非建系型：探索性平行與垂直證明及求角度-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題8-4非建系型：探索性平行與垂直證明及求角度

目錄

【題型一】探索型1：線面平行..........................................................2

【題型二】探索型2：面面平行..........................................................3

【題型三】探索型3：線面垂直..........................................................4

【題型四】探索型4：面面垂直..........................................................4

【題型五】三大角1：異面直線所成角....................................................5

【題型六】三大角2：直線與平面所成角..................................................6

【題型七】三大角3：二面角............................................................7

【題型八】角度綜合：知二面角求線面角..................................................8

二、真題再現(xiàn)...........................................................................9

三、模擬檢測..........................................................................11

綜述

1.平行構(gòu)造的常用方法：

①三角形中位線法；

②平行四邊形線法；

③比例線段法.

2.計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即

可確定線面角；

(2)在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度〃，從而不必作出線面角，則線面

角。滿足sine=：(/為斜線段長)，進(jìn)而可求得線面角；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)Z為直線/的方向向量，?為平面的法向量，則線面角。的

正弦值為sin。=|cos<￡,五.

3.幾種常見角的取值范圍:

①異面直線成角e(0,§

②二面角G[0,7T]

③線面角引0,市

④向量夾角e[0,兀]

⑤直線的傾斜角e[0,兀)

對于探索型：

探索型：

先把位置點(diǎn)定性為“已知點(diǎn)”，然后通過其他條件推導(dǎo)出相關(guān)的平行或者垂直關(guān)系，再借助平行得比例線

段，或者垂直得到對應(yīng)的垂直關(guān)系。

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】探索型1:線面平行

【典例分析】

如圖，四邊形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,尸分別在BC,AD上，EF//AB,

現(xiàn)將四邊形ABCD沿放折起，使BE1EC.

(1)若8E=3,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,使得CP〃平面ABEF?若存在，求出而的值；若

不存在，說明理由.

(2)求三棱錐A-CD產(chǎn)的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸到平面ACD的距離.

【變式演練】

在三棱錐尸一ABC中，AC=BC,PA=PB,D、E分別是棱3C、PB的中點(diǎn).

⑴證明：AB1PC；

(2)線段AC上是否存在點(diǎn)尸，使得AE〃平面尸。尸？若存在，指出點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明理由.

【題型二】探索型2：面面平行

【典例分析】

CQBP2

已知正方體ABCD-AMGR中，P、。分別為對角線3D、CR上的點(diǎn)，且濡=訪=可.

(1)求證：2。//平面4口。4；

(2)若R是AB上的點(diǎn)，%的值為多少時(shí)，能使平面PQ?//平面4乙/乂？請給出證明.

【變式演練】

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形A3CD是平行四邊形，鉆=1,仞=2,瓦尸分別為棱尸。,48的

中點(diǎn).

(1)證明：E尸〃平面AD尸；

(2)在底面四邊形內(nèi)部(包括邊界)是否存在點(diǎn)G,使得平面GEF〃平面ADP?如果存在求點(diǎn)G的位置,

并求FG的最大值，如果不存在請說明理由.

【題型三】探索型3：線面垂直

【典例分析】

若圖，三棱柱ABC-AB。的側(cè)面BCGg是平行四邊形，BQ1CQ,BCtA.C,且￡、尸分別是BC、

44的中點(diǎn).

⑴求證：EFU平面4GCA；

Ap

⑵在線段A3上是否存在點(diǎn)P,使得SC平面跳??若存在，求出%的值；若不存在，請說明理由.

【變式演練】

如圖，在四棱錐S—ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,ASA。為正三角形.側(cè)面

SA。，底面ABC。，E,尸分別為棱4￡),S3的中點(diǎn).

⑴求證：AP〃平面SEC；

(2)求證：平面ASB_L平面CS8；

⑶在棱S3上是否存在一點(diǎn)M,使得30,平面MAC?若存在，求襄的值；若不存在，請說明理由.

【題型四】探索型4：面面垂直

【典例分析】

如圖，在三棱臺A8C-DEF中，b_L平面。EF,AB±BC.

D

(1)設(shè)平面ACEn平面。E尸=a,求證：DF//a；

(2)若EP=CT=2BC,試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G,使得平面。尸G,平面COE?若存在，請確定G點(diǎn)

的位置；若不存在，請說明理由.

【變式演練】

如圖，在四棱錐尸一A8CZ)中，B4_L平面ABC。，B4=AB=BC=如，AO=CQ=1,NAZ)C=120。，點(diǎn)M

是AC與的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=±PB.

(1)證明：A/N〃平面PDC；

(2)在線段8c上是否存在一點(diǎn)。使得平面平面物。，若存在，求出點(diǎn)。的位置；若不存在，請

說明理由.

【題型五】三大角1：異面直線所成角

【典例分析】

如圖，在直三棱柱ABC-中，AB1BC,。是AC的中點(diǎn)，AAl=AB=2.

(1)求證：AB//平面C|BD；

(2)若異面直線AC和44所成角的余弦值為之紀(jì)，求四棱錐B-A41G。的體積.

【變式演練】

正方體ABC。一A4GA中:

(I)求AC與4。所成角的大小；

(2)若尸分別為4。的中點(diǎn)，求82與CF所成角的余弦值.

