×2.[P104T2]已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為

A.45° B.135°C.45°或135° D.90°題組二教材改編12456解析3答案√∴兩平面所成二面角為45°或180°－45°＝135°.12456答案3.[P117A組T4(2)]如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為__.3解析124563∠C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，題組三易錯(cuò)自糾4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為

解析12456答案√3124563解析以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直三棱柱的棱長為2，則可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.5.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－

，則l與α所成的角為____.12456答案3解析30°6.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的角為____.解析124563答案45°124563解析如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝PA＝1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，知AD⊥平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，從而AE⊥平面PCD.故平面PAB與平面PCD所成的角為45°.題型分類深度剖析典例

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；

題型一求異面直線所成的角師生共研證明證明如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，F(xiàn)G?平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.解答解

如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB，GC所在直線為x軸，y軸，用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.思維升華證明

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥AE.又∵AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACFE，∴BD⊥平面ACFE.跟蹤訓(xùn)練

(2017·廣東五校第一次診斷)如圖所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求證：BD⊥平面ACFE；

證明(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45°時(shí)，求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小.解答解以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，過O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面EBD的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，則n＝(－2,0,1)，典例

(2016·全國Ⅲ)如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面PAB；

證明題型二求直線與平面所成的角師生共研取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解答解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，設(shè)AN與平面PMN所成的角為θ，利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.思維升華跟蹤訓(xùn)練

如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)證明：AC⊥B1D；

證明證明易知AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).

(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.解答設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，題型三求二面角師生共研典例

(2017·全國Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝

AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE∥平面PAB；

證明

取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.證明所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.解答設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，由圖可知二面角M—AB—D是銳角，利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(2017·天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求證：MN∥平面BDE；

證明證明如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)镸N?平面BDE，所以MN∥平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值；解答解易知n1＝(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2＝(x1，y1，z1)為平面EMN的一個(gè)法向量，不妨設(shè)y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2).解答解由題意，設(shè)AH＝h(0≤h≤4)，題型四求空間距離(供選用)師生共研典例

(2018·株洲模擬)如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求點(diǎn)A到平面MBC的距離.解答解如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，因?yàn)椤鰾CD與△MCD均為正三角形，所以O(shè)B⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM?平面MCD，所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)椤鰾CD與△MCD都是邊長為2的正三角形，

設(shè)平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，求點(diǎn)面距一般有以下三種方法：(1)作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.(2)等體積法.(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(2018·武昌質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝

，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD的中點(diǎn).(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；

解答解在△PAD中，PA＝PD，O為AD的中點(diǎn)，∴PO⊥AD.又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.在直角梯形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，∴OA＝BC＝1，∴OC⊥AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∵OA⊥OP，OA⊥OC，OP∩OC＝O，∴OA⊥平面POC.則P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；解答設(shè)平面PCD的法向量為u＝(x，y，z)，取z＝1，得u＝(1,1,1).解答設(shè)平面CAQ的法向量為m＝(x1，y1，z1)，取z1＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1).平面CAD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，整理化簡，得3λ2－10λ＋3＝0.典例

(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明：BE⊥DC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值.利用空間向量求解空間角答題模板規(guī)范解答答題模板(1)證明

由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，規(guī)范解答可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).[1分]設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的一個(gè)法向量，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面FAB的一個(gè)法向量，不妨令z1＝1，可得n1＝(0，－3,1).取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，因?yàn)槎娼荈－AB－P是銳角，答題模板利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系；第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)；第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角；第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.課時(shí)作業(yè)1.(2018·撫順調(diào)研)在正方體A1B1C1D1—ABCD中，AC與B1D所成角的大小為

基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案√12345678910111213141516解析以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).答案12345678910111213141516√解析12345678910111213141516解析以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，123456789101112131415163.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為

答案√解析12345678910111213141516解析以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，12345678910111213141516∴n1＝(1,2,2).∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)，4.(2017·西安調(diào)研)已知六面體ABC—A1B1C1是各棱長均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則直線CC1與平面AB1D所成的角為

A.45° B.60°C.90° D.30°

解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)N，連接NB，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NB，NC所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面AB1D的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516∵直線與平面所成角的范圍是[0°，90°]，∴直線CC1與平面AB1D所成的角為45°.5.(2018·大同模擬)設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是

解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，解析答案12345678910111213141516√6.二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為

A.150° B.45°C.60° D.120°12345678910111213141516解析123456789101112131415167.(2017·昆明質(zhì)檢)如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_____.答案60°12345678910111213141516解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，∵異面直線所成角的范圍是(0,90°]，∴EF和BC1所成的角為60°.123456789101112131415168.(2018·南寧質(zhì)檢)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值為_____.解析答案12345678910111213141516解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)

設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1).設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，9.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為____.12345678910111213141516答案解析解析方法一延長FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點(diǎn)H，連接EH，則∠EHB為所求銳二面角的平面角.12345678910111213141516方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA＝1，由已知條件得12345678910111213141516設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，12345678910111213141516令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3)，取平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1)，10.(2017·河北石家莊二模)設(shè)二面角α—CD—β的大小為45°，A點(diǎn)在平面α內(nèi)，B點(diǎn)在CD上，且∠ABC＝45°，則AB與平面β所成角的大小為_____.12345678910111213141516答案30°解析12345678910111213141516解析如圖，作AE⊥平面β于點(diǎn)E，在平面β內(nèi)過E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF，∵AE⊥CD，AE∩EF＝E，∴CD⊥平面AEF，∴AF⊥CD，所以∠AFE為二面角α—CD—β的平面角，所以∠AFE＝45°，因?yàn)椤螦BC＝45°，所以∠BAF＝45°.連接BE，則∠ABE為AB與平面β所成的角.又因?yàn)椤螦BE為銳角，所以∠ABE＝30°.11.(2017·洛陽二模)已知三棱錐A—BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且CP＝2PB.(1)求證：AP⊥DE；

12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明作PG∥BD交CD于G，連接AG.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥DC，∴∠DAG＝30°，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝2，12345678910111213141516又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC，∴BD⊥平面ADC，∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.又∵AG∩PG＝G，AG，PG?平面AGP，∴DE⊥平面AGP，又AP?平面AGP，∴AP⊥DE.(2)求直線AC與平面DEF所成角的正弦值.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，

設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516設(shè)直線AC與平面DEF所成的角為θ，12.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝

，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED.(1)已知點(diǎn)F在BC上，且CF＝2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明

∵AB⊥AC，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠ACD＝45°，又∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴EF⊥平面PAC，又EF?平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.(2)當(dāng)二面角A—PB—E的余弦值為多少時(shí)，直線PC與平面PAB所成的角為45°？12345678910111213141516解答12345678910111213141516解∵PA⊥AC，AC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，則∠APC為PC與平面PAB所成的角，若PC與平面PAB所成的角為45°，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)平面PBE的法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151613.(2017·全國Ⅱ)已知直三棱柱A-BCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

技能提升練12345678910111213141516答案√解析12345678910111213141516解析方法一將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖①所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

圖①在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，又AB1與AD1所成的角即為AB1與