五年級(jí)下冊(cè)同步奧數(shù)

目錄

第一講分?jǐn)?shù)加減（裂項(xiàng)相消）.....................................2

第二講分?jǐn)?shù)乘法（乘法中的簡(jiǎn)算）.................................5

第三講長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積）............................9

第四講分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題........................................15

第五講長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積）...........................20

第六講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量）.................25

第七講等高模型................................................30

第八講綜合演習(xí)（1）...................................34

第九講綜合演習(xí)（2）...................................36

第十講填空專項(xiàng)訓(xùn)練（1）....................................38

第十一講填空專項(xiàng)訓(xùn)練（2）40

第十二講量率對(duì)應(yīng)43

第十三講雙單位1...............................45

第十四講方程法解題....................................46

第十五講應(yīng)用題專訓(xùn)（1-3）50

第十六講期末測(cè)試60

第一講分?jǐn)?shù)的如法和減法

模塊一同分母分?jǐn)?shù)加、減法

1232015

【例題1】計(jì)算:-----------1------------1-----------F???H------------

2016201620162016

12399

【練習(xí)1］計(jì)算:------H-----------F--------1-???+------

100100100100

44444

【例題2】計(jì)算:-+9-+99-+999-+9999-+1

55555

【練習(xí)2】計(jì)算:-+9-+99-+999-+9999-+-

999999

11I1

【例題3】計(jì)算：（1）+---+----+

2x33x42017x2018

22

(2)—+—+—+

2x44x66x82016x2018

3333

【練習(xí)3】++

2^55^88xll29x32

【例題紇出+￡+/+

2016x2018

1111

【練習(xí)4】-----+------+-------+

5x77x99x1119x21

模塊二分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算

【例題11樂樂喝了一杯牛奶的！，之后加滿水，又喝了這杯的再加滿水，又喝了半

53

杯。又加滿水，最后把這杯都喝了。樂樂喝的牛奶多，還是水多？

【練習(xí)1】聰聰喝一杯牛奶，喝了這杯牛奶的,，然后用水把杯子加滿，又喝了一杯的L

63

然后乂用水把杯子加滿，第三次聰聰乂喝了一半，乂月水加滿，最后他把一杯全喝完了，

聯(lián)聰喝的牛奶多還是水多？

[例題2]一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯,

例題講學(xué)

(1)—X19(2)27X—

1526

【思路點(diǎn)撥】觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第（1）題中的匕比1少,，可以把四看作

151515

1--,然后和19相乘，利用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便；同樣，第（2）題中27與!中的分

1526

母26相差1,可以把27看作（26+1）,然后和:相乘，再運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

6變?yōu)槿砂涯膫€(gè)數(shù)拆分是解決問題的關(guān)鍵，或拆成與1有關(guān)的兩數(shù)之差或和；或者把

一個(gè)數(shù)拆分成與分?jǐn)?shù)分母相關(guān)的和或差，最后用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

同步精練

一19994-2000x1998

例2------------------------------------

1999x2000-1

【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子1999+2000

XI998=1999+2000X(1999-1)=1999+2000X1999-2000=2000X1999-1,這樣就把分子轉(zhuǎn)

化成與分母完全相同的式子，結(jié)果自然就好計(jì)算了，試試吧！

解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問題時(shí)，不要慌張，要仔細(xì)觀察數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的

特點(diǎn)一般都能化成分子、分母能約分的情況，然后使計(jì)算簡(jiǎn)便。

同步精練

362+548x361

362x548-186

20104-2011x2009

2.

2010x2011-1

例3-----+-------+-------+------+------

1x22x33x44x55x6

【思路點(diǎn)撥】在這道題中，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1,分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的

賣積?？聪旅嬉?guī)律：

11111111111I

1x222x3233x434nx（；?+1）nn4-1

把每個(gè)分?jǐn)?shù)都拆寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，使部分分?jǐn)?shù)前后互相抵消，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

當(dāng)做這類題目的關(guān)鍵是把一個(gè)分?jǐn)?shù)式子如何進(jìn)行拆分，并把拆分的結(jié)果統(tǒng)一

前后抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。

同步精練

-----------1--------------1--------------F.........+---------------------

1x22x33x499x100

2.99人占

222

3.----------F---------------F--------+

12x1414x1616x1818x2020

練習(xí)卷

1.27X—2.—x38

2645

14

3.—x614.—xlOO

1599

1995x1996-1

1995+1994x1996

6.9-+99-+999-+9999-+99999-+999999-

777777

--------+---------+---------+---

1996x19971997x19981998x19991999

第三講長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積）

例題講學(xué)

例1兩個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的

表面積是多少？

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫圖：

從圖上可以清楚地看出：兩個(gè)正方體原先各有6個(gè)正方形的面，當(dāng)把它

們拼起來(lái)時(shí)就少了2個(gè)正方形的面。這時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積只相當(dāng)于求

(12-2=)10個(gè)正方形的面積；還可以這樣想：當(dāng)兩個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體

時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積，我們可以先分別求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，冉

求出它的表面積。

盛是字1.當(dāng)物體拼合時(shí)表面積之和少了，可以根據(jù)用原來(lái)的面去掉減少

了的面，從而求出拼合后物體的面積數(shù)量，然后求出表面積。2.還可

以求出拼成后大物體的長(zhǎng)、寬、高，再根據(jù)物體形狀直接求表面積。

同步精練

1.把兩個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面

積是多少？

2.把底面積是36平方厘米的兩個(gè)正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體

的表面積是多少？

3.把三個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350

平方厘米。每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？

例2把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體截成兩

個(gè)長(zhǎng)方體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最大，這時(shí)表面積之和是多少平方厘

米？

【思路點(diǎn)撥】把長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和等于原

長(zhǎng)方體表面積再加上兩個(gè)截面的面枳。這個(gè)長(zhǎng)方體幾個(gè)面中，上、卜面的面

積最大，所以要看哪個(gè)面的面積最大，于是本題就按平行于上、下面的方式

去截，才使表面積之和最大。

方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體有三種截法，如圖:

每一種截法都會(huì)產(chǎn)生不同的面，所以判斷怎么樣截是解決問題的關(guān)鍵。

同步精練

1.把一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體木料截成兩個(gè)完全一樣

的長(zhǎng)方體，怎樣截才能使截成之后，得到兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大？

最大是多少？

2.把兩個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的

長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？

3.把兩個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這

個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積的最大值與最小值相差多少？

例3求出下面立體圖形的表面積。（單位：厘米）

【思路點(diǎn)撥】從圖上看出，這個(gè)圖形是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體

組成的，求它的表面積時(shí)，可以把正方體的右側(cè)面平移到長(zhǎng)方體上，這個(gè)立

體圖形的表面積就可以用一個(gè)完整的長(zhǎng)方體表面積加上一個(gè)正方體的上、下、

前、后四個(gè)面的面積。6

8

4

10

4

4

同步精練

1.在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（如圖）,

求這個(gè)立體圖形的表面積。

2.求下列組合圖形的表面積。（三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)從上往下

依次是1厘米、2厘米、4厘米）

3.18個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體堆成如下圖的形狀，求它的表面積。

例4如圖，從右面這個(gè)圖形的頂點(diǎn)處挖去一個(gè)小正方體，那么所得物體

的表面積現(xiàn)在是多少平方厘米？（每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為1厘米）

【思路點(diǎn)撥】

從頂點(diǎn)處挖掉一個(gè)小正方體后，原來(lái)的小正方體露在外

面的3個(gè)面就少了，但這時(shí)又有3個(gè)同樣大小的面露了出來(lái),

所以表面積是沒有大小變化的。

同步精練

1.如上圖，如果從小正方體的上面的中間挖去一個(gè)小正方體，那么此時(shí)

正方體的表面積是多少了呢？

42.如下圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的大正方體的6個(gè)面上分別挖去一個(gè)小

正方體，現(xiàn)在剩下圖形的表面積是多少？

2.從一個(gè)長(zhǎng)方體的上面往下挖通，求現(xiàn)在物體的表面積是多少。

（原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的圖形為長(zhǎng)、寬都是

4厘米的小長(zhǎng)方體。）

練習(xí)卷

1.長(zhǎng)方體的底面積是12平方厘米，寬2厘米，高和寬相等，表面積是（）

平方厘米，底面周長(zhǎng)是（）厘米。

2.一個(gè)正方體的底面積是25平方分米，它的表面積是（）平方分米。

3.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新

的長(zhǎng)方體表面積比原來(lái)增加了（）平方米。

4,把一根長(zhǎng)2.4米，寬0.8米，高0.4米的木料鋸成大小相等的2段，它的

表面積最少增加多少平方米？

5.將兩本長(zhǎng)25厘米、寬20厘米、厚5厘米的書包成一包，怎樣才能節(jié)約包

裝紙？請(qǐng)畫圖表示，并求出需要多少包裝紙？

6.求下面立體圖形的表面積。（單位:厘米）

7.把一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體外面全部涂上紅色，再把它切成棱長(zhǎng)為1厘

米的小正方體，共切成多少塊？在這些小正方體中:

①三面涂紅的有多少塊？

②兩面涂紅的有多少塊？

③一涂紅的有多少塊？

④任何一面都沒有涂紅的有多少塊？3cm

第四講分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題

例題講學(xué)

例1加工一批零件，第一天加工210個(gè)，第二天加工240個(gè)，這兩天共

加工了這批零件的|。這批零件共有多少個(gè)?

【思路點(diǎn)撥】210個(gè)240個(gè)

人入

5

?個(gè)

根據(jù)題意，把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，兩天共加工210+240=450

（個(gè)），450正好占這批零件總數(shù)的|。求單位“1”的量用除法計(jì)算。

求單位“1”時(shí).，用除法，可以用“具體的量?它所對(duì)應(yīng)的分率

同步精練

1.超市運(yùn)進(jìn)水果，第一批運(yùn)進(jìn)320千克，第二批運(yùn)進(jìn)400千克，這兩批

運(yùn)進(jìn)的水果重量占超市現(xiàn)在所有水果的2,超市現(xiàn)在一共有水果多少千克？

3

2.一條鐵路，修完900千米后，剩余部分比全長(zhǎng)的之少300千米，這條

4

鐵路全長(zhǎng)多少千米？

3.修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長(zhǎng)的L第二天修了1000米。這時(shí)已

5

修的米數(shù)占全長(zhǎng)的這條路全長(zhǎng)多少千米？

例2李添三天看完一本書，第一天看了這本書的得，第二天看了24

頁(yè)，還剩下全書的，未看。這本書共有多少頁(yè)？

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫線段圖，幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。

全書的324頁(yè)全書的2

/~—人—、—

?頁(yè)

這道題中有一個(gè)具體數(shù)量“第二天看了24頁(yè)”，所以這是解決問題的突

破口，要找出24頁(yè)所對(duì)應(yīng)的分率，即總頁(yè)數(shù)-第一天看的-剩下的二『W=',

用24除以它所對(duì)應(yīng)的分率K，即可求出全書頁(yè)數(shù)。

從具體數(shù)量出發(fā)，找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，是解決問題的關(guān)鍵

之所在。

同步精練

1.電腦公司要修一批電腦，已經(jīng)修了這批電腦的;，再修24臺(tái)就正

好修了這批電腦的一半。這批電腦有多少臺(tái)？

2.一筐蘿卜賣掉（以后，又賣出6千克，這時(shí)賣出的正好是剩下的;。

這筐蘿卜原有多少千克？

3.筑路隊(duì)三天修好一條馬路，第一天修了全長(zhǎng)的工，第二天修了全長(zhǎng)

4

的|,第一天比第二天少修90米，這條馬路全長(zhǎng)多少米？

例3一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的第二次用去余下的L這時(shí)還

45

剩下108米。這捆電線共長(zhǎng)多少米？

【思路點(diǎn)撥】這道題中已知的具體數(shù)量是“還剩下108米，”所以要

找出它所對(duì)應(yīng)的分率一一還剩下兒分之幾。

第一次用去全長(zhǎng)的第二次用去余下的工，而余下的!即是（1-工）的

4554

108米對(duì)應(yīng)的分率是=3,所以用108除以3求出這捆電

52042055

線的總長(zhǎng)度。

問題的關(guān)鍵還是找題中具體數(shù)量所對(duì)應(yīng)的分率。謹(jǐn)記：“具體量+

對(duì)應(yīng)分率=單位1”

同步精練

L工廠進(jìn)了一批原料，第一個(gè)星期用去總數(shù)的2,第二個(gè)星期用去總

5

數(shù)的色,這時(shí)用去的比剩下的多31噸，這批原料共有多少噸？

9

2.牛師傅計(jì)劃做一批零件，第一天做了計(jì)劃的：，第二天又做了余下

的3,這時(shí)還剩42個(gè)零件沒做。牛師傅計(jì)劃做多少個(gè)零件？

5

3.一批木料,先用去總數(shù)的彳,又用去乘"下的,‘這時(shí)用去的比剩下

的多10立方米，這批木料共有多少立方米？

例4有一堆蘋果，吃了上后又買來(lái)324個(gè)，這時(shí)這堆蘋果的個(gè)數(shù)比原來(lái)多

4

了"。原來(lái)這堆蘋果有多少個(gè)？

【思路點(diǎn)撥】①這道題中僅有一個(gè)具體數(shù)量“又買來(lái)324個(gè)”所以解決

問題的關(guān)鍵即是找準(zhǔn)324的對(duì)應(yīng)分率，也就是找出“又買來(lái)的324個(gè)蘋果占

幾分之幾”根據(jù)已知條件吃了還剩下3,而買來(lái)324個(gè)之后，比原來(lái)多了

44

也就是占原來(lái)的9,所以買來(lái)的324個(gè)蘋果就占（9-3=）2,所以用324

555420

除以對(duì)應(yīng)的分率就可以求出單位“1”，即原來(lái)的蘋果總數(shù)了。

【思路點(diǎn)撥】②吃了!后總數(shù)少了，而當(dāng)買來(lái)324個(gè)蘋果之后，卻比原來(lái)的

4

總數(shù)還多了1,這說(shuō)明這324個(gè)蘋果不但把吃了的補(bǔ)上了，而且還多出來(lái)了1,

55

所以324個(gè)蘋果就占d+L)2,故而用324+2即可以求出單位“1”了。

452020

同步精練

1.食堂原有一批大米，吃了2后，有運(yùn)進(jìn)170千克，這時(shí)大米的總重量比

原來(lái)還多了,，原來(lái)食堂有大米多少千克？

6

2.玩具店開業(yè)當(dāng)天賣出玩具士，第二天又新進(jìn)150件新玩具，這時(shí)玩具總

9

數(shù)比原來(lái)卻少了!。玩具店原來(lái)有玩具多少件？

6

練習(xí)卷

1.某家具店要生產(chǎn)一批沙發(fā)，第一周生產(chǎn)了64套，第二周生產(chǎn)了86套,

兩周共生產(chǎn)了這批沙發(fā)總數(shù)的得。家具廠還要生產(chǎn)多少套沙發(fā)？

2.服裝廠第一車間有工人150人，第二車間的工人數(shù)是第一車間的|,兩

個(gè)車間的人數(shù)正好是全廠工人總數(shù)的全廠有工人多少人？

6

3.一根鋼筋截去8米后，所剩部分比原長(zhǎng)的？還多2米。這根鋼筋原長(zhǎng)多

5

少米？

4.學(xué)校植樹，第一天完成了計(jì)劃的3,第二天完成了計(jì)劃的工，第三天

812

植樹55棵，結(jié)果超過計(jì)劃的;，學(xué)校計(jì)劃植根多少棵？

4

5.欣欣原有一些糖果，吃了3后，媽媽又給她買來(lái)14顆，這時(shí)的糖果總

4

數(shù)是原來(lái)的2。欣欣原來(lái)有糖果多少顆？

6

第五講長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積）

例題講學(xué)

例1把一塊棱長(zhǎng)為6分米的正方體鋼坯，熔鑄成橫截面是9平方分米的

長(zhǎng)方體鋼材工鑄成的鋼材有多長(zhǎng)？

【思路點(diǎn)撥】把正方體鋼坯熔鑄成長(zhǎng)方體后，雖說(shuō)形狀變了，可體積

沒有變，正方體鋼坯的體積就是長(zhǎng)方體鋼材的體積。所以先求出正方體的體

積，也就是長(zhǎng)方體的體積。用體積除以長(zhǎng)方體鋼材的橫截面面積，就可以求

技巧

出長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)度了。

抓住體積不變這個(gè)隱藏的量，熔鑄前體積等于熔鑄后的體積,

再根據(jù)“體積+橫截面積二長(zhǎng)”這個(gè)公式，從而輕松解決問題。

同步精練

1.把一塊棱長(zhǎng)為0.8米的正方體鋼坯，鍛造成底面積是0.16平方米的

長(zhǎng)方體鋼材，鍛造成的鋼材有多高？

2.把一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體橡皮泥，重新捏成一個(gè)高和寬都是2厘

米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少分米？

3.棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器內(nèi)有4分米高的水，把這些水全部倒入

一個(gè)長(zhǎng)4分米、寬3分米、高15分米的長(zhǎng)方體水箱內(nèi)，這時(shí)水深多少？要注

滿水箱還需要再倒入多少升水？

例2一只長(zhǎng)15分米、寬12分米的長(zhǎng)方體玻璃鋼中，有10分米深的水。

放入一塊棱長(zhǎng)為3分米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒在水中并且水未溢出，

這時(shí)，水面升高了幾厘米？

【思路點(diǎn)撥】將物體放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的

體積其實(shí)就是物體的體積。本題可以先求出正方體鐵塊的體積，也就是增加

的水的體積，再用這個(gè)體積除以容器的底面積從而求出水面上升的高度了。

要明白一點(diǎn)：當(dāng)物體完全沉沒在水中時(shí)一,物體的體積二上升的

水的體積。

同步精練

L一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面積是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘

米深的水?，F(xiàn)將一塊石頭放入水中，水面升高到8厘米處，這塊石頭的體積

是多少立方厘米？

2.一個(gè)長(zhǎng)60厘米、寬20厘米的盛水容器，把5塊體積相等的鐵塊投入

水中后，容器中的水面剛好上升了4厘米，求每塊鐵塊的體積。

3.在一只長(zhǎng)120厘米、寬60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明進(jìn)

入浴缸后，水剛好沒到李明頸部。已知水上升了20厘米，求出李明頸部以

下的體積是多少立方分米？

例3如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，高截去2cm,表面積就減少了48平方厘米，

剩下部分成為一個(gè)正方體，求原長(zhǎng)方體的體積,2cm

【思路點(diǎn)撥】當(dāng)高少了2cm后，首先明白表面積少了N

哪些面？應(yīng)該是前后左右四個(gè)小面，因?yàn)樯厦骐m然也少了，?-----?

但又多出來(lái)一個(gè)上面，所以少了4個(gè)小面，因?yàn)槭Ｏ碌牟糠质且粋€(gè)正方體，

所以這四個(gè)小面是完全相等的，故用48除以4從而得出一個(gè)小面的面積，再

用一個(gè)小面的面積除以2,從而能求出正方體的棱長(zhǎng)，也是原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，

接著求出原長(zhǎng)方體的高，最后求出體積。

關(guān)鍵是看截去一個(gè)小長(zhǎng)方體后，表面積是少了哪些面，一般會(huì)認(rèn)

為少了5個(gè)小面，其實(shí)上面并沒有少，只少了4個(gè)，而少的這4個(gè)面本題是

有關(guān)系的，因?yàn)槭Ｏ碌臑橐粋€(gè)正方體，所以先求出一個(gè)面積，從而打開解決

問題的入口。

同步精練

1.把一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一個(gè)正方體，而

表面積卻減少了36平方厘米，求原長(zhǎng)方體的表面積。

2.從一個(gè)長(zhǎng)是12厘米、高9厘米的長(zhǎng)方體上，平行于底截掉一個(gè)4厘

米高的小長(zhǎng)方體，表面積減少了80平方厘米，求截掉的小長(zhǎng)方體的體積是多

少立方厘米？

例4一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方

體的長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?

【思路點(diǎn)撥】要求長(zhǎng)方體的體積，就要求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。因

為這個(gè)長(zhǎng)方體的前面和上面的面積之和是209平方厘米，也就是長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X

高二長(zhǎng)X（寬+高）=209o根據(jù)“長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)”這

個(gè)條件可知：209=11X19。而11和19哪個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和呢，只有

19=2+17,,所以長(zhǎng)、寬、高就分別是11、2、17,從而能求出長(zhǎng)方體的體積了。

解決此類題目的關(guān)鍵是在把而積之和如何分成兩個(gè)數(shù)的積，并

且這兩個(gè)數(shù)中首先必須有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，再把另一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

同步精練

1.一個(gè)長(zhǎng)方體的前面和右面的面積之和是54平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、

窗、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？

2.一個(gè)長(zhǎng)方體的上面和右面的面積之和是36平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、

寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面枳分別是多少?

練習(xí)卷

1.一個(gè)正方體玻璃翻棱長(zhǎng)2分米，向容器中倒入5升水，再放入一塊不

規(guī)則的石頭，這時(shí)量得容器內(nèi)的水深15厘米。石頭的體積是多少立方厘米?

2.一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體容器的高是25厘米，長(zhǎng)和寬都是10厘米，容器內(nèi)

裝著一些水。如果把該容器長(zhǎng)、寬都是10厘米的面做底面放在桌面上，這時(shí)

水的高度是15厘米。如果把容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面做底面放在桌子

上，這時(shí)水的高度是多少厘米？

3.一只底面是正方形的長(zhǎng)方體鐵箱，如果把它的側(cè)面展開，正好得到一

個(gè)邊長(zhǎng)是40厘米的正方形。求這只長(zhǎng)方體鐵箱的容積是多少升？

4.一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高截去2厘米，表面積就減少了32平方厘米，剩

下的正好是一個(gè)正方體。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多立方厘米？

第六講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量）

例題講學(xué)

例1乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的3。現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙

7

隊(duì)人數(shù)現(xiàn)在是甲隊(duì)的肯。原來(lái)兩隊(duì)一共有多少人？

【思路點(diǎn)撥】當(dāng)“現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)“后，甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)都發(fā)生了改變，

所以單位“1”不好確定，但有一個(gè)未變的量，那就是兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)，因此我們可以把兩

隊(duì)的總?cè)藬?shù)看作單位“1”。從“乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的3”可以把乙隊(duì)人數(shù)看作3

7

份，甲隊(duì)人數(shù)看作7份，總?cè)藬?shù)為10份，則乙隊(duì)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的^二二，后來(lái)甲隊(duì)派

7+310

30到乙隊(duì)后，乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的上二士,那么乙隊(duì)多了（W-2）而正是多了30人所致。

2+35510

求出30人所對(duì)應(yīng)的分率，再求出原來(lái)的總?cè)藬?shù)。

入器￡此類題目的兩個(gè)量都是變化的，所以單位“1”不能確定，一定

要找出不變的量，把它確定為單位“1”，然后再看其中的一個(gè)量前后分別是

單位“1”的幾分之幾，最后再利用具體數(shù)量和分率從而求出單位“1”。

同步精練

1.甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)，甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的現(xiàn)在從乙糧庫(kù)調(diào)