【題型六】三大角2：直線與平面所成角

【典例分析】

.如圖，在三棱柱ABC-48c中，AB=BC=2,AC=272,AB.BC=60°,四邊形A8g4為正方形，E、F分

別為BC與4G的中點(diǎn).

(1)求證：斯//平面48耳4；

(2)求直線E尸與平面ACGA所成角的正弦值.

【變式演練】

977"

如圖所示的幾何體是由三棱柱ABC-AB|G和四棱錐尸-旦B組合而成的，己知441AB=m，線段PC

與AB交于點(diǎn)E,E,F分別為線段PC,AG的中點(diǎn)，平面的及B_L平面ABC,ER〃平面BCG耳.

(1)求證：四邊形AP3C為平行四邊形；

(2)若AABC是邊長為2的等邊三角形，M=2,求直線PC與平面尸44所成角的正弦值.

【題型七】三大角3：二面角

【典例分析】

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，AB=S/2,點(diǎn)。為底面A3CD的中心，點(diǎn)尸在棱SD上，且A&AC的面積

為L

S

(1)若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCO,平面PAC；_

(2)在棱SD上是否存在一點(diǎn)尸使得二面角2-4。-。的余弦值為玄？若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,

說明強(qiáng)由.

【變式演練】

如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=3C=4,。是AC的中點(diǎn)，E是48上一點(diǎn)，且DELAB.將A4DE沿

著DE折起，形成四棱錐尸-3CDE,其中A點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)為P.

(1)在線段PB上是否存在一點(diǎn)P,使得CF〃平面PDE?若存在，指出詬的值，并證明；若不存在，說

明理由；

JT

(2)設(shè)平面PBE與平面PCO的交線為/,若二面角。-/-E的大小為求四棱錐尸-3cDE的體積.

【題型八】角度綜合：知二面角求線面角

【典例分析】

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ZZMB=60°,ZADP=90°,平面ADP_L平

面ABC。，點(diǎn)歹為棱即的中點(diǎn).

(1)在棱A8上是否存在一點(diǎn)E,使得A尸〃平面PCE?若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由;

(2)當(dāng)二面角。-尸C-B的余弦值為正時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角.

【變式演練】

四棱錐S-MCD,底面ABC。是平行四邊形，^DBC=90°,5C=SD=DC,且平面SCZ51平面ABC，點(diǎn)

E在棱SC上，直線SA//平面8OE.

(1)求證：E為棱SC的中點(diǎn)；

(2)設(shè)二面角S-%)-C的大小為6,且tan夕=#.求直線8E與平面ABCD所成的角的正切值.

真題再現(xiàn)

1.(2020?山東?高考真題)已知點(diǎn)E,尸分別是正方形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形EFCD沿所

折起，使二面角C-EF-3為直二面角，如圖所示.

(1)若點(diǎn)G,H分別是AC,小的中點(diǎn)，求證：GH//平面EFCD；

(2)求直線AC與平面ABEE所成角的正弦值.

2.(2021?全國?高考真題(理))如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=1,

〃為BC的中點(diǎn)，且尸

(1)求8C；

(2)求二面角4-尸河-3的正弦值.

3.(2021?全國?高考真題(理))已知直三棱柱ABC-A瓦G中，側(cè)面朋4?為正方形，AB=BC=2,E,

尸分別為AC和cq的中點(diǎn)，。為棱4用上的點(diǎn).BF1A{B{

(1)證明：BF±DE；

(2)當(dāng)月。為何值時(shí)，面B81GC與面DEE所成的二面角的正弦值最小?

4.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐的底面為正方形，尸￡＞，底面ABCD設(shè)平面B4D與平面

PBC的交線為I.

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知P￡)=AO=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面。C。所成角的正弦值的最大值.

5.(2019?北京?高考真題(文))如圖，在四棱錐P-ABCD中，上4,平面ABCZ),底部A8CD為菱形，E

為C。的中點(diǎn).

(I)求證：BD_L平面PAC；

(II)若/A8C=60。，求證：平面B48_L平面BAE；

(III)棱PB上是否存在點(diǎn)尸，使得CT〃平面B4E?說明理由.

6.(2009?寧夏?高考真題(理))如圖，四棱錐S-48C。的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的0

倍，尸為側(cè)棱5。上的點(diǎn).

(I)求證：ACLSD-,

(II)若5￡>±平面PAC,求二面角P-AC-D的大小；

(III)在(II)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得8E〃平面P4C.若存在，求SE；EC的值;

若不存在，試說明理由.

模擬檢測

1.如圖所示，在四棱錐P-A8CZ)中，底面A8CD是ND4B=60。且邊長為。的菱形，側(cè)面B4O為正三角

形，其所在的平面垂直于底面A8CD

p,

c

匹B

⑴若G為AO邊的中點(diǎn)，求證：BG,平面以。；

(2)若E為8C邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找一點(diǎn)R使得出〃平面OE/？并證明你的結(jié)論.

2.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面A8CZ)為矩形，必，平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上，PC_L平面

BDE.

(1)證明：2。_1平面以。；

(2)若B4=A￡)=2,求二面角B—PCT的正切值.

3.在四棱錐P-A8CZ)中，A8CZ)為菱形，平面ABC。，E為棱尸C的中點(diǎn).

⑴求證：平面EfiD_L平面B4C；

⑵若NABC=60。，PA=AB,求平面出8與平面PC。夾角的余弦值.

4.在直三棱柱ABC-AAC中，E是