6噸糧食到甲糧庫(kù)，則甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的士。原來(lái)兩個(gè)糧廢各存糧

5

多少噸？

2.五（3）班在一次聚會(huì)中，請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的"，中途又有一人離

開，這樣請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的3。五（3）班共有多少人？

例2甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人的一半,

乙捐了另外三人的《，丙捐了另外三人的』，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁

34

四人共捐了多少元？

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，單位“1”是另外三人的總和，但另外三人的總和

是無(wú)論如何也不知道，且是變化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的總和是固定不變的，

所以可以把四人的錢數(shù)總和看作單位“1”?！凹拙枇肆硗馊说囊话搿保梢钥醋骷拙璧?/p>

錢是1份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人總數(shù)的工，同理，乙捐的是四人總數(shù)

3

的L,丙捐的是四人總數(shù)的!。那么我們就可以求出剩下的丁捐的錢數(shù)占四人總數(shù)的幾分

45

之幾了，再用具體數(shù)量91除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出總數(shù)。

此類題目的難點(diǎn)就在于雖然單位“1”名字上統(tǒng)一，但卻不是固

定的，所以要找出固定不變的量作為統(tǒng)一的單位“1”，然后求出每個(gè)量占單

位“1”的幾分之幾，最后用對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出單位“1”。

同步精練

1.三個(gè)小朋友合買一枚價(jià)值24元的2008年奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，第一個(gè)小

朋友付的錢是其他孩子付的錢的一半，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的錢

的?。問：第三個(gè)孩子付了多少元錢？

3

2.甲乙丙丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的」，乙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和

2

的入丙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的1。已知丁數(shù)是260,求四個(gè)數(shù)的和是多少？

34

甲數(shù)是多少?

例3一堆糖果，其中奶糖占々，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占L

204

這一堆糖果原來(lái)一共有多少塊？

【思路點(diǎn)撥】解答這道題時(shí)，應(yīng)抓住妞糖不變這個(gè)條件。因?yàn)樵诳倲?shù)

發(fā)生了變化，水果糖也發(fā)生了變化的時(shí)候，奶糖卻是不變的，所以把變化的

量一一水果糖，求出變化前后分別是奶糖的幾分之幾，再看變化前后的具體

數(shù)量，然后求出單位“1”一一奶糖，最后再求出總數(shù)來(lái)。

具體解法：變化前，奶糖占總數(shù)的2,水果糖就占（1-2）=11,水果

202020

糖占奶糖的（U+2）=U；加入16塊水果糖后，奶糖占總數(shù)的,，水果糖

-202094

就占（1-1）=2,水果糖占奶糖的3。,二3,水果糖變化前后共增加了（3-U）

44449

=y,正是由于增加16塊所致，所以用16。/=9塊……奶糖——單位“1”,

那么原來(lái)的水果糖就有9X1=11塊，總數(shù)為9+1k20（塊）。

同步精練

1.袋里有若干個(gè)球，其中紅球占上，后來(lái)又往袋里放了6個(gè)紅球，這

12

時(shí)紅球占總數(shù)的原來(lái)袋里共有多少個(gè)球？

2

2.某科技發(fā)明興趣小組中女生占工，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了15名女生，這樣女

12

生占總?cè)藬?shù)的3。這個(gè)興趣小組的男生有多少人？

5

練.習(xí)卷

1.某公司男職工比全公司總?cè)藬?shù)的3多60人，女職工人數(shù)是男職工的L

53

這個(gè)公司共有多少人？

2.某工廠有三個(gè)車間，第一車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的二第三車

3

間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的3,已知第二車間有30人。另兩個(gè)車間各有

5

多少人?

3.紡織廠女工占工人總數(shù)的］后來(lái)又調(diào)來(lái)30名女工，這時(shí)女工人數(shù)是

O

男工人數(shù)的2倍。|HJ：現(xiàn)在廠里共有多少人？

4.甲、乙兩人共有郵票若干張，其中甲占2,若乙給甲12張，則乙余下

20

的張數(shù)占總數(shù)的］。兩人共有郵票多少?gòu)垼?/p>

5.科技活動(dòng)小組中，男生人數(shù)占白后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)4名男生參加，這時(shí)，男

O

生人數(shù)占小組人數(shù)的求這個(gè)科技活動(dòng)小組女生有多少人？現(xiàn)在共有多少

9

人？

第七講等高模型

【知識(shí)導(dǎo)航】

三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積二底X高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角

形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.

1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

2、若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形

的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍.

3、若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形

的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍.

觀察下圖：

觀察后發(fā)現(xiàn)：

這四個(gè)三角形的面積（）,因?yàn)樗鼈儯?.

例1如圖，E在AD上，AD垂直BC于D,AD=12厘米，DE=3厘米，求三角形ABC的面

積是三角形EBC面積的幾倍?

同步精練

1、如圖，求下圖中陰影部分的面積

2、如圖：△ABC的面積是60平方厘米，AD是DE的3倍，求ABCD的面積.

例2如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF二CF,三角形AFE（圖中陰影

部分）的面積為8平方厘米.平行四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？

D

F

A

同步精練

1、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24厘米，BC=8厘

為，求三角形ZCY的面積.

2、在平行四邊形ABCD中,AE=EF二FB,AG是平的2倍,AGEF的面積為6。病,則平行四

邊形的面積是多少？

例3如果三角形ABC的面積為100,在三角形ABC中,D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，則陰影

部分的面積等于（)

同步精練

1、在圖中，三角形ABC的面積為81,若D,E分別為AB的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為BC三

等分點(diǎn),則陰影部分是多少？

A

D

2、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F為AC的三等分點(diǎn)，已知△ABC的面積是150c〃/,

則ACDE的面積是多少？

練習(xí)卷

1、如圖，三角形ABC的面積是48平方厘米，D是AC的中點(diǎn)，DE的長(zhǎng)度是BE的2倍，求

三角形ABE的面積.

2、如圖，

陰影部分的面積是多少？

3、如圖，三角形ABC的面積是60平方厘米，D是AC的中點(diǎn)，DE的長(zhǎng)是EB長(zhǎng)的2倍，那

么，三角形CEB的面積是多少平方厘米？

B

4、如圖，AD二DB,AE=EF=FC,已知陰影部分面積為5立方厘米，Z^ABC的面積是多少平方

厘米？

第八講綜合演習(xí)（1）

1.體積是72立方厘米的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)6厘米，寬3厘米，高多少厘米?

2.把3個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面

積和體積分別是多少？

3.一堆西瓜重10噸，上午賣出總重量的2,下午賣出余下的工，還有多

56

少噸沒賣出？

4.一批水果，第一天賣掉!后，第二天又賣掉240千克，這時(shí)還剩下160

5

千克，原來(lái)這批水果有多少千克？

5.小明看一本課外書，第一周看了總頁(yè)數(shù)的q，第二周比第一周多看了

25頁(yè)，這時(shí)還剩下15頁(yè)沒看，這本課外書一共有多少頁(yè)？

6.從甲地到乙地,一輛汽車第一小時(shí)行了全程的'第二小時(shí)比第一小時(shí)

少行了10千米，這時(shí)還剩下26千米不到乙地。甲乙兩地的全長(zhǎng)多少千米？

7.求下圖組合圖形的表面積和體積。（單位：厘米）

［上面的小正方體的棱長(zhǎng)為4厘米］

/5

8.把一塊石頭放入一個(gè)長(zhǎng)5分米、寬4分米的玻璃容器中，水面上升了2

厘米，這塊石頭的體積是多少？

第九講綜合演習(xí)（2）

1.在興華學(xué)校五年級(jí)剛分班的時(shí)候，五一班的人數(shù)占五二班人數(shù)的2,

11

后來(lái)又從五二班調(diào)3人到五一班去了，這時(shí)五一班人數(shù)占五二班人數(shù)的之。

21

五一班原來(lái)有多少人？

2.把一個(gè)長(zhǎng)18分米、寬和高都是2分米的長(zhǎng)方體鋼坯鍛造成一個(gè)長(zhǎng)6分

米、寬3分米的另一個(gè)長(zhǎng)方體鋼材，這個(gè)新的鋼材的高是多少？

3.一堆石子，運(yùn)走尾，又運(yùn)進(jìn)38噸，這時(shí)的石子重量比原來(lái)的還多了/

原來(lái)有石子多少噸?

4.一個(gè)西瓜，唐僧師徒四個(gè)人吃。悟空吃了整個(gè)西瓜的1，八戒吃了余下

6

的］沙僧吃了又余下的1最后唐僧只吃了］千克。問：這個(gè)西瓜有多重？

553

5.在一次課外活動(dòng)中，五四班有，的學(xué)生先出去玩，過了一會(huì)，又出去

12

了余下學(xué)生的《，此時(shí)班級(jí)內(nèi)只剩下24人。五四班有多少人？

6.五年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的?后來(lái)又增加2位男生,

這時(shí)男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的現(xiàn)在數(shù)學(xué)興趣小組共有多少人？

7.甲乙丙丁四人合買一些書，甲拿出的錢占其余三人和的2,乙拿出的錢

3

占其余三人和的丙拿出的錢占其余三人和的'，丁拿出18元。這些書價(jià)

64

值多少元?

第十講分?jǐn)?shù)應(yīng)用題填空精選

一、填空題。（每空2.5分）

1、20米減去它的,后是（）,20米減去,米后是（）o

44

2、25比20多（）%；比50千克多10%是（）千克。

3、雞的只數(shù)比鴨少鴨的只數(shù)相當(dāng)于雞鴨總數(shù)的-L

4（）

44

4、20噸的士是（）噸；（）噸的三是20噸。

55

5、五（1）班的出勤率是96%,缺席2人，五（1）班有學(xué)生（）人。

6、甲校人數(shù)比乙校人數(shù)多1，乙校人數(shù)比甲校人數(shù)少^~~L

8（）

7、一件工程，甲獨(dú)做8小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，甲乙二人合作（）小時(shí)可

完成。

8、一根繩子的長(zhǎng)度等于這根繩子的（加上（米，這根繩子長(zhǎng)（）米。

9、某服裝店老板，為了提高銷售額，現(xiàn)將所有商品提價(jià)30%,而后宣傳說(shuō)：“為了資金回

收，所有商品8折優(yōu)惠，數(shù)量有限，欲購(gòu)從速。”請(qǐng)計(jì)算，原價(jià)80元的服裝，現(xiàn)實(shí)際售價(jià)

是（）元。

1（）、一根繩子，如果剪去它的還剩5.2米，如果剪去米，還剩（）米。

22

U、甲數(shù)是乙數(shù)的,，乙數(shù)是甲數(shù)的（）倍，甲數(shù)比乙數(shù)少~~L

4（）

12、水結(jié)冰后體積增加工?，F(xiàn)有一塊冰，體積是6立方米，融化成水的體積是（）

10

立方米。

13、有甲乙兩箱水果，從甲箱拿出」放入乙箱后，兩箱水果重量相等，那么原來(lái)乙箱水果

是甲箱的^~~

（）

14、運(yùn)送一批貨物，第一次運(yùn)走全部的冬，第二次運(yùn)走余下的*，兩次共運(yùn)走這批貨物的

78

（）

O

（）

15、某年5月份中，陰天比晴天少:，雨天比晴天少2,這個(gè)月（）天是晴天。

35

16、一本書180頁(yè)，小華第一天看了30頁(yè)，第二天看了剩下的!，那么第三天從第（）

3

頁(yè)看起。

17、打一份稿件，甲獨(dú)打4小時(shí)完成，乙獨(dú)打2小時(shí)可完成兩人合打2小時(shí)，還剩這

3

份稿件的^一-o

（）

18、甲10天的工作量正好與乙12天的工作量相等，那么乙的工作效率是甲的（

）o

19、一項(xiàng)工程甲乙兩隊(duì)合做4天完成，甲隊(duì)獨(dú)做6天完成，乙隊(duì)獨(dú)做完成工程的」需要（

4

）天。

20、io。千克增加它的?!■后再減少?!?剩下（）千克。

55

21、一種藥品先降價(jià)（再按降價(jià)后的價(jià)格又降低（，則現(xiàn)在的價(jià)錢是未降價(jià)前價(jià)格的（

）。

22、水果店運(yùn)來(lái)一批水果，其中梨重量是蘋果的3,香蕉是梨的2,香蕉的重量是蘋果的

58

（）o

23、小紅騎自行車從甲地去乙地，小剛步行從乙地去甲地，兩人同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩人相遇時(shí),

小剛走了全程的工。當(dāng)小紅到達(dá)乙地時(shí)，小剛離甲地還有6千米，甲乙兩地相距（）

4

二米。

24、某工廠有240名工人其中女工占后來(lái)又調(diào)進(jìn)若干名女工，這時(shí)女工占現(xiàn)有工人總

數(shù)的空。那么調(diào)進(jìn)女工（）名。

29

25、水結(jié)成冰，體積增加,，冰化成水，則體積減少^——-o

11（）

26、某校招收舞蹈隊(duì)學(xué)員，已錄取了19人，其中男生16人，還要錄取女生（）名，才

能使女生占舞蹈隊(duì)總?cè)藬?shù)的

27、某種商品標(biāo)價(jià)6000元，若以9折出售，仍可獲利8%,改商品的成本價(jià)是（：）元。

28、一項(xiàng)工作由甲乙合做10天完成，乙丙合做12天完成，甲丙合做15天完成，那么由丙

一人做，完成這項(xiàng)工作需要（）天。

29、從甲地到乙地，甲車要4小時(shí)，乙車要5小時(shí)，日車比乙車快（）。

30、甲數(shù)的3是45,乙數(shù)比甲數(shù)少3,乙數(shù